Interference vln šířících se různými směry

Úloha číslo: 1401

Ve vakuu se šíří dvě vlny o stejné frekvenci, jejichž vlnové vektory \(\vec{k}_1,\vec{k}_2\) svírají úhel \(2\alpha\). Tyto vlny dopadají na stínítko kolmé ke směru \(\vec{k}_1 + \vec{k}_2\). Předpokládejte, že amplituda elektrické intenzity obou vln je kolmá k rovině dané vektory \(\vec{k}_1\) a \(\vec{k}_2\). Použijte popis vln v komplexním formalismu

\[ \begin{eqnarray} \vec{E}_1 &=& \vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}_1 \cdot \vec r)},\\ \quad \vec{E}_2 &=& \vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}_2 \cdot \vec r)}. \end{eqnarray} \]

Vypočtěte a popište průběh časové střední hodnoty objemové hustoty elektrické energie elektromagnetické vlny na stínítku.

Interference vln
  • Teorie

    Pro řešení příkladu je potřeba znát popis rovinné vlny

    \[ \vec{E} = \vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k} \cdot \vec r)}, \]

    kde \(\vec{k}\) je vlnový vektor mající směr šíření vlny a platí \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\). Více o popisu rovinné vlny zde.

    Využijeme také Eulerův vztah pro exponenciálu s komplexním exponentem

    \[e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi.\]

    Střední hodnota objemové hustoty elektrické energie elektromagnetické vlny ve vakuu s využitím komplexního formalismu lze vypočítat ze vztahu

    \[w_\mathrm{E} = \frac{1}{4}\varepsilon_0\, \vec{E}\cdot\vec{E}^\star.\]
  • Nápověda 1 – průběh intenzity na stínítku

    Cílem je určit střední hodnotu objemové hustoty elektrické energie elektromagnetické vlny ve vakuu

    \[w_\mathrm{E} = \frac{1}{4}\varepsilon_0\, \vec{E}\cdot\vec{E}^\star.\]

    Potřebujeme tedy vyjádření elektrické intenzity \(\vec{E}\) výsledné vlny. Nalezněte jej jako superpozici (součet) interferovaných vln.

  • Nápověda 2 – interferenční obrazec

    Intenzita světla na stínítku je úměrná střední hodnotě prostorové hustoty elektrické energie vlny v daném místě. Rozborem nalezené funkce \(w_\mathrm{E}(x)\) popište vzniklý interferenční obrazec.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Máme dány vlny s elektrickými intenzitami

    \[\vec{E}_1 = \vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}_1 \cdot \vec r)}, \quad \vec{E}_2 = \vec{E}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}_2 \cdot \vec r)}.\]

    Jejich superpozicí získáme el. intenzitu výsledné vlny

    \[ \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \vec{E}_0 e^{i\omega}\big( e^{-i\vec{k}_1 \cdot \vec{r}} + e^{-i\vec{k}_2 \cdot \vec{r}} \big). \]

    Tuto intenzitu je třeba dosadit do vztahu pro střední hustotu el. energie

    \[ w_\mathrm{E} = \frac{1}{4}\varepsilon_0\, \vec{E}\cdot\vec{E}^\star. \]

    Proveďme proto nejprve skalární součin výrazů

    \[\vec{E} = \vec{E}_0 e^{i\omega}\big( e^{-i\vec{k}_1 \cdot \vec{r}} + e^{-i\vec{k}_2 \cdot \vec{r}} \big) \quad \mathrm{a} \quad \vec{E}^\star = \vec{E}_0 e^{-i\omega}\big( e^{i\vec{k}_1 \cdot \vec{r}} + e^{i\vec{k}_2 \cdot \vec{r}} \big). \]

