Výpočet vrypů na 1 mm

Úloha číslo: 1622

Na optickou mřížku dopadá kolmo monofrekvenčí žluté světlo o vlnové délce 589 nm. Na stínítku vzdáleném 1 m od mřížky se maximum 1. řádu vytvořilo ve vzdálenosti 5 cm od maxima nultého řádu. Určete počet vrypů připadajících na 1 mm této mřížky.

  • Obrázek

    Nákres situace pro odchýlení prvního maxima od nultého maxima.

    Na obrázku jsme si vyznačili: d je vzdálenost stínítka od mřížky, úhel α je úhel odchýlení prvního maxima od nultého maxima a Δx je vzdálenost na stínítku prvního a nultého maxima.

  • Nápověda 1

    Co je to mřížková konstanta a jak z ní vypočítáme počet vrypů na 1 mm?

  • Nápověda 2

    Z nakresleného obrázku (viz výše) se pokuste vyjádřit vztah pro úhel α pomocí vzdálenosti stínítka od štěrbiny d a vzdálenosti prvního maxima od nultého maxima Δx.

  • Nápověda 3

    Jaký vztah platí pro dráhový rozdíl dvou sousedních paprsků na mřížce a jak ho můžeme upravit, abychom dostali vztah pro mřížkovou konstantu b?

  • Zápis

    d = 1 m vzdálenost mřížky od stínítka
    k = 1 řád maxima
    λ = 589 nm = 5,89·10−7 m vlnová délka dopadajícího světla
    Δx = 5 cm = 0,05 m vzdálenost prvního maxima od nultého maxima na stínítku
    N = ? počet vrypů na 1 mm
  • Řešení

    Nákres situace pro odchýlení prvního maxima od nultého maxima.

    Na obrázku jsme si vyznačili: d je vzdálenost stínítka od mřížky, úhel α je úhel odchýlení prvního maxima od nultého maxima a Δx je vzdálenost na stínítku prvního a nultého maxima.

    Samotná mřížková konstanta není nic jiného než vzdálenost dvou sousedních štěrbin mřížky. Takže když chceme vypočítat počet vrypů N na 1 mm této mřížky, potřebujeme znát mřížkovou konstantu b. Počet vrypů N na 1 mm této mřížky je dán vztahem:

    \[N=\,\frac{10^{−3}\,\mathrm{m}}{b}.\]

    Potřebujeme se dostat ke vztahu pro mřížkovou konstantu b a k tomu nám pomůže, když si úhel α vyjádříme z trojúhelníku na obrázku, a to pomocí goniometrické funkce tangens. Dostaneme:

    \[\mathrm{tg}\,\,α = \, \frac{\mathrm{Δ}x}{d},\]

    takže pro úhel α platí:

    \[α =\, \mathrm{arctg}\,\,\frac{\mathrm{Δ}x}{d}.\]

    Ze vztahu pro dráhový rozdíl dvou sousedních paprsků na mřížce si vyjádříme mřížkovou konstantu b a dostaneme:

    \[\mathrm{Δ}l = \,b\sin\,α,\]

    kde Δl je dráhový rozdíl dvou sousedních paprsků, b je mřížková konstanta a α je úhel, který paprsky svírají s centrální osou,

    \[b=\,\frac{\mathrm{Δ}l}{\sin\,α}.\]

    Teď si dosadíme do předchozího vztahu za α a za Δl dosadíme podmínku pro interferenční maxima Δl = kλ, kde k je ze zadání rovno 1:

    \[b=\,\frac{λ}{\sin\,\mathrm{arctg}\,\,\frac{\mathrm{Δ}x}{d}}.\]

    Už víme, jak vypočítat mřížkovou konstantu. Můžeme tedy dosadit do vztahu pro počet vrypů N a získáme:

    \[N= \,\frac{10^{−3}\,\mathrm{m}}{\,\frac{λ}{\sin\,\mathrm{arctg}\,\,\frac{\mathrm{Δ}x}{d}}}= \,\frac{\sin\,\mathrm{arctg}\,\,\frac{\mathrm{Δ}x}{d}}{λ}\,10^{−3}\,\mathrm{m}= \,\frac{\sin\,\mathrm{arctg}\,\,\frac{0.05}{1}}{5{,}89{\cdot}10^{−7}\,\,\mathrm{m}}10^{−3}\,\mathrm{m}=\] \[=\,84{,}7\,\dot=\,85. \]
  • Odpověď

    Na 1 mm této mřížky připadá asi 85 vrypů.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha rutinní
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze