Na jak velké ploše vidí ryba oblohu?

Úloha číslo: 1643

Ryba se v hloubce \(3\) \(\mathrm{m}\) dívá směrem k hladině. Na jak velké ploše klidné hladiny vidí oblohu?

Obrázek k zadání

  • Zápis

    \(h=3\) \(\mathrm{m}\) vzdálenost oka ryby od hladiny
    \(S=\) \(?\) plocha, na které ryba vidí oblohu

  • Nápověda 1

    Nakreslete chod paprsků světla ze vzduchu k hladině a poté do oka ryby.

  • Nápověda 2

    Jaký tvar bude mít plocha, na které ryba uvidí oblohu?

  • Nápověda 3

    V obrázku „Chod paprsků“, který se nachází v části „Řešení nápovědy \(1\)“, necháme zakreslené jen paprsky, které se lámou do oka.

    Chod paprsků

    V obrázku vyznačte paprsky, které spolu svírají největší úhel. Tyto paprsky ohraničují hledanou plochu \(S\). Zdůvodněte.

  • Nápověda 4

    Zaměříme se nyní pouze na paprsky, které se lámou pod úhlem \(\mathrm{α}\) viz „Obrázek k nápovědě \(4\)“.

    V obrázku vyznačíme poloměr hledané plochy \(r\) a vzdálenost oka ryby od hladiny \(h\).

    Obrázek k nápovědě 4

    1) Ze zákona lomu napište vztah pro úhel \(\mathrm{α}\).

    2) Z obrázku odvoďte, jaký je vztah mezi \(\mathrm{α}\), \(r\) a \(h\).

  • Nápověda 5

    Ze vztahu (3) vyjádřete poloměr \(r\) a pomocí vztahu získaného ze zákona lomu (2), upravte získaný vzorec tak, aby \(r\) závisel pouze na \(h\), \(n_{1}\) a \(n_{2}\).

    Následně dosaďte za \(r\) do vztahu pro výpočet plochy kruhu (1) a číselně dopočítejte velikost hledané plochy.

  • Celkové řešení

    Chod paprsků světla a tvar plochy, na které ryba vidí oblohu

    Rybí oko bereme jako bod, do kterého se sbíhají paprsky.

     

    Sbíhání paprsků

    Plocha bude mít tvar kruhu o poloměru \(r\): \[S=\pi · r^2.\tag{1}\]

    Plocha ve tvaru kruhu

     

    Paprsky, které dopadají k hladině pod úhlem \(\mathrm{90°}\)

    Zaměříme se nyní pouze na paprsky, které se lámou pod úhlem \(\mathrm{α}\) (viz „Obrázek paprsků“).

    Obrázek paprsků

    Ze Snellova zákona odvodíme vztah pro úhel lomu \(\mathrm{α}\): \[\frac{\sin {90°}}{\sin \mathrm{α}}=\frac{n_{2}}{n_{1}},\] kde \(n_{1}\) je index lomu vzduchu a \(n_{2}\) je index lomu vody.

    Protože \(\sin {90°}=1\), můžeme napsat:

    \[\frac{1}{\sin \mathrm{α}}=\frac{n_{2}}{n_{1}},\]

    Odtud vyjádříme \(\sin \mathrm{α}\):

    \[\sin \mathrm{α}=\frac{n_{1}}{n_{2}},\tag{2}\]

     

    Díky podobnosti trojúhelníků můžeme obrázek upravit následovně:

    Upravený obrázek

    Z obrázku vidíme, že platí \[\sin \mathrm{α}=\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}},\tag{3}\] kde \(\sqrt{r^2+h^2}\) je přepona trojúhelníku, jejíž velikost jsme určili z Pythagorovy věty.

