Výpočet šířky spektra

Úloha číslo: 1649

Na optickou mřížku s mřížkovou konstantou 0,01 mm dopadá kolmo bílé světlo, jehož vlnové délky jsou od 390 nm do 790 nm. Jaká je šířka spojitého spektra prvního řádu, které se vytváří na stínítku umístěném ve vzdálenosti 3 m za mřížkou?

  • Obrázek

    Obrázek pro ozdvození vztahu pro šířku spektra.

    Na obrázku jsme vyznačili: d je vzdálenost mřížky od stínítka, xf je vzdálenost fialového maxima prvního řádu od nultého řádu a úhel αf je jeho odchýlení, xč je vzdálenost červeného maxima prvního řádu od nultého řádu a úhel αč je jeho odchýlení, Δx je šířka spektra, které se objeví na stínítku.

  • Nápověda 1

    Pokuste se najít vztah pro úhly αf a αč pomocí dráhového rozdílu Δl a mřížkové konstanty b.

  • Nápověda 2

    Vyjádřete si pomocí obrázku (viz výše) šířku spektra Δx pomocí jednotlivých vzdáleností xf, xč a úhlů αf, αč.

  • Zápis

    b = 0,01 mm =10−5 m mřížková konstanta
    d = 3 m vzdálenost mřížky od stínítka
    k = 1 řád maxima
    λf = 390 nm = 3,9·10−7 m vlnová délka fialového světla
    λč = 790 nm = 7,9·10−7 m vlnová délka červeného světla
    Δx = ? (cm) šířka spektra
  • Řešení

    Obrázek pro ozdvození vztahu pro šířku spektra.

    Na obrázku jsme vyznačili: d je vzdálenost mřížky od stínítka, xf je vzdálenost fialového maxima prvního řádu od nultého řádu a úhel αf je jeho odchýlení, xč je vzdálenost červeného maxima prvního řádu od nultého řádu a úhel αč je jeho odchýlení, Δx je šířka spektra, které se objeví na stínítku.

    Chceme-li vypočítat šířku spektra na stínítku Δx, vyjádříme si tuto vzdálenost pomocí jednotlivých vzdáleností xf, xč a úhlů αf, αč.

    \[\mathrm{Δ}x=\, x_\mathrm{č} − x_\mathrm{f}=\, d\,\mathrm{tg}\,\,α_\mathrm{č} − d\,\mathrm{tg}\,\,α_\mathrm{f}=\,d\left(\mathrm{tg}\,\,α_\mathrm{č} − \mathrm{tg}\,\,α_\mathrm{f}\right).\]

    V tomto vztahu neznáme úhly odchýlení αč a αf. Pro tyto úhly platí vztahy:

    \[\sin\,α_\mathrm{č} = \, \frac{\mathrm{Δ}l_\mathrm{č}}{b} \quad \mathrm{a} \quad \sin\,α_\mathrm{f} = \, \frac{\mathrm{Δ}l_\mathrm{f}}{b},\]

    kde si za Δl dosadíme vztah pro interferenční maxima Δl =  a dosadíme k = 1. Za vlnovou délku λ dosadíme vlnovou délku světla příslušné barvy:

    \[\sin\,α_č = \, \frac{λ_\mathrm{č}}{b} \quad \mathrm{a} \quad \sin\,α_f = \, \frac{λ_\mathrm{f}}{b}.\]

    Teď si vyjádříme samotné úhly αč a αf a dosadíme do vztahu pro Δx.

    \[α_č = \,\arcsin\, \frac{λ_\mathrm{č}}{b} \quad \mathrm{a} \quad α_f = \,\arcsin\, \frac{λ_\mathrm{f}}{b}.\]

