Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Řetězovka
Úloha číslo: 1056
Necháme-li volně viset dokonale ohebný, neprotažitelný a homogenní provaz, ukotvený ve dvou bodech, zaujme tvar křivky, kterou nazýváme řetězovka. Určete analytické vyjádření této křivky.

Nápověda 1 – co určuje tvar křivky
Každý fyzikální systém se snaží zaujmout stav s nejmenší možnou energií. Tvar křivky y=y(x), kterou provaz zaujme, určuje tedy minimum potenciální energie.
Pokuste se vyjádřit potenciální energii nejprve malého kousku provazu pomocí jeho délky a polohy a poté tyto příspěvky „posčítejte“.
Nápověda 2 – další podmínky
Při řešení je třeba zohlednit skutečnost, že délka provazu je konstantní (viz zadání – provaz se nemůže protáhnout). Vyjádřete délku křivky, kterou provaz zaujal.
Nápověda 3 – sestavení funkcionálu
Pokud provaz zaujme nejvýhodnější polohu, má minimální potenciální energii V a tedy variace potenciální energie je rovna nule, tj.:
δV=0.Délka provazu l je konstantní, tj. i její variace je nulová:
δl=0.Obě tyto podmínky můžeme spojit v jedinou (jedná se vlastně o použití metody Lagrangeových multiplikátorů) ve tvaru:
δV−λδl=0,kde o multiplikátoru λ budeme předpokládat, že nezávisí na souřadnicích.
Napište funkcionál, který odpovídá této podmínce.
Nápověda 4
V předchozí nápovědě jsme našli funkcionál, můžeme sestavit příslušnou Eulerovu-Lagrangeovu rovnici a tu vyřešit.
Eulerova-Lagrangeova rovnice má obecně tvar:
∂F∂y−ddx(Fy′)=0.Využijte také skutečnosti, že funkcionál F není explicitně závislý na proměnné x.
Celkové řešení
Vyjádřeme malý kousek řetězovky. Díváme-li se dostatečně zblízka, můžeme daný kousek považovat za úsečku, a tedy psát:
Δl=√(Δx)2+(Δy)2=√(Δx)2+(y′Δx)2=√1+(y′)2Δx,kde y′=ΔyΔx˙=dydx.
Napišme ještě element hmotnosti Δm a z toho plynoucí element potenciální energie ΔV.
Δm=ηΔl=η√1+(y′)2Δx, ΔV=Δmgy=ηgy√1+(y′)2Δx.K celkové potenciální energii se dostaneme integrací přes všechna x:
V=ηg∫bay√1+(y′)2dx.Pro délku křivky l, která je konstantní, platí podmínka:
l=∫ba√1+(y′)2dx=konst.Pokud provaz zaujme nejvýhodnější polohu, má minimum potenciální energie V, a tedy variace potenciální energie je rovna nule, tj.:
δV=0.Délka provazu l je konstantní, tj. i její variace je nulová:
δl=0.Obě tyto podmínky můžeme spojit v jedinou (jedná se vlastně o použití metody Lagrangeových multiplikátorů) ve tvaru:
δV−λδl=0,kde o multiplikátoru λ budeme předpokládat, že nezávisí na souřadnicích.
Podmínku upravíme na tvar:
δ(V−λl)=0,kde v závorce je funkcionál F, jehož minimum hledáme.
Dosadíme a upravíme:
F=∫ba(ηgy√1+(y′)2−λ√1+(y′)2)dx=∫ba(ηgy−λ)√1+(y′)2dx.Jelikož se nám povedlo nalézt funkcionál, můžeme začít řešit Eulerovu-Lagrangeovu rovnici, která má obecně tvar:
∂F∂y−ddx(Fy′)=0.S využitím skutečnosti, že funkcionál F není expilicitně závislý na proměnné x, můžeme Eulerovu-Lagrangeovu rovnici převést do tvaru:
ddx(F−y′∂F∂y′)=0,rovnici zintegrujeme podle proměnné x a dostáváme tak vztah:
F−y′∂F∂y′=c,kde c je integrační konstanta.
Dosazením konkrétního tvaru funkcionálu F získáme:
c=(y−λ)√1+(y′)2−y′∂∂y′[(y−λ)√1+(y′)2].V rovnici jsme kvůli přehlednosti vynechali u y koeficient ηg. Jelikož je tento koeficient konstantní a nenulový, rovnici jsme jím vydělili a zahrnuli ho do konstanty c a λ, na které jsme zatím nekladli žádné požadavky.
Provedeme naznačenou derivaci a pravou stranu upravíme:
c=(y−λ)[√1+(y′)2−2y′y′2√1+(y′)2]=(y−λ)1√1+(y′)2.Nalezli jsme tedy diferenciální rovnici:
c=(y−λ)1√1+(y′)2.Diferenciální rovnici přepišme do tvaru.
c√1+(y′)2=y−λ.K jejímu řešení je vhodné užít metodu separace proměnných. Tou dospějeme k řešení ve tvaru (podrobné řešení diferenciální rovnice naleznete v řešení nápovědy 4):
y=λ+ccosh(x+Cc),kde C je integrační konstanta.
Získali jsme tak závislost souřadnice y a tedy i tvar křivky popisující řetězovku.
Odpověď
Provaz zaujme tvar daný křivkou:
y=λ+ccosh(x+Cc).Řetězovka má tedy tvar funkce hyperbolický cosinus.
Hodnoty integračních konstant c a C závisejí na souřadnicích koncových bodů a celkové délce provazu.
Komentář - zajímavosti
Řetězovka má mnoho praktických aplikací například v architektuře, ať už se jedná o závěsné mosty, či samonosné klenby. Příkladem může být Gateway Arch v Saint Louis nebo střecha nádraží Keleti v Budapešti.
Řetězovka je křivkou s minimem potenciální energie. Toho lze využít i v případě, že chceme minimální rotační plochu. V učebnici teoretické mechaniky od autorů Brdičky a Hladíka se píše toto: „Rotací řetězovky vznikají tedy jediné minimální plochy, které jsou plochami rotačními. Nazývají se katenoidy. Z geometrického hlediska je katenoid plochou nulové střední křivosti, tj. v každém jejím bodě se poloměry křivosti dvou k sobě kolmých řezů liší jen znaménkem.“
Některé zdroje uvádějí, že se tvaru řetězovky využívá i při výrobě houslí.