     

    Velikost hledané plochy

    (1): \(S=\pi · r^2,\)

    (2): \(\sin \mathrm{α}=\frac{n_{1}}{n_{2}},\)

    (3): \(\sin \mathrm{α}=\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}.\)

    Obě strany rovnice (3) vynásobíme \(\sqrt{r^2+h^2}\) a dostaneme: \[r=\sqrt{r^2+h^2}·\sin \mathrm{α}.\]

    Dle (2) dosadíme za \(\sin \mathrm{α}\): \[r= \sqrt{r^2+h^2} · \frac{n_{1}}{n_{2}}.\]

    Obě strany rovnice umocníme a roznásobíme závorku:

    \[r^2= \left(r^2+h^2 \right)· \left(\frac{n_{1}}{n_{2}}\right)^2=r^2\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}\right)^2+h^2\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}\right)^2 .\]

    Od obou stran rovnice odečteme \(r^2\left (\frac{n_{1}}{n_{2}}\right )^2\) a \(r^2\) vytkneme: \[r^2\left [1 − \left(\frac{n_{1}}{n_{2}}\right)^2\right]= h^2\left (\frac{n_{1}}{n_{2}}\right)^2 .\]

    Obě strany rovnice vydělíme \(\left[1 − (\frac{n_{1}}{n_{2}})^2\right]\) a odmocníme: \[r= \frac {h\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}\right)} {\sqrt{1 − \left(\frac{n_{1}}{n_{2}}\right)^2}}= \frac {h · n_{1}} {n_{2} \sqrt{1 − \left(\frac{n_{1}}{n_{2}}\right)^2}} .\]

    Převedeme vztah pod odmocninou na společného jmenovatele a zlomek upravíme: \[r= \frac {h · n_{1}} {n_{2} \sqrt{\frac{n_{2}^2−n_{1}^2}{n_{2}^2}}} =\frac {h · n_{1}} { \sqrt{n_{2}^2−n_{1}^2}}.\]

    Dosadíme za \(r\) do vztahu (1) a vztah umocníme: \[S=\pi r^2=\pi · \left( \frac {h · n_{1}} {\sqrt{n_{2}^2−n_{1}^2}}\right)^2= \pi · \frac {h^2 · n_{1}^2} {n_{2}^2−n_{1}^2} .\]

     

    Číselné řešení:

    Ze zadání víme:

    \(h=3\) \(\mathrm{m}\).

    V tabulkách dohledáme hodnoty pro \(\pi\), \(n_{2}\) a \(n_{1}\):

    Ludolfovo číslo     \(\pi\) \(\dot=\) \(3{,}14\)
    Index lomu vzduchu     \(n_{1}\) \(\dot=\) \(1{,}00\)
    Index lomu vody     \(n_{2}\) \(\dot=\) \(1{,}33\)

    Dosadíme a dostáváme velikost hledané plochy:

    \(S\) \(\dot=\) \(\frac{3{,}14 · 3^2 ·{1{,}00}^2}{{1{,}33}^2 − {1{,}00}^2}\) \(\mathrm{m^2}=\frac{3{,}14 · 9 ·1}{{1{,}33}^2 − {1}}\) \(\mathrm{m^2}\)  \(\dot=\) \(36{,}8\) \(\mathrm{m^2}.\)

    A jejího poloměru:

    \(r\) \(\dot=\)  \( \frac {3 · 1{,}00} {\sqrt{1{,}33^2 −1{,}00^2}}\)   \(\mathrm{m}\) \(=\) \( \frac {3} {\sqrt{1{,}33^2 − 1}}\)   \(\mathrm{m}\)  \(\dot=\) \(3{,}42\) \(\mathrm{m}\).

  • Odpověď

    Ryba vidí oblohu na kruhové ploše o velikosti \(36{,}8\) \(\mathrm{m^2}\) a poloměru \(3{,}42\) \(\mathrm{m}\).

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha řešená graficky
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Původní zdroj: Vondra, M. Cvičení k Fyzice v kostce (1. vyd.). Fragment, Havlíčkův
Brod 2000. 
Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
×Původní zdroj: Vondra, M. Cvičení k Fyzice v kostce (1. vyd.). Fragment, Havlíčkův Brod 2000.
Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
Zaslat komentář k úloze