    Dosadíme hodnoty:

    \[\mathrm{Δ}x=\,\,d\left(\mathrm{tg}\,\,α_\mathrm{č} − \mathrm{tg}\,\,α_\mathrm{f}\right)=\, d\left(\mathrm{tg}\,\,\arcsin\, \frac{λ_\mathrm{č}}{b} − \mathrm{tg}\,\,\arcsin\, \frac{λ_\mathrm{f}}{b}\right)=\] \[=\, 3(\mathrm{tg}\,\,\arcsin\, \frac{7{,}9{\cdot}10^{−7}}{10^{−5}} − \mathrm{tg}\,\,\arcsin\, \frac{3{,}9{\cdot}10^{−7}}{10^{−5}})\,\dot{=}\,0{,}12\,\mathrm{m} = 12\,\mathrm{cm}.\]
  • Odpověď

    Šířka spojitého spektra prvního řádu, které vznikne na stínítku vzdáleném 3 m, je 12 cm.

  • Komentář

    Když se zamyslíme nad velikostí úhlu odchýlení červeného a fialového světla, zjistíme, že se jedná o velmi malé úhly. Pro takové úhly platí

    \[\sin\,\alpha\ \dot{=}\ \, \alpha\ \dot{=}\ \mathrm{tg}\,\,\alpha,\]

    kde prostřední rovnost platí, pokud je uvažovaný úhel dosazen v radiánech. Výpočet provedeme znovu, ale s výše uvedeným zanedbáním.

    Vypočítáme si úhly a hodnoty sin α a tg α, abychom viděli, že toto přiblížení v našem případě platí dostatečně přesně.

    \[\sin\,\alpha_\mathrm{č} =\, \frac{\lambda_\mathrm{č}}{b}= \,\frac{7{,}9{\cdot}10^{−7}}{10^\mathrm{−5}}=\,0{,}0790, \] \[\alpha_\mathrm{č}\dot=\,0{,}0791 \qquad \Rightarrow\qquad \mathrm{tg}\,\,\alpha_\mathrm{č}\ \dot{=}\ 0{,}0792,\] \[\sin\,\alpha_\mathrm{f} =\, \frac{\lambda_\mathrm{f}}{b}= \,\frac{3{,}9{\cdot}10^{−7}}{10^\mathrm{−5}}=\,0{,}0390,\] \[\alpha_\mathrm{č}\dot=\,0{,}03901 \qquad \Rightarrow\qquad\mathrm{tg}\,\,\alpha_\mathrm{f}\ \dot{=}\ \,0{,}03902,\]

     

    Z obrázku dostaneme vztahy pro úhly odchýlení αč a αf:

    \[\frac{x_\mathrm{č}}{d}=\,\mathrm{tg}\,\,\alpha_\mathrm{č}\ \dot{=}\ \,\alpha_\mathrm{č}\ \dot{=}\ \,\sin\,\alpha_\mathrm{č} = \frac{\mathrm{\Delta}l_\mathrm{č}}{b},\] \[\frac{x_\mathrm{f}}{d}=\,\mathrm{tg}\,\,\alpha_\mathrm{f}\ \dot{=}\ \,\alpha_\mathrm{f}\ \dot{=}\ \,\sin\,\alpha_\mathrm{f} = \frac{\mathrm{\Delta}l_\mathrm{f}}{b},\]

    kde si za Δl dosadíme vztah pro interferenční maxima Δl = , dosadíme k = 1 a vyjádříme si xč a xf.

    \[\mathrm{\Delta}x=\, x_\mathrm{č} − x_\mathrm{f}=\,\frac{d}{b}\left(\lambda_\mathrm{č} − \lambda_\mathrm{f}\right)\]

    a dosadíme hodnoty ze zadání

    \[\mathrm{\Delta}x=\,\frac{3}{10^\mathrm{−5}}\cdot\left(7{,}9{\cdot}10^{−7} − 3{,}9{\cdot}10^{−7}\right)\,\mathrm{m}= \,0{,}12\,\mathrm{m}=\,12\,\mathrm{cm}.\]

    Jak můžeme vidět, i když jsme použili zanedbání, na výsledku se nic nezměnilo.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze