Obraz Slunce vytvořený pomocí Keplerova dalekohledu

Úloha číslo: 1741

Keplerův dalekohled má objektiv o ohniskové vzdálenosti \(1 \mathrm{m}\). Okulár má ohniskovou vzdálenost \(5 \mathrm{cm}\). Projekční stínítko, na němž lze projekcí vytvořit obraz Slunce, je od okuláru vzdáleno \(25 \mathrm{cm} \). Určete vzdálenost mezi objektivem a okulárem a průměr obrazu Slunce, když víme, že Slunce bychom pozorovali pod zorným úhlem \(30\mathrm{′}\).

Keplerův dalekohled

  • Zápis

    \(f_{1}= 1 \mathrm{m}\) ohnisková vzdálenost objektivu
    \(f_{2}=5 \mathrm{cm}= 5{\cdot}10^{−2}  \mathrm{m}\) ohnisková vzdálenost okuláru
    \(a'_{2}=25 \mathrm{cm}= 25{\cdot}10^{−2}  \mathrm{m}\) vzdálenost stínítka od okuláru
    \(τ=30\mathrm{′}\) zorný úhel
    \(l= ?\) vzdálenost mezi objektivem a okulárem
    \(d= ?\) průměr obrazu Slunce, který se vytvoří na stínítku

  • Nápověda 1

    Z čeho se Keplerův dalekohled skládá? Jak funguje?

  • Nápověda 2

    V jakém místě vytvoří objektiv obraz Slunce? Nakreslete si obrázek Slunce, objektivu a obrazu Slunce vytvořeného objektivem.

  • Nápověda 3

    Chceme, aby za okulárem vznikl skutečný obraz ve vzdálenosti \(a'_{2}\) od okuláru. V jakém místě musí být umístěn okulár? Do obrázku “Zobrazení obrazu Slunce objektivem” z řešení nápovědy 2 dokreslete okulár a obraz Slunce vytvořeného okulárem.

  • Nápověda 4

    Pomocí zobrazovací rovnice pro okulár určete vzdálenost obrazu vytvořeného objektivem od okuláru \(a_{2}\). Určete hodnotu vzdálenosti mezi objektivem a okulárem \(l\).

  • Nápověda 5

    Užitím goniometrických funkcí si vyjádřete úhly \(τ\) a \(τ'\).

  • Nápověda 6

    Využitím vztahů (1), (2) a (3) určete hodnotu průměru \(d\), tedy průměr obrazu Slunce.

  • Celkové řešení

    Obrázek našeho dalekohledu

    Keplerův dalekohled se skládá ze dvou spojných čoček (objektiv a okulár).

    Do objektivu budou dopadat paprsky pod zorným úhlem \(τ\). Pro vyřešení úlohy nám bude stačit zabývat se jen tím paprskem, který prochází středem objektivu.

    Nakreslíme si obrázek Slunce, objektivu a obrazu Slunce vytvořeného objektivem. Dále do obrázku přidáme okulár a obraz Slunce vytvořeného okulárem.

    Dalekohled

    Popis obrázku

    \(F_{1}\)
    předmětové ohnisko objektivu
    \(F'_{1}\)
    obrazové ohnisko objektivu
    \(τ\)
    zorný úhel
    \(τ'\)
    zvětšený zorný úhel
    \(a_{1}\)
    předmětová vzdálenost objektivu
    \(a'_{1}\)
    obrazová vzdálenost objektivu
    \( \)
    \(a_{2}\)
    předmětová vzdálenost okuláru
    \(a'_{2}\)
    obrazová vzdálenost okuláru (vzdálenost okuláru od stínítka)
    \(l\)
    vzdálenost mezi objektivem a okulárem
    \(y\)
    výška předmětu (Slunce)
    \(y'\)
    výška obrazu Slunce vytvořeného objektivem
     
    \(y''=d\)
    výška obrazu Slunce vytvořeného okulárem

     

    Slunce je ve velké vzdálenosti od objektivu \(a_{1}\), proto obraz Slunce vytvořený objektivem vznikne v ohnisku objektivu.Bude tedy platit: \(a'_{1}=f_{1}\), kde \(f_{1}\) je ohnisková vzdálenost objektivu.

    Zatím nejsme schopni říci, jak daleko je okulár od objektivu \(l\). Z toho důvodu nejsou v obrázku zakreslena ohniska okuláru \(F_{2}\), \(F'_{2}\).

