Mládě žirafy a kulové zrcadlo

Úloha číslo: 1742

Představme si mládě žirafy, které má výšku \(2 \mathrm{m}\) a stojí \(1{,}5 \mathrm{m}\) před vrcholem kulového zrcadla. Zrcadlo vytváří obraz o výšce \(1 \mathrm{m}\). Určete poloměr křivosti a typ zrcadla.

mládě žirafy

  • Obrázek k zadání

    Obrázek k zadání
  • Zápis

    \(y= 2 \mathrm{m}\) výška mláděte žirafy
    \(|y'|=1 \mathrm{m}\) výška obrazu mláděte žirafy
    \(a=1{,}5 \mathrm{m}\) vzdálenost mláděte žirafy od vrcholu kulového zrcadla
    \(r= ?\) poloměr křivosti kulového zrcadla

  • Znaménková konvence

    V úloze používáme znaménkovou konvenci popsanou v Zobrazení netopýra kulovým zrcadlem a spojnou čočkou .

  • Nápověda 1

    Jaký je vztah mezi ohniskem kulového zrcadla a jeho poloměrem?

    Napište si zobrazovací rovnici pro kulové zrcadlo a vyjádřete odtud ohniskovou vzdálenost.

  • Nápověda 2

    Využitím vztahů pro zvětšení zrcadla určete vzdálenost obrazu mláděte žirafy od vrcholu zrcadla \(a'\).

  • Nápověda 3

    Do vztahu (2) dosaďte vztah (3) a výsledný vzorec dosaďte do rovnice (1).

    Určete obecně poloměr křivosti \(r\).

  • Nápověda 4

    Zamyslete se, jaké vlastnosti obrazu můžeme ze zadání určit. Z jakého důvodu v zápise zapisujeme velikost obrazu do absolutní hodnoty?

    Určete číselně poloměr křivosti \(r\).

  • Nápověda 5

    Jaké známe typy kulových zrcadel? Jak souvisí typ kulového zrcadla s jeho poloměrem křivosti \(r\)? Určete o jaký typ kulového zrcadla se jedná v našem případě.

  • Celkové řešení

    Poloměr a ohnisková vzdálenost kulového zrcadla

    Pro poloměr kulového zrcadla (dutého i vypuklého) platí vztah: \[r=2f,\tag{1}\] kde \(f\) je ohnisková vzdálenost zrcadla. Napíšeme zobrazovací rovnici pro kulové zrcadlo: \[\frac{1}{a}+\frac{1}{a'}=\frac{1}{f},\] kde \(a\) je vzdálenost mláděte žirafy od vrcholu kulového zrcadla a \(a'\) je vzdálenost obrazu mláděte žirafy od vrcholu kulového zrcadla.

    Zlomky na levé straně rovnice převedeme na společného jmenovatele: \[\frac{a+a'}{a\cdot a'}=\frac{1}{f}.\]

    Vyjádříme \(f\): \[f=\frac{a\cdot a'}{a+a'} \tag{2}\]

     

    Vzdálenost obrazu mláděte žirafy od vrcholu zrcadla \(a'\)

    Využijeme vztahy pro zvětšení zrcadla:

    \(Z=\frac{y'}{y}\) a \(Z=−\frac{a'}{a}\).

    Porovnáním těchto dvou vztahů dostáváme: \[−\frac{a'}{a}=\frac{y'}{y}.\] Obě dvě strany rovnice vynásobíme \(−a\): \[a'=−a\frac{y'}{y}.\tag{3}\]

     

    Poloměr křivosti obecně

    Do vztahu (2) dosadíme za \(a'\) vztah (3): \[f=\frac{a\cdot \left(−a\frac{y'}{y}\right)}{a−a\frac{y'}{y}}. \] \(a\) vytkneme a vykrátíme: \[f=\frac{ −a\frac{y'}{y}}{1−\frac{y'}{y}}. \] Upravíme jmenovatel zlomku: \[f=\frac{ −a\frac{y'}{y}}{\frac{y−y'}{y}}. \] \(\frac{1}{y}\) vykrátíme: \[f=\frac{ −a\cdot y'}{y−y'}. \] Získaný vztah dosadíme za \(f\) do vztahu (1): \[r=2f=2\frac{ −a\cdot y'}{y−y'}.\]

     

    Poloměr křivosti číselně a typ kulového zrcadla

    Velikost obrazu jsme v zápise zapsali do absolutní hodnoty \(|y'|=1 \mathrm{m}\), protože víme, jak je obraz vysoký, ale o jeho dalších vlastnostech nic nevíme.

    Pro přímý obraz bude platit \(y'=1 \mathrm{m}\) a pro převrácený obraz \(y'=−1 \mathrm{m} \).

    Číselné řešení

    Ze zadání víme:

    \(y= 2 \mathrm{m}\)

    \(|y'|=1 \mathrm{m}\)

    \(a=1{,}5 \mathrm{m}\)

    Do vztahu pro výpočet poloměru kulového zrcadla dosadíme hodnoty pro přímý obraz:

    \(r=2\frac{ −1{,}5 {\cdot} 1}{2−1} \mathrm{m}= −3 \mathrm{m}.\)

    Protože poloměr křivosti je menší než nula \(\left(r\lt 0 \right)\), jedná se o vypuklé zrcadlo.

    Nyní dosadíme hodnoty pro převrácený obraz:

    \(r=2\frac{ −1{,}5 \cdot \left(−1\right)}{2+1} \mathrm{m}= 1 \mathrm{m}.\)

    Protože poloměr křivosti je větší než nula \(\left(r\gt 0 \right)\), jedná se o duté zrcadlo.

  • Odpověď

    Žirafa se dívá do vypuklého zrcadla s poloměrem křivosti \(3 \mathrm{m}\) nebo do dutého zrcadla s poloměrem křivosti \(1 \mathrm{m}\).

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Původní zdroj: Soukup, V. & Veselý, J. Maturitní otázky z fyziky (1. vyd.). Tutor,
Praha 2006.
Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
×Původní zdroj: Soukup, V. & Veselý, J. Maturitní otázky z fyziky (1. vyd.). Tutor, Praha 2006.
Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
Zaslat komentář k úloze