    Tedy

    \[ \vec{E}\cdot \vec{E}^\star = E_0^2 e^{i\omega - i\omega} \big( e^{-i\vec{k}_1 \cdot \vec{r}} + e^{-i\vec{k}_2 \cdot \vec{r}} \big)\big( e^{i\vec{k}_1 \cdot \vec{r}} + e^{i\vec{k}_2 \cdot \vec{r}} \big)= \] \[ =E_0^2 \left( e^{-i(\vec{k}_1 -\vec{k}_1) \cdot \vec{r}} + e^{ i(\vec{k}_2 -\vec{k}_1) \cdot \vec{r}} + e^{-i(\vec{k}_2 -\vec{k}_1) \cdot \vec{r}} + e^{-i(\vec{k}_2 -\vec{k}_2) \cdot \vec{r}} \right)= \] \[ = E_0^2 \left( 1 + e^{ i(\vec{k}_2 -\vec{k}_1) \cdot \vec{r}} + e^{-i(\vec{k}_2 -\vec{k}_1) \cdot \vec{r}} + 1 \right)= \]

    Komplexní exponenciálu rozepíšeme z Eulerova vztahu \(e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi \)

    \[ \small{= E_0^2 \left[ 2 + \cos \vec{r}\cdot(\vec{k}_2 -\vec{k}_1) + i\sin\vec{r}\cdot (\vec{k}_2 -\vec{k}_1) + \cos \vec{r}\cdot (\vec{k}_2 -\vec{k}_1) - i\sin \vec{r}\cdot (\vec{k}_2 -\vec{k}_1) \right] = } \] \[ =E_0^2 \left[ 2 + 2\cos \left(\vec{r}\cdot \left(\vec{k}_2 -\vec{k}_1\right)\right) \right] = 2E_0^2 \left[ 1 + \cos \left(\vec{r}\cdot \left(\vec{k}_2 -\vec{k}_1\right)\right) \right].\]

    Dosazením vypočítaného do vztahu pro hustotu el. energie pak máme

    \[ w_\mathrm{E} = \frac{1}{4}\varepsilon_0\, \vec{E}\cdot\vec{E}^\star = \frac{E_0^2}{2} \left[1 + \cos \left(\vec{r}\cdot (\vec{k}_2 -\vec{k}_1)\right) \right]. \]

    Upravme zvlášť skalární součin \(\vec{r}\cdot (\vec{k}_2 -\vec{k}_1)\) v argumentu kosinu.

    Skalární součin

    Zavedeme-li kartézský systém souřadnic podle obrázku, skalární součin se po rozepsání zjednoduší

    \[ \vec{r}\cdot (\vec{k}_2 -\vec{k}_1) = x(k_{2x} - k_{1x})+ y(\underbrace{k_{2y} - k_{1y}}_{0})+ z(\underbrace{k_{2z} - k_{1z}}_{0}) = x(k_{2x} - k_{1x}). \]

    neboť \(y\)-ové i \(z\)-ové složky vlnových vektorů jsou stejné.

    Vlny mají stejnou frekvenci, proto je stejná i velikost vlnových vektorů – označme ji \(k\).
    Podle následujícího obrázku

    Vyjádření rozdílu x-ových souřadnic vlnových vektorů

    lze rozdíl \(x\)-ových složek vlnových vektorů vyjádřit jako \(2k\sin\alpha\), čímž dostáváme následující výraz pro skalární součin

    \[ \vec{r}\cdot (\vec{k}_2 -\vec{k}_1) = 2kx\sin\alpha. \]

    Užitím právě odvozeného vyjádření skalárního součinu dostáváme konečný vztah pro prostorovou hustotu elektrické energie

    \[ w_\mathrm{E}= \frac{E_0^2}{2} \left[ 1 + \cos (2kx\sin\alpha) \right]. \]

    Ta je závislá pouze na souřadnici \(x\) (svislá osa), se souřadnicí \(y\) (osa směřující před nákresnu) se nemění.

