Poloha prvního maxima při interferenci dvou koherentních zdrojů

Úloha číslo: 1621

Vzdálenost dvou koherentních světelných zdrojů je 0,45 mm. Určete, v jaké vzdálenosti od maxima nultého řádu je první jasný pruh červené barvy o vlnové délce 700 nm, je-li stínítko ve vzdálenosti 0,5 m od zdrojů.

  • Nápověda 1

    Jaký je dráhový rozdíl paprsků, které vycházejí z obou zdrojů a dopadají na stejné místo na stínítku?

  • Nápověda 2

    Jakou hodnotu musí mít drahový rozdíl, aby vzniklo interferenční maximum?

  • Nápověda 3

    Jak bude vypadat vztah pro vzdálenost prvního červeného maxima Δx, které vznikne na stínítku, pokud si ho vyjádříme pomocí úhlu odchýlení α?

  • Zápis

    b = 0,45 mm = 4,5·10−4 m vzdálenost dvou zdrojů
    λ = 700 nm = 7,0·10−7 m vlnová délka světla
    k = 1  řád maxima
    d = 0,5 m vzdálenost stínítka od zdrojů
    Δx = ? (mm) vzdálenost prvního maxima červené barvy od maxima 0. řádu
  • Řešení

    Ze zdrojů se světlo šíří všemi směry. Světlo z obou zdrojů dopadá na stínítko a vzniká interferenční obrazec. Na stínítku vznikají maxima a minima, jejich polohy závisí na dráhovém rozdílu dvou paprsků vycházejících ze zdrojů.

    Předpokládejme, že stínítko je tak daleko od zdrojů, že paprsky přicházející do určitého bodu A stínítka jsou přibližně rovnoběžné.

    Dráhový rozdíl dvou paprsků.

    Na obrázku z trojúhelníku získáme vztah pro dráhový rozdíl sousedních paprsků Δl:

    \[\mathrm{\Delta}l = \,b\sin\,\alpha,\]

    kde b je vzdálenost zdrojů a α je úhel, který paprsky svírají s centrální osou.

    Paprsky se v bodě A složily do světlého proužku, tedy do maxima, platí tedy pro dráhový rozdíl Δl:

    \[\mathrm{\Delta}l = k \lambda,\]

    kde k = 1. Z obou rovnic si vyjádříme sin α:

    \[\sin\,\alpha=\,\frac{\lambda}{b}.\]

     

    Nakreslíme si obrázek, kde označíme jako d vzdálenost zdrojů od stínítka, α úhel odchýlení, Δx vzdálenost maxima 1. řádu červené barvy od maxima 0. řádu.

    Nákres odchýlení maxima 1. řádu červené barvy.

    Dostaneme:

    \[\mathrm{tg}\,\,\alpha=\, \frac{\mathrm{\Delta}x}{d} \quad\Rightarrow\quad \mathrm{\Delta}x=\,d\,\mathrm{tg}\,\,\alpha,\]

    kde α vypočítáme ze vztahu:

    \[\sin\,\alpha=\,\frac{\lambda}{b}=\,\frac{7{,}0{\cdot}10^{−7}}{4{,}5{\cdot}10^{−4}}\,\dot=\,0{,}00156 \quad\Rightarrow\quad \alpha\,\dot=\,0{,}00156,\]

    a dosadíme hodnoty ze zadání.

    \[\mathrm{\Delta}x=\,d\,\mathrm{tg}\,\,\alpha=\,0{,}5\,\cdot(\mathrm{tg}\,\,0{,}00156)\,\mathrm{m}\,\dot=\, 8{,}0{\cdot}10^{−4}\,\mathrm{m}\,\dot= \,0{,}80\,\mathrm{mm}. \]

     

    Poznámka k řešení:

    V řešení bychom pro zjednodušení výpočtu mohli použít zanedbání. Víme, že se jedná o velmi malé úhly, pro které platí

    \[\sin\,\alpha\ \dot{=}\ \, \alpha\ \dot{=}\ \mathrm{tg}\,\,\alpha,\]

    kde prostřední rovnost platí, pokud je uvažovaný úhel dosazen v radiánech.

    Výpočet nyní provedeme se zanedbáním.

     

    Vztah:

    \[\sin\,\alpha=\,\frac{\lambda}{b},\]

    si dosadíme do rovnice pro Δx:

    \[\mathrm{\Delta}x=\,d\,\mathrm{tg}\,\,\alpha=\,d\,\frac{\lambda}{b}.\]

    Dosadíme číselně.

    \[\mathrm{\Delta}x=\,d\,\frac{\lambda}{b}=\,0{,}5\cdot\,\frac{7{,}0{\cdot}10^{−7}}{4{,}5{\cdot}10^{−4}}\,\mathrm{m}\,\dot=\,7{,}8{\cdot}10^{−4}\,\mathrm{m}\,\dot=\,0{,}78\,\mathrm{mm}.\]

    Můžeme tedy vidět, že úlohu lze počítat se zanedbáním. Výsledky se od sebe příliš neliší.

  • Odpověď

    První světlý pruh červené barvy se objeví přibližně 0,8 mm od nultého maxima.

  • Odkaz na pokus

    Pokud vás zajímá, jak vypadá interferenční obrazec na stínítku ve skutečnosti, podívejte se na Dvojštěrbinový pokus.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha rutinní
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze