Překryv optických spekter vyšších řádů

Úloha číslo: 1662

Překrývají se mřížková optická spektra vyšších řádů?

  • Obrázek dvou sousedních spekter

    Takto by to vypadalo, pokud by se spektra nepřekrývala.

    Obrázek dvou nepřekrývajících se spekter.
  • Nápověda 1

    To, zda se spektra překryjí nebo nepřekryjí, zaleží na tom, který z úhlů vyznačených na obrázku v předchozím oddíle je větší. Jak můžeme tyto úhly porovnat?

    Z kterého vztahu můžeme vypočítat úhel odchýlení pro krajní hodnoty viditelného světla za pomoci dráhového rozdílu Δl?

  • Řešení

    Takto by to vypadalo, pokud by se spektra nepřekrývala.

    Obrázek dvou sousedních spekter.

    Pro úhel odchýlení paprsků vytvářejících interferenční maximum platí:

    \[\mathrm{\Delta}l = \,b\sin\,\alpha \quad\Rightarrow\quad \sin\,\alpha=\,\frac{\mathrm{\Delta}l}{b} \quad\Rightarrow\quad \sin\,\alpha=\,\frac{k\lambda}{b},\]

    kde b je mřížková konstanta, Δl =  je dráhový rozdíl paprsků, α je úhel odchýlení a k je řád maxima.

    Napíšeme si rovnice pro odchýlení červeného světla v maximu k-tého řádu a fialového světla v maximu řádu k+1:

    \[\sin\,\alpha_\mathrm{č}=\,\frac{k\lambda_\mathrm{č}}{b},\] \[\sin\,\alpha_\mathrm{f}=\,\frac{(k+1)\lambda_\mathrm{f}}{b}.\]

    Pro zjištění, zda se vyšší řády překrývají, potřebujeme zjistit, který z úhlů αč a αf je větší. Protože je funkce sinus rostoucí, bude stejná nerovnost mezi úhly i mezi jejich siny. Tj. naším úkolem je porovnat hodnoty výrazů

    \[k\lambda_\mathrm{č} \qquad \mathrm{a} \qquad (k+1)\lambda_\mathrm{f}.\]

     

    Dosadíme číselné hodnoty.

     

    1) Porovnání pro 1. a 2. řád:

    Tedy k = 1:

    \[1\,\cdot\,780 \gt 2\,\cdot\,350 \quad\Rightarrow\quad 780 \gt 700.\]

    Z této nerovnosti je zřejmé, že se 1. a 2. řád překryje.

    1) Porovnání pro 2. a 3. řád:

    Tedy k = 2:

    \[2\,\cdot \,780 \gt 3 \,\cdot \,350 \quad\Rightarrow\quad 1560 \gt 1050.\]

    Z této nerovnosti je zřejmé, že se 2. a 3. řád překryje.

    1) Porovnání pro 3. a 4. řád:

    Tedy k = 3:

    \[3 \,\cdot \, 780 \gt 4 \,\cdot\,350 \quad\Rightarrow\quad 2340 \gt 1400.\]

    Z této nerovnosti je zřejmé, že se i 3. a 4. řád překryje.

    Obrázek překrývajících se spekter.
  • Odpověď

    Ano, optická spektra vyšších řádů se navzájem překrývají.

  • Komentář

    Úlohu bychom mohli řešit i jednodušeji, i když ne tak obecně. Úhly odchýlení bychom vypočítali numericky s nějakou námi zvolenou hodnotou mřížkové konstanty a poté je navzájem porovnali.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze