Správná velikost zrcadla

Úloha číslo: 1654

Jak vysoké musí být rovinné zrcadlo zavěšené svisle na stěnu, aby žena vysoká 160 cm stojící 1 m od zrcadla viděla v zrcadle celou svoji postavu? Její oči jsou ve svislé vzdálenosti 10 cm od temene hlavy.

V jaké výšce od podlahy musí být dolní okraj zrcadla?

Bude třeba změnit velikost zrcadla, aby žena viděla celou svoji postavu z větší vzdálenosti?

Obrázek k zadání

  • Zápis

    \(h=160\) \(\mathrm{cm}=\) \(1{,}6\) \(\mathrm{m}\) výška ženy
    \(a=1\) \(\mathrm{m}=\) \(1{,}0\) \(\mathrm{m}\) vzdálenost ženy od zrcadla
    \(o=10\) \(\mathrm{cm}=\) \(0{,}1\) \(\mathrm{m}\) vzdálenost očí od temene hlavy
    \(x=\) \(?\) výška zrcadla
    \(y=\) \(?\) vzdálenost dolního okraje zrcadla od podlahy

  • Nápověda 1

    Díky tomu, že známe vlastnosti obrazu vytvořeného rovinným zrcadlem, můžeme nakreslit, jak bude vypadat obraz ženy. Do obrázku si přidáme krajní body A a B, které se zobrazí na A' a B'.

    Nakreslete paprsek jdoucí bodem A a paprsek jdoucí bodem B tak, aby se paprsky odrazily do očí ženy.

    Obrázek k nápovědě 1

  • Nápověda 2

    Zákon odrazu nám říká, že úhel dopadu se rovná úhlu odrazu (toho jsme využili při kreslení odražených paprsků). Na obrázku dopadá paprsek z temena hlavy na zrcadlo pod úhlem \(α\) a odráží se do očí také pod úhlem \(α\). Když paprsek dopadá na zrcadlo pod úhlem \(β\), tak se odráží pod úhlem \(β\).

    Do obrázku si zakreslíme úhly \(α, β\) a všechny důležité vzdálenosti (které známe nebo které chceme určit).

    Obrázek k nápovědě 2

    S pomocí obrázku a znalostí z geometrie určete výšku zrcadla \(x\) a vzdálenost dolního okraje zrcadla od podlahy \(y\).

    Jak závisí velikost zrcadla na vzdálenosti ženy od zrcadla?

  • Celkové řešení

    Obraz ženy a hledané zrcadlo

    Díky tomu, že známe vlastnosti obrazu vytvořeného rovinným zrcadlem, můžeme nakreslit, jak bude vypadat obraz ženy. Do obrázku si přidáme krajní body A a B, které se zobrazí na A' a B'.

    Nakreslíme paprsek jdoucí bodem A tak, aby po odrazu od zrcadla dopadl do očí ženy. Když protáhneme odražený paprsek za zrcadlo, tak projde bodem A'. Oči potom vidí bod A'.

    Hledáme zrcadlo o nejmenší možné výšce (ve kterém uvidíme bod A' i B'), proto potřebujeme, aby se paprsek jdoucí bodem A odrážel od horního okraje zrcadla.

    Podobně budeme postupovat pro paprsek jdoucí bodem B. Chceme, aby se tento paprsek odrážel od dolního okraje zrcadla

    Paprsky jdoucí body A a B

    Žena vidí body A' a B'. Z toho plyne, že vidí celou svoji postavu.

     

    Výška a umístění zrcadla kvantitativně

    Zákon odrazu nám říká, že úhel dopadu se rovná úhlu odrazu (toho jsme využili při kreslení odražených paprsků). Na obrázku dopadá paprsek pod úhlem \(α\) a odráží se také pod úhlem \(α\). Když dopadá pod úhlem \(β\), tak se odráží pod úhlem \(β\).

    Uvědomíme si:

    • kolmice dopadu pro paprsek jdoucí bodem A půlí \(o\).
    • kolmice dopadu pro paprsek procházejícím bodem B půlí \(h−o\).

    Tyto dvě informace doplníme do obrázku.

    Výška a umístění zrcadla 2

    Pro lepší přehlednost překreslíme obrázek bez ženy a jejího obrazu.

    Výška a umístění zrcadla 3

    Z obrázku vidíme, že pro výšku zrcadla bude platit: \[x=\frac{o}{2}+\frac{h-o}{2}=\frac{h}{2}.\]

    Z tohoto vztahu vyplývá, že velikost zrcadla nezávisí na vzdálenosti ženy od zrcadla.

    Z obrázku také určíme vzdálenost dolního okraje zrcadla od podlahy: \[y=\frac{h−o}{2}.\]

    Číselné řešení:

    Ze zadání víme:

    \(h=\) \(1{,}6\) \(\mathrm{m}\)

    \(o=\) \(0{,}1\) \(\mathrm{m}\)

    Po dosazení dostáváme:

    \(x=\) \(\frac{1{,}6}{2} \mathrm{m}\) \(=\) \(0{,}8\) \(\mathrm{m}\) \(=\) \(80\) \(\mathrm{cm}\),

    \(y=\) \(\frac{1{,}6−0{,}1}{2} \mathrm{m}\) \(=\) \(0{,}75\) \(\mathrm{m}\) \(=\) \(75\) \(\mathrm{cm}\).

  • Odpověď

    Zrcadlo musí být vysoké 80 cm a jeho dolní okraj musí být ve výšce 75 cm od podlahy. Pokud se žena postaví do jiné vzdálenosti od zrcadla, velikost zrcadla nebude třeba měnit.

  • Úloha k procvičení

    Zkuste si rozmyslet, jak by se situace změnila, kdyby před zrcadlem stál chlapec o výšce 120 cm, který by měl na hlavě vysoký klobouk (výška klobouku nad temenem hlavy je 40 cm). Oči chlapce jsou ve svislé vzdálenosti 10 cm od temene hlavy.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha řešená graficky
Původní zdroj: Lepil, O., Bednařík, M. & Široká, M. Fyzika: sbírka úloh pro
střední školy (3. vyd.). Prometheus, Praha 2003. 
Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
×Původní zdroj: Lepil, O., Bednařík, M. & Široká, M. Fyzika: sbírka úloh pro střední školy (3. vyd.). Prometheus, Praha 2003.
Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
Zaslat komentář k úloze