    Použijeme-li navíc goniometrický vztah \(\frac{1+\cos \varphi}{2} = \cos^2 \frac{\varphi}{2}\), dostaneme následující průběh střední hodnoty prostorové hustoty elektrické energie

    \[ w_\mathrm{E}(x) = E_0^2 \cos^2 (kx\sin\alpha), \]

    Povahu interferenčního obrazce ve smyslu relativního osvětlení stínítka tedy určuje funkce

    \[ I_r(x) = \cos^2 (kx\sin\alpha). \]
    Průběh relativní intenzity

    Na stínítku se objeví proužky mající směr osy \(y\).

    Interferenční obrazec na stínítku

    Vypočítejme, na čem závisí šířka interferenčních proužků. Za šířku proužku budeme považovat vzdálenost sousedních minim. Intenzita světla na stínítku je minimální, jestliže

    \[ \cos^2 (kx\sin\alpha) = 0, \quad\text{ tj. když }\quad kx\sin\alpha = \frac{\pi}{2} + m\pi,\quad m\in\mathbb{Z}. \]

    Chceme-li určit vzdálenost libovolných dvou sousedních minim, napíšeme tuto podmínku pro \(m\)-té a \((m+1)\)-ní minimum, které nastává na souřadnicích \(x_1\) a \(x_2\)

    \[ \begin{eqnarray} kx_1\sin\alpha &=& \frac{\pi}{2} + m\pi \\ kx_2\sin\alpha &=& \frac{\pi}{2} + (m+1)\pi, \end{eqnarray} \]

    rovnice odečteme

    \[ k(\underbrace{x_2 - x_1}_{\Delta x}) \sin\alpha = \pi \]

    a vyjádříme hledanou šířku

    \[ \Delta x = \frac{\pi}{k\sin\alpha}. \]

    Dosazením \(\frac{2\pi}{\lambda}\) za velikost vlnového vektoru \(k\) dostaneme konečný vztah

    \[ \Delta x = \frac{\lambda}{2\sin\alpha}. \]

    Z tohoto vztahu plyne, že pro větší vlnové délky bude interferenční obrazec širší, naopak s rostoucí odchylkou paprsků se bude zhušťovat.

  • Odpověď

    Průběh střední hodnoty prostorové hustoty elektrické energie na stínítku je

    \[ w_\mathrm{E}(x) = E_0^2 \cos^2 (kx\sin\alpha), \] Relativní osvětlení stínítka určuje funkce \[ I_r(x) = \cos^2 (kx\sin\alpha). \]
    Průběh intenzity

    Šířka proužků interferenčního obrazce (vzdálenost sousedních minim) je

    \[ \Delta x = \frac{\lambda}{2\sin\alpha}. \]

    Pro větší vlnové délky bude interferenční obrazec širší, naopak s rostoucí odchylkou paprsků se bude zhušťovat.

  • Poznámka: „Stavíme“ rovinnou harmonickou vlnu (komplexní formalismus)

    V této části postupným zobecňováním rovnice vlny v přímce dospějeme k rovnici komplexní rovinné vlny.

    Již ze střední školy z nauky o mechanickém vlnění si možná pamatujeme, že postupnou harmonickou vlnu na přímce můžeme popsat rovnicí

    \[ y(x,t) = y_0 \cos \left[\omega \left( t - \frac{x}{v}\right)\right]. \]

    Nejde o nic jiného, než o zobecnění rovnice harmonického oscilátoru, uvědoměním si, že v místě vzdáleném \(x\) od zdroje je v čase \(t\) okamžitá výchylka stejná, jako byla v čase \(t-\frac{x}{v}\) na zdroji, kde podíl \(\frac{x}{v}\) je čas, po který se vlna do daného místa šíří.

    Šíření vzruchu od zdroje

    V našem optickém příkladě nejde však o žádnou fyzickou výchylku \(y\), ale o vektor elektrické intenzity \(\vec{E}\). Rychlost šíření světla se obvykle značí \(c\), takže po přepsání máme

    \[ \vec{E} = \vec{E}_0 \cos \left[\omega \left( t - \frac{x}{c}\right)\right]. \]

    Vektor elektrické intenzity je nyní přiřazen každému bodu přímky šíření. Stavíme ale vlnu rovinnou, proto bychom chtěli, aby tyto hodnoty byly přiřazeny i všem bodům v kolmých rovinách na směr šíření.

