Sbírka řešených úloh

Řetězovka

Úloha číslo: 1056

Necháme-li volně viset dokonale ohebný, neprotažitelný a homogenní provaz, ukotvený ve dvou bodech, zaujme tvar křivky, kterou nazýváme řetězovka. Určete analytické vyjádření této křivky.

• Nápověda 1 – co určuje tvar křivky

  

  Každý fyzikální systém se snaží zaujmout stav s nejmenší možnou energií. Tvar křivky $y=y(x)$, kterou provaz zaujme, určuje tedy minimum potenciální energie.

  Pokuste se vyjádřit potenciální energii nejprve malého kousku provazu pomocí jeho délky a polohy a poté tyto příspěvky „posčítejte“.

• Řešení nápovědy 1

  

  Nejprve vyjádřeme délku malého kousku provazu. Díváme-li se dostatečně zblízka, můžeme daný kousek považovat za úsečku, a tedy píšeme:

  $$\Delta l=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{(\Delta x)^2+(y^\prime\Delta x)^2}=\sqrt{1+(y^\prime )^2}\Delta x,$$

  kde:

  $$y^\prime=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\dot{=}\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

  Napišme ještě element hmotnosti Δm:

  $$\Delta m=\eta\Delta l=\eta \sqrt{1+(y^\prime)^2}\Delta x$$

  a z toho plynoucí element potenciální energie ΔV:

  $$\Delta V=\Delta mgy=\eta gy \sqrt{1+(y^\prime)^2}\Delta x,$$

  kde η je lineární hustota provazu.

  K celkové potenciální energii se dostaneme integrací přes x:

  $$V=\eta g \int_a^b y \sqrt{1+(y^\prime)^2}\mathrm{d}x.\tag{1}$$

• Nápověda 2 – další podmínky

  Při řešení je třeba zohlednit skutečnost, že délka provazu je konstantní (viz zadání – provaz se nemůže protáhnout). Vyjádřete délku křivky, kterou provaz zaujal.

• Řešení nápovědy 2 – další podmínky

  Podmínku konstantní délky provazu vyjádříme integrálem:

  $$l=\int_a^b \sqrt{1+(y^\prime)^2}\mathrm{d}x=\mathrm{konst}.\tag{2}$$

• Nápověda 3 – sestavení funkcionálu

  Pokud provaz zaujme nejvýhodnější polohu, má minimální potenciální energii V a tedy variace potenciální energie je rovna nule, tj.:

  $$\delta V=0.$$

  Délka provazu l je konstantní, tj. i její variace je nulová:

  $$\delta l=0.$$

  Obě tyto podmínky můžeme spojit v jedinou (jedná se vlastně o použití metody Lagrangeových multiplikátorů) ve tvaru:

  $$\delta V-\lambda\delta l=0,$$

  kde o multiplikátoru λ budeme předpokládat, že nezávisí na souřadnicích.

  Napište funkcionál, který odpovídá této podmínce.

• Řešení nápovědy 3 – sestavení funkcionálu

  Upravíme podmínku z nápovědy na tvar:

  $$\delta(V-\lambda l)=0,$$

  kde v závorce je hledaný funkcionál F, jehož minimum hledáme.

  Dosadíme a upravíme:

  $$F=\int_a^b\left(\eta gy \sqrt{1+(y^\prime)^2}-\lambda \sqrt{1+(y^\prime)^2}\right)\mathrm{d}x=\int_a^b(\eta gy-\lambda)\sqrt{1+(y^\prime)^2}\,\mathrm{d}x.$$

• Nápověda 4

  V předchozí nápovědě jsme našli funkcionál, můžeme sestavit příslušnou Eulerovu-Lagrangeovu rovnici a tu vyřešit.

  Eulerova-Lagrangeova rovnice má obecně tvar:

  $$\frac{\partial{F}}{\partial{y}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{F}{y^\prime}\right)=0.$$

  Využijte také skutečnosti, že funkcionál F není explicitně závislý na proměnné x.

• Řešení nápovědy 4 – nalezení diferenciální rovnice

  Funkcionál F má stacionární hodnotu, pokud je splněna Eulerova-Lagrangeova rovnice. Ta v našem případě nabývá tvaru:

  $$\frac{\partial{F}}{\partial{y}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{F}{y^\prime}\right)=0.$$

  Mohli bychom již teď dosadit konkrétní tvar funkcionálu F a získanou rovnici řešit. Výhodnější je ale využít skutečnosti, že funkcionál F není explicitně závislý na proměnné x. V takovém případě můžeme Eulerovu-Lagrangeovu rovnici převést do příjemnějšího tvaru následujícími úpravami.

  Nejprve vynásobíme rovnici $y^\prime$:

  $$y^\prime\frac{\partial{F}}{\partial{y}}-y^\prime\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{F}{y^\prime}\right)=0.$$

  Rovnici můžeme podle pravidel pro derivování funkce více proměnných (funkcionál F je funkcí dvou proměnných $F=F(y,y^\prime)$ ) psát ve tvaru:

  $$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}-y^{\prime\prime}\frac{\partial{F}}{\partial{y^\prime}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(y^\prime\frac{\partial{F}}{\partial{y^\prime}}\right)+\frac{\partial{F}}{\partial{y^\prime}}y^{\prime\prime}=0.$$

  Všimneme si, že druhý a čtvrtý člen se odečtou, zbylé členy dáme pod společnou derivaci a můžeme tak psát:

  $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(F-y^\prime\frac{\partial{F}}{\partial{y^\prime}}\right)=0,$$

  rovnici zintegrujeme podle proměnné x a dostáváme tak vztah:

  $$F-y^\prime\frac{\partial{F}}{\partial{y^\prime}}=c,$$

  kde c je integrační konstanta.

  Dosazením konkrétního tvaru funkcionálu F získáme:

  $$c=(y-\lambda)\sqrt{1+(y^\prime)^2}-y^\prime\frac{\partial}{\partial y^\prime}\left[(y-\lambda)\sqrt{1+(y^\prime)^2}\right].$$

  V rovnici jsme kvůli přehlednosti vynechali u y koeficient ηg. Jelikož je tento koeficient konstantní a nenulový, mohli bychom s ním rovnici vydělit a zahrnout jej do konstanty c a variačního koeficientu λ, na které jsme zatím nekladli žádné požadavky.

  Provedeme naznačenou derivaci a pravou stranu upravíme:

  $$c=(y-\lambda)\left[\sqrt{1+(y^\prime)^2}-\frac{2y^\prime y^\prime}{2\sqrt{1+(y^\prime)^2}}\right]=(y-\lambda) \frac{1}{\sqrt{1+(y^\prime)^2}}.$$

  Nalezli jsme tedy diferenciální rovnici