Sbírka řešených úloh

Různé derivace potenciálu

Úloha číslo: 949

• Nápověda (a)

  Při určování parciálních derivací si uvědomíme, že \(\varphi (\vec{r},t)=\varphi (x,y,z,t).\) Potenciál je tedy funkcí všech tří souřadnic a času, ale při výpočtu parciální derivace ostatní proměnné bereme jako konstanty.

• Řešení nápovědy (a)

  Parciální derivace potenciálu podle jednotlivých kartézských souřadnic tedy vypadají takto:

  \[\frac{\partial{\varphi({\vec{r},t})}}{\partial{x}}=-2xe^{-(x^2+y^2)}\sin{(z)}\frac{t}{t+1},\] \[\frac{\partial{\varphi({\vec{r},t})}}{\partial{y}}=-2ye^{-(x^2+y^2)}\sin{(z)}\frac{t}{t+1},\] \[\frac{\partial{\varphi({\vec{r},t})}}{\partial{z}}=e^{-(x^2+y^2)}\cos{(z)}\frac{t}{t+1}.\]

• Nápověda (b)

  Parciální derivaci podle času určíme stejně jako parciální derivace podle souřadnic (viz předchozí nápověda).

• Řešení nápovědy (b)

  Pro parciální derivaci podle času zřejmě platí:

  \[\frac{\partial{\varphi({\vec{r},t})}}{\partial{t}}=e^{-(x^2+y^2)}\mathrm{sin{(z)}}\frac{1}{(t+1)^2}.\]

• Nápověda (c)

  Potenciál je funkcí souřadnic, které jsou závislé na čase, ale i explicitní funkcí času samotného. Zjistěte vzorec pro výpočet totálního diferenciálu takové funkce v kartézských souřadnicích. Napište jej obecně a poté dosaďte.

• Řešení nápovědy (c) – obecný vztah

  Pro totální derivaci složené funkce \(\varphi({\vec{r}(t)},t)\) známe vzorec:

  \[\frac{\mathrm{d}{\varphi({\vec{r}(t)},t)}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\varphi}{\partial{t}}+\frac{\partial\varphi}{\partial{x}}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\varphi}{\partial{y}}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\varphi}{\partial{z}}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}.\]

• Řešení nápovědy (c) – dosazení

  Jelikož parciální derivace podle jednotlivých proměnných už známe, zbývá pouze dopočítat derivace souřadnic podle času a dosadit. Uvažujeme při tom křivku, po které se v poli pohybujeme. Ta nám dává vyjádření souřadnic v závislosti na čase.

  \[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(R\cos{\omega t})}{\mathrm{d}t}=-R\omega\sin{\omega t},\] \[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(R\sin{\omega t})}{\mathrm{d}t}=R\omega\cos{\omega t},\] \[\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(At)}{\mathrm{d}t}=A.\]

  Nyní již stačí pouze dosadit a vhodně upravit.

  \[\frac{\mathrm{d}{\varphi({\vec{r}(t)},t)}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\varphi}{\partial{t}}+\frac{\partial\varphi}{\partial{x}}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\varphi}{\partial{y}}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\varphi}{\partial{z}}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=e^{-(x^2+y^2)}\sin{(z)}\frac{1}{(t+1)^2}-\] \[-2xe^{-(x^2+y^2)}\sin{(z)}\frac{t}{t+1}(-R\omega\sin{\omega t})-2ye^{-(x^2+y^2)}\sin{(z)}\frac{t}{t+1}(R\omega\cos{\omega t})+e^{-(x^2+y^2)}\cos{(z)}\frac{t}{t+1}A.\]

  Dosadíme za x, y a z vyjádření z parametrizace šroubovice a pro další úpravu výrazu použijeme vztah:

  \[x^2+y^2=R^2.\]

  Rovnice tedy nabývá tvaru:

  \[\frac{d{\varphi}}{dt}=e^{-R^2}\sin{(At)}\frac{1}{(t+1)^2}+2R^2\omega e^{-R^2}\sin{(At)}\frac{t}{t+1}\sin{(\omega t)}\cos{(\omega t)}-\] \[-2R^2\omega e^{-R^2}\sin{(At)}\frac{t}{t+1}\sin{(\omega t)}\cos{(\omega t)}+Ae^{-R^2}\cos{(At)}\frac{t}{t+1}.\]

  Druhý a třetí člen v závorce se odečtou a vhodným vytknutím získáváme:

  \[\frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}t}=e^{-R^2}\frac{1}{t+1}\left[\frac{1}{(t+1)}\sin{(At)}+At\cos{(At)}\right].\]

• Celkové řešení

  Pro určení parciálních derivací si stačí uvědomit, že \(\varphi (\vec{r},t)=\varphi (x,y,z,t)\) je funkcí souřadnic a času, ale při počítání parciální derivace bereme proměnné, podle kterých nederivujeme, jako konstanty.

  (a) Parciální derivace potenciálu podle jednotlivých kartézských souřadnic mají tento tvar:

  \[\frac{\partial{\varphi({\vec{r},t})}}{\partial{x}}=-2xe^{-(x^2+y^2)}\sin{(z)}\frac{t}{t+1},\] \[\frac{\partial{\varphi({\vec{r},t})}}{\partial{y}}=-2ye^{-(x^2+y^2)}\sin{(z)}\frac{t}{t+1},\] \[\frac{\partial{\varphi({\vec{r},t})}}{\partial{z}}=e^{-(x^2+y^2)}\cos{(z)}\frac{t}{t+1}.\]

  (b) Pro parciální derivaci podle času platí:

  \[\frac{\partial{\varphi({\vec{r},t})}}{\partial{t}}=e^{-(x^2+y^2)}\mathrm{sin{(z)}}\frac{1}{(t+1)^2}.\]

  (c) Pro totální derivaci složené funkce \(\varphi({\vec{r}(t)},t)\) známe vzorec:

  \[\frac{\mathrm{d}{\varphi({\vec{r}(t)},t)}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\varphi}{\partial{t}}+\frac{\partial\varphi}{\partial{x}}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\varphi}{\partial{y}}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\varphi}{\partial{z}}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}.\]

  Dosazením a úpravou (viz řešení nápovědy (c)) dospějeme k výsledku ve tvaru:

  \[\frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}t}=e^{-R^2}\frac{1}{t+1}\left[\frac{1}{(t+1)}\sin{(At)}+At\cos{(At)}\right].\]

• Odpověď

  (a) Parciální derivace potenciálu podle jednotlivých kartézských souřadnic mají tento tvar:

  \[\frac{\partial{\varphi({\vec{r},t})}}{\partial{x}}=-2xe^{-(x^2+y^2)}\sin{(z)}\frac{t}{t+1},\] \[\frac{\partial{\varphi({\vec{r},t})}}{\partial{y}}=-2ye^{-(x^2+y^2)}\sin{(z)}\frac{t}{t+1},\] \[\frac{\partial{\varphi({\vec{r},t})}}{\partial{z}}=e^{-(x^2+y^2)}\cos{(z)}\frac{t}{t+1}.\]

  (b) Pro parciální derivaci podle času platí:

  \[\frac{\partial{\varphi({\vec{r},t})}}{\partial{t}}=e^{-(x^2+y^2)}\mathrm{sin{(z)}}\frac{1}{(t+1)^2}.\]

  (c) Pro totální derivaci podle času při zadaném pohybu platí:

  \[\frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm{d}t}=e^{-R^2}\frac{1}{t+1}\left[\frac{1}{(t+1)}\sin{(At)}+At\cos{(At)}\right].\]