     

    Vzdálenost mezi objektivem a okulárem \(l\)

    Pomocí zobrazovací rovnice pro okulár určíme vzdálenost obrazu vytvořeného objektivem od okuláru \(a_{2}\): \[\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a'_{2}}=\frac{1}{f_{2}}.\]

    Od obou stran rovnice odečteme \(\frac{1}{a'_{2}}\): \[\frac{1}{a_{2}}=\frac{1}{f_{2}}−\frac{1}{a'_{2}}.\]

    Zlomky na pravé straně rovnice převedeme na společného jmenovatele: \[\frac{1}{a_{2}}=\frac{a'_{2}−f_{2}}{a'_{2}f_{2}}.\]

    Vyjádříme \(a_{2}\): \[ a_{2}=\frac{a'_{2}f_{2}}{a'_{2}−f_{2}}.\tag{1}\]

    Pro vzdálenost mezi objektivem a okulárem \(l\) platí: \[l=a'_{1}+a_{2}=f_{1}+a_{2}.\] Dle (1) dosadíme za \(a_{2}\): \[l=f_{1}+\frac{a'_{2}f_{2}}{a'_{2}−f_{2}}.\]

    Číselné řešení

    Ze zadání víme:

    \(f_{1}= 1 \mathrm{m}\)

    \(f_{2}=5{\cdot}10^{−2}  \mathrm{m}\)

    \(a'_{2}=25{\cdot}10^{−2}  \mathrm{m}\)

    Dosadíme:

    \(l=\left(1 +\frac{25{\cdot}10^{−2}\cdot 5{\cdot}10^{−2}}{25{\cdot}10^{−2}−5{\cdot}10^{−2}}\right)  \mathrm{m} \dot= 1{,}06 \mathrm{m}\)

    Z řešení vyplývá, že ohnisko okuláru \(F_{2}\) je \(1 \mathrm{cm}\) za obrazem \(y'\).

     

    Průměr obrazu Slunce \(d\)

    Zobrazení obrazu Slunce na stínítko

    Užitím goniometrických funkcí si vyjádříme úhly \(τ\) a \(τ'\): \[ \mathrm{tg}\,{τ}=\frac{y'}{f_{1}}, \tag{2}\] \[ \mathrm{tg}\,{τ'}=\frac{y'}{a_{2}}=\frac{d}{a'_{2}}. \tag{3}\]

    Vyjádříme \(d\) ze vztahu (3): \[ \frac{y'}{a_{2}}=\frac{d}{a'_{2}}.\] Obě strany rovnice vynásobíme \(a'_{2}\) a prohodíme levou a pravou stranu rovnice: \[ d=a'_{2}\frac{y'}{a_{2}}.\tag{4}\] Obě strany rovnice (2) vynásobíme \(f_{1}\) a prohodíme levou a pravou stranu rovnice: \[ y'=f_{1}\mathrm{tg}\,{τ}. \tag{5}\] Do vztahu (4) dosadíme dle vztahů (1) (za \(a_{2}\)) a (5) (za \(y'\)) a výraz upravíme: \[ d=a'_{2}\frac{f_{1}\mathrm{tg}\,{τ}}{\frac{a'_{2}f_{2}}{a'_{2}−f_{2}}}=\frac{f_{1}\mathrm{tg}\,{τ}}{\frac{f_{2}}{a'_{2}−f_{2}}}=f_{1}\mathrm{tg}\,{τ}\frac{a'_{2}−f_{2}}{f_{2}} .\]

    Číselné řešení

    Ze zadání víme:

    \(f_{1}= 1 \mathrm{m}\)

    \(f_{2}=5{\cdot}10^{−2}  \mathrm{m}\)

    \(a'_{2}=25{\cdot}10^{−2}  \mathrm{m}\)

    \(τ=30\mathrm{′}\)

    Dosadíme:

    \(d=1\cdot\mathrm{tg}\,{30\mathrm{′}}\frac{25{\cdot}10^{−2}−5{\cdot}10^{−2}}{5{\cdot}10^{−2}} \mathrm{m} \dot= 3{,}5{\cdot}10^{−2} \mathrm{m}=3{,}5 \mathrm{cm}.\)

  • Odpověď

    Vzdálenost mezi objektivem a okulárem je \(1 \mathrm{m}\) a \(6 \mathrm{cm}\).

    Průměr obrazu Slunce vytvořeného na stínítku je \(3{,}5 \mathrm{cm}\).

  • Jak se bude lišit nastavení dalekohledu pro oko a pro zobrazování na stínítko?

    Obvykle se do Keplerova dalekohledu díváme okem a chceme, aby okulár poslal do oka rovnoběžné paprsky a na sítnici se pak vytvořil obraz. Pokud se díváme do okuláru zdravým okem (bez optické vady), pak obraz vytvořený objektivem umístíme do ohniska okuláru. V tomto případě obrazové ohnisko objektivu a předmětové ohnisko okuláru budou na stejném místě.

    V naší úloze však chceme, aby okulár vytvořil obraz na stínítku, které má od okuláru určitou vzdálenost. Aby v této vzdálenosti vznikl obraz, který nebude rozmazaný, tak potřebujeme vzdálenost mezi objektivem a okulárem upravit. V našem případě jsme zjistili, že musíme předmětové ohnisko okuláru umístit o centimetr dál od obrazového ohniska objektivu.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha s vysvětlením teorie
Původní zdroj: Lepil, O., Bednařík, M. & Široká, M. Fyzika: sbírka úloh pro
střední školy (3. vyd.). Prometheus, Praha 2003.
Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
×Původní zdroj: Lepil, O., Bednařík, M. & Široká, M. Fyzika: sbírka úloh pro střední školy (3. vyd.). Prometheus, Praha 2003.
Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
Zaslat komentář k úloze