Index lomu kapaliny a mince

Úloha číslo: 1560

Na dno sklenice s průhlednou kapalinou výšky \(h\) jsme umístili minci.

Zadání

Budeme-li minci pozorovat mírně z boku, bude se v důsledku lomu světla na rozhraní kapalina-vzduch jevit, že se „vznáší“ v hloubce \(h^\prime\) pod hladinou. Zakreslete polohu okem pozorovaného obrazu a určete index lomu \(n\) kapaliny, jestliže minci pozorujme pod malými úhly.

  • Nápověda 1 – obraz mince

    Nalezněte obraz mince, tj. nakreslete, kde minci uvidíme.

    Paprsky, které se odrážejí od daného bodu mince a dopadají na rozhraní, se na něm lámou a některé z nich dopadnou do oka. Z těchto paprsků zakreslete alespoň dva. Na prodloužení těchto paprsků pak leží obraz, který vidí naše oko.

  • Nápověda 2 – zákon lomu

    Pro některý z paprsků, který docestuje z mince do oka, napište zákon lomu.

  • Nápověda 3 – aproximace pro malé úhly

    Uvažujte, že minci pozorujeme pod malými úhly. Vyjádřete goniometrické funkce v zákonu lomu pomocí zadaných geometrických rozměrů \(h, h^\prime\).

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Chceme zjistit, kde bude oko minci pozorovat. Na následujícím obrázku jsme nakreslili dva paprsky podobného směru (červeně), které se lámou na rozhraní a dopadají do oka. Oko si tyto přicházející paprsky „prodlouží“ a střed mince uvidíme ve zdánlivé hloubce \(h^\prime\)

    Nákres situace

    Pro výpočet indexu lomu kapaliny použijeme zákon lomu, pro který vybereme jeden z paprsků.

    Úhel dopadu označíme jako \(\alpha\), úhel lomu \(\beta\).

    Nákres situace

    Index lomu vzduchu je příbližně \(1\), píšeme zákon lomu ve tvaru

    \[ \frac{\sin \alpha}{\sin\beta} = \frac{1}{n}. \]

    Je-li pozorovací úhel \(\beta\) malý, tj. \(\beta \ll 1\), je malý i úhel \(\alpha\), neboť \(\alpha \lt \beta\). Tedy pro malé úhly platí

    \[ \sin \alpha \approx \tan \alpha, \] \[ \sin \beta \approx \tan \beta, \]

    a tedy dosazením do Snellova vzorce dostáváme

    \[\frac{\tan\alpha}{\tan\beta} \approx \frac{1}{n}.\]

    Z naznačených pravoúhlých trojúhelníků vyplývá, že

    \[\tan \alpha = \frac{s}{h},\] \[\tan \beta = \frac{s}{h^\prime}.\]

    Dosazením dostáváme

    \[ \frac{\frac{s}{h}}{\frac{s}{h^\prime}} = \frac{h^\prime}{h} \approx \frac{1}{n}. \]

    Odtud snadno (rovnost pro malé pozorovací úhly)

    \[ n = \frac{h}{h^\prime}. \]
  • Odpověď

    Index lomu kapaliny, uvážíme-li index lomu vzduchu \(1\), je

    \[ n = \frac{h}{h^\prime}. \]
  • Poznámka

    Pro vodu je \(h:h^\prime \doteq 4:3\), což dává index lomu přibližně \(n\doteq 1{,}3\). Experimentálně ověřte!

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha řešená graficky
Zaslat komentář k úloze