Sbírka řešených úloh

Skládání světla

Úloha číslo: 1565

• Nápověda 1

  V úloze se zabýváme koherentním zářením a dráhovým rozdílem dvou paprsků. Bylo by dobré si připomenout, za jakých podmínek nastává interferenční maximum.

• Řešení nápovědy 1

  Při interferenci vznikají na stínítku interferenční maxima a minima. O tom, zda na stínítku vznikne maximum nebo minimum, rozhoduje dráhový rozdíl Δl dvou paprsků dopadajících do téhož bodu.

  Interferenční maximum nastává, jestliže je dráhový rozdíl roven celému násobku vlnové délky. To znamená, že se obě vlnění potkají se stejnou fází a sečtou se.

  Pro vznik interferenčního maxima tedy můžeme zapsat podmínku:

  \[\mathrm{\Delta}l = k \lambda,\]

  kde λ je vlnová délka a k je řád maxima. Platí, že k = 0, 1, 2, 3,...

   

  Interferenční minimum nastává, jestliže se paprsky setkají v opačných fázích a navzájem se vyruší. To znamená, že dráhový rozdíl paprsků musí být lichým násobkem poloviny vlnové délky.

  Podmínka pro vznik interferenčního minima:

  \[ \mathrm{\Delta}l = (2k + 1)\, \frac{\lambda}{2},\]

  kde k je řád minima a platí, že k = 0, 1, 2, 3,...

   

  V této úloze se zabýváme vznikem interferenčního maxima, proto dále budeme využívat první vztah.

• Nápověda 2

  V jakém rozmezí se nachazejí vlnové délky viditelného světla?

• Řešení nápovědy 2

  Spektrum elektromagnetického záření je tvořeno mnoha vlnovými délkami. V této úloze pro nás bude důležité vědět, jakou oblast vlnových délek zaujímá oblast tzv. viditelného světla. Ta se často uvádí v rozsahu zhruba od λ = 380 nm do λ = 740 nm.

• Zápis

  Δl = 2,5  µm = 2,5·10−6 m	dráhový rozdíl paprsků
  λmin = 380 nm = 3,8·10−7 m	minimální vlnová délka viditelného světla
  λmax = 740 nm = 7,4·10−7 m	maximální vlnová délka viditelného světla
  λ = ? (nm)	vlnová délka viditelného světla

• Řešení

  Naším cílem je vypočítat vlnové délky, pro které nastává interferenční maximum. Proto použijeme podmínku pro vznik interferenčního maxima

  \[\mathrm{\Delta} l = k\lambda,\]

  kde k = 0, 1, 2, 3, ... určuje řád maxima. Tato podmínka nám říká, že maximum nastává tehdy, když dráhový rozdíl paprsků Δl je roven celému násobku vlnové délky λ.

  Z tohoto výrazu si vyjádříme λ:

  \[\lambda = \frac{\mathrm{\Delta}l}{k}. \tag{1}\]

  Pro další výpočty potřebujeme znát hodnoty k, které budeme dosazovat do vzorečku (1) pro viditelné světlo.

  Z předchozího vztahu si vyjádříme k:

  \[k = \frac{\mathrm{\Delta}l}{\lambda}.\]

  Za vlnovou délku λ dosadíme krajní hodnoty vlnové délky viditelného světla.

   

  Dosadíme hodnotu λ = 3,80·10⁻⁷ m:

  \[k \,\dot{=} \frac{2{,}5 {\cdot} 10^{−6}}{3{,}80 {\cdot} 10^{−7}} = 6{,}5. \]

   

  Pro druhou krajní hodnotu λ = 7,40·10⁻⁷ m získáme:

  \[k \,\dot{=} \frac{2{,}5 {\cdot} 10^{−6}}{7{,}40 {\cdot} 10^{−7}} = 3{,}3. \]

   

  Protože interferenční maximum nastává pouze pro celé hodnoty k, vezmeme si tedy jen celá čísla, které patří do rozmezí 3,3 až 6,5. V tomto interalu jsou to hodnoty k = 4, k = 5, k = 6.

   

  Hodnoty k známe a můžeme je tedy dosadit do vztahu (1).

  k = 4	k = 5	k = 6
  λ = 625 nm	λ = 500 nm	λ = 417 nm

• Odpověď

  Interferenční maximum nastává pro vlnové délky viditelného světla:

  • λ =  625 nm pro k = 4
  • λ =  500 nm pro k = 5,
  • λ =  417 nm pro k = 6.