Sbírka řešených úloh

Osvětlená diamantová destička

Úloha číslo: 1576

• Nápověda 1

  Napišme si základní vztah mezi rychlostí světla, vlnovou délkou a periodou, resp. frekvencí.

• Řešení nápovědy 1

  Vztah, který potřebujeme, je:

  \[\lambda=\,\frac{v}{f}.\]

• Podrobnější odvození

  Pokud si jim nejsme jistí, lze vztah odvodit pomocí vztahu pro rovnoměrný pohyb: \[v=\,\frac{s}{t},\] kde v je rychlost šíření, s je dráha a t je čas.

  V našem případě počítáme se světlem a bereme ho jako vlnění, a proto platí, že dráha s je rovna vlnové délce λ a čas t je perioda T.

  Tedy:

  \[v=\frac{\lambda}{T}.\]

  Vztah mezi periodou T a frekvencí f je:

  \[f=\frac{1}{T} \quad\Rightarrow\quad T=\frac{1}{f}.\]

  Dostaneme tedy: \[v=\,\lambda f \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{v}{f}.\]

• Nápověda 2

  Co se děje s rychlostí světla, s vlnovou délkou a frekvencí světla, pokud paprsek světla přechází z jednoho prostředí do jiného?

• Řešení nápovědy 2

  Jelikož frekvence je vlastnost zdroje světla, nelze ji ovlivnit změnou prostředí. Rychlost šíření a vlnová délka světla se v jiném prostředí změní.

  Vztah pro výpočet vlnových délek světla pro dvě různá prostředí naleznete u úlohy Vlnová délka ve vodě, Řešení nápovědy 2, kde jsme odvodili:

  \[n=\, \frac{\lambda_\mathrm{1}}{\lambda_\mathrm{2}} \quad\Rightarrow\quad \lambda_\mathrm{2}=\frac{\lambda_\mathrm{1}}{n}, \]

  kde λ₁ je vlnové délka světla ve vakuu a λ₂ je vlnová délka ve druhém prostředí (v diamantu), kterou chceme spočítat.

• Zápis

  f = 0,75·1015 Hz	frekvence světla
  nd = 2,465	relativní index lomu diamantu
  v = 3·108 ms-1	rychlost světla
  λ = ? (nm)	vlnová délka světla ve vakuu
  λ2 = ? (nm)	vlnová délka světla v diamantu

• Řešení

  Vezmeme vztah mezi rychlostí šíření světla v, vlnovou délkou světla λ a frekvencí světla f (viz Nápověda 1):

  \[ v_\mathrm{1}=\lambda_\mathrm{1}f.\tag{1}\]

  Vyjádříme z něj vlnovou délku λ:

  \[\lambda_\mathrm{1}=\frac{v_\mathrm{1}}{f}.\tag{2}\]

  Teď můžeme dosadit hodnoty ze zadání a spočítat vlnovou délku λ₁ fialového světla ve vakuu. Dosadíme za frekvenci f = 0,75·10¹⁵ Hz a rychlost světla ve vakuu v₁ = c = 3·10⁸ ms^-1:

  \[ \lambda_\mathrm{1} =\,\frac{\mathrm {3 {\cdot} 10^{8}}}{ \mathrm{0{,}75{\cdot}10^{15}}}\,\mathrm m = \mathrm {4 {\cdot} 10^{-7}\,m}= \mathrm {400 {\cdot} 10^{-9}\,m}=\mathrm {400 \,nm}. \tag{3}\]

  Právě jsme spočítali vlnovou délku fialového světla ve vakuu a teď spočítáme, jakou vlnovou délku bude mít fialové světlo v diamantu.

   

  Pro to potřebujeme odvodit vztah mezi vlnovými délkami světla ve dvou různých prostředí. Vyjdeme z toho, že frekvence je v obou prostředích stejná (nemění se).

  \[ f=\frac{v_\mathrm{1}}{\lambda_\mathrm{1}}=\frac{v_\mathrm{2}}{\lambda_\mathrm{2}},\tag{4}\]

  kde f je frekvence světla, v₁ = c je rychlost světla ve vakuu, λ₁ je vlnová délka ve vakuu, v₂ je rychlost světla v diamantu a λ₂ je vlnová délka světla v diamantu.

   

  Z rovnice (4) si vyjádříme neznámou vlnovou délku v diamantu λ₂ a použijeme definiční vztah pro relativní index lomu n = \(\frac{c}{v_2}\). Dostaneme:

  \[ \lambda_\mathrm{2}=\, \frac{1}{n}\lambda_\mathrm{1}.\tag{5}\]

  Upravíme a za λ₁ dosadíme vztah (2):

  \[\lambda_\mathrm{2}=\frac{\frac{c}{f}}{n} = \frac{c}{nf}.\]

  Nyní můžeme dosadit hodnotu frekvence světla ze zadání f = 0,75·10¹⁵ Hz, rychlost světla ve vakuu c = 3·10⁸ ms^-1 a za index lomu diamantu n_d = 2,465.

  \[ \lambda_\mathrm{2}=\, \frac{3{\cdot}10^{8}}{2{,}465\cdot {0{,}75} \cdot 10^{15}}\,\mathrm{m} = 162\,\mathrm{nm}\]

• Odpověď

  Vlnová délka fialového světla ve vakuu je 400 nm, v diamantu je jeho vlnová délka 162 nm.