Poyntingův vektor vlny
Úloha číslo: 1406
Vypočítejte velikost časové střední hodnoty Poyntingova vektoru rovinné harmonické vlny ve vakuu:
- Pomocí goniometrických funkcí – klasicky.
- Pomocí komplexních exponenciál – v komplexním formalismu.
Vztahy potřebné pro výpočet
Ve vakuu souvisí vektor magnetické indukce a magnetické intenzity vztahem
\[\vec{B} = \mu_0 \vec{H}.\]Vyjádření vlnového vektoru rovinné vlny
\[\vec{k} = \frac{\omega}{c} \vec{s}.\]Časová střední hodnota funkce \(\cos^2 (at + b)\) přes periodu \(T\) je
\[\langle \cos^2 (at + b) \rangle = \frac{1}{2},\]Odvození
\[\frac{1}{T}\int_0^{T} \underbrace{\cos^2 (at+b)}_{\frac{1}{2}[(1+\cos (2(at+b))]}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2T}\int_0^{T}\left[t +\frac{\sin (2at+2b)}{2a}\right]_0^{T} = \frac{1}{2}.\]Permitivita a permeabilita vakua určuje jeho charakteristickou impedanci
\[ z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}. \]Pro zjednodušení dvojnásobného vektorového součinu se hodí vektorová identita („bac-cab“ identita)
\[\vec a\times(\vec b\times \vec c) = \vec b (\vec a\cdot \vec c ) - \vec c (\vec a \cdot \vec b).\]1. Nápověda – klasicky
Určete velikost časové střední hodnoty Poyntingova vektoru.
Rovinná vlna ve vakuu je popsána elektrickou intenzitou
\[ \vec{E} = \vec{E}_0 \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right), \]pro kterou lze z Maxwellových rovnic určit magnetickou indukci
\[ \vec{B} = \frac{1}{\omega} \vec{k} \times \vec{E}_0 \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right).\]Poyntingův vektor vypočítejte dle definice
\[ \vec{S} = \vec{E}\times\vec{H}. \]2. Nápověda – komplexně
Budeme-li magnetickou a elektrickou složku vlny popisovat pomocí komplexních exponenciál, lze určit časovou střední hodnotu Poyntingova vektoru pomocí vztahu
\[ \langle \vec{S} \rangle = \frac{1}{2}\mathrm{Re\,}\left( \overset{\sim}{\vec{E}}\times \overset{\sim}{\vec{H}}^\star\right), \]kde hvězdička značí komplexní sdružení a vlnka upozorňuje na to, že se jedná o komplexní veličinu.
CELKOVÉ ŘEŠENÍ
1. Elektrickou intenzitu a magnetickou indukci dosadíme do definičního vztahu
\[ \vec{S} = \vec{E}\times\vec{H} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E}\times\vec{B} = \] \[ = \frac{1}{\mu_0} \left[\vec{E}_0 \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)\right] \times \left[ \frac{1}{\omega} \vec{k} \times \vec{E}_0 \cos \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)\right]= \] \[ =\frac{ \cos^2 \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)}{\mu_0 \omega}\vec{E}_0 \times (\vec{k}\times\vec{E}_0)= \]Použijeme vektorovou identitu „bac-cab“.
\[ = \frac{ \cos^2 \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)}{\mu_0 \omega} \left[ \vec{k}(\underbrace{\vec{E}_0 \cdot \vec{E}_0}_{E_0^2}) - \vec{E}_0(\underbrace{\vec{k} \cdot \vec{E}_0}_{0}) \right]= \]Zde jsme užili kolmost vektorů \(\vec k\) a \(\vec{E}_0\).
Dále dosadíme \(\vec{k} = \frac{\omega}{c} \vec{s}\), kde \(\|\vec{s}\| = 1.\)
\[ = \frac{E_0^2 \cos^2 \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)}{\mu_0 \omega} \vec{k} = \frac{E_0^2 \cos^2 \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)}{\mu_0 c } \vec{s} = \]Nyní užijeme \(c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\) a \(z_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\)
\[ =\frac{E_0^2 \cos^2 \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)}{\mu_0 \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} } \vec{s} = \frac{1}{z_0} E_0^2 \cos^2 \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) \vec{s}. \]Střední hodnota Poyntingova vektoru tedy je
\[ \langle \vec{S} \rangle = \frac{1}{z_0} E_0^2 \left\langle \cos^2 \left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)\right\rangle \vec{s} = \frac{1}{2z_0} E_0^2 \vec{s}. \]A velikost díky jednotkovosti vektoru \(\vec s\) jednoduše
\[ \|\langle\vec{S}\rangle\| = \frac{1}{2z_0} E_0^2. \]
2. Namísto reálného zápisu elektrické intenzity a magnetické indukce užijeme zápis komplexní
\[ \overset{\sim}{\vec{E}} = \vec{E}_0 e^{i\left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)}, \] \[ \overset{\sim}{\vec{B}} = \frac{1}{\omega} \vec{k} \times \vec{E}_0 e^{i\left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)}.\]Komplexně sdružená magnetické indukce je
\[ \overset{\sim}{\vec{B}}^\star = \frac{1}{\omega} \vec{k} \times \vec{E}_0 e^{-i\left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)}.\]Dosadíme do vztahu pro střední hodnotu \(\vec S\)
\[ \langle \vec{S} \rangle = \frac{1}{2}\mathrm{Re\,}\left( \overset{\sim}{\vec{E}}\times \overset{\sim}{\vec{H}}^\star\right) = \frac{1}{2\mu_0}\mathrm{Re\,} \left( \overset{\sim}{\vec{E}}\times \overset{\sim}{\vec{B}}^\star\right) = \] \[ = \frac{1}{2\omega \mu_0} \underbrace{e^{i\left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)} e^{- i\left( \omega t - \vec{k}\cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)}}_{=1} \vec{E}_0 \times (\vec{k} \times \vec{E}_0) = \]Použijeme vektorovou identitu „bac-cab“.
\[ = \frac{1}{2\omega \mu_0} \left( \vec{k}(\underbrace{\vec{E}_0 \cdot \vec{E}_0}_{E_0^2}) - \vec{E}_0(\underbrace{\vec{k} \cdot \vec{E}_0}_{0}) \right) = \frac{ E_0^2}{2\omega \mu_0} \vec{k}= \]Užili jsme kolmosti vektorů. Dosadíme vyjádření \(c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}\) a použijeme vztah \(z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\)
\[ = \frac{ E_0^2}{2 c \mu_0} \vec{s} = \frac{1}{2z_0} E_0^2 \vec{s}. \]Velikost střední hodnoty Poyntingova vektoru je tedy
\[ \|\langle \vec{S} \rangle\| = \frac{1}{2 z_0} E_0^2. \]Obdrželi jsme samozřejmě stejný výsledek jako v předchozím řešení.
Odpověď
Velikost střední hodnoty Poyntingova vektoru rovinné vlny je
\[ \|\langle \vec{S} \rangle\| = \frac{1}{2z_0} E_0^2. \]