    Rovinná vlna

    Každá taková rovina je tvořena body, jejichž polohové vektory \(\vec{r}\) mají stejný průmět \(x\) do směru šíření \(\vec{s}\). Proto lze psát

    \[\vec{r} \cdot \vec{s} = x.\]

    Dostáváme tak rovnici rovinné vlny ve tvaru

    \[ \vec{E} = \vec{E}_0 \cos \left[\omega \left( t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right)\right] = \vec{E}_0 \cos \left(\omega t - \omega \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c}\right). \]

    Druhý člen v argumentu je dost složitý. Zjednodušme jej

    \[ \omega \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c} = 2\pi \nu \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c} = 2\pi \frac{c}{\lambda} \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{c} = \underbrace{\frac{2\pi}{\lambda}\vec{s}}_{\mathrm{ozn.}\,\vec{k}} \cdot\vec{r} = \vec{k}\cdot\vec{r}. \]

    Při úpravě jsme použili vztahy \(\omega = 2\pi \nu\) a \(\lambda = \frac{c}{\nu}\). Zavedli jsme vlnový vektor \(\vec{k}\), který má směr šíření vlny a jehož velikost je zde pro rovinnou monochormatickou vlnu rovna \(\frac{2\pi}{\lambda}\).

    Rovinná vlna má nyní sice poměrně elegantní tvar

    \[ \vec{E} = \vec{E}_0 \cos \left(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r} \right), \]

    ale práce s tímto tvarem, například při superpozici vln, není šikovná – vede na sčítání goniometrických funkcí s různými argumenty. Proto zavedeme komplexní vyjádření vlny. Pracujme ve vší obecnosti, dodejme do argumentu počáteční fázi \(\varphi_0\)

    \[ \vec{E} = \vec{E}_0 \cos \left(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r} + \varphi_0 \right). \]

    K tomuto reálnému vyjádření přičteme komplexní vektorovou funkci

    \[i \vec{E}_0 \sin \left(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r} + \varphi_0 \right),\]

    čímž vznikne komplexní vlna

    \[ \overset{\sim}{\vec E} = \vec{E}_0 \cos \left(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r} + \varphi_0 \right) + i \vec{E}_0 \sin \left(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r} + \varphi_0 \right). \]

    Z definice komplexní exponenciály \(e^{i\alpha} = \cos\alpha + i\sin \alpha\) pak máme

    \[ \overset{\sim}{\vec E} = \vec{E}_0 e^{i\left(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r} + \varphi_0 \right)} = \underbrace{\vec{E}_0 e^{i\varphi_0 }}_{\mathrm{ozn.\,}\overset{\sim}{\vec{E}_0}} e^{i\left(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r}\right)} = \overset{\sim}{\vec{E}_0} e^{i\left(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r}\right)}. \]

    kde jsme zavedli komplexní amplitudu \(\overset{\sim}{\vec{E}_0}\), která v sobě kromě informace o velikosti vlny zahrnuje i její počáteční fázi.

    Tam, kde je optika lineární, lze libovolné komplexní vlny sčítat, s exponenciálními funkcemi se pracuje dobře. V okamžiku, kdy nás zajímá reálný průběh, podíváme se na reálnou část komplexní vny, tj.

    \[ \vec{E} = \mathrm{Re\,} \overset{\sim}{\vec{E}}. \]

    Obvykle se nad komplexní veličiny symboly \(\sim\) nepíší. Že se jedná o komplexní veličinu je poznat z  přítomnosti komplexní exponenciály. V této úloze budeme vlnky také vynechávat.

    Poznamenejme, že v tomto případě je použití komplexního formalismu pouze matematický „zlepšovák“, imaginární část nemá žádný fyzikální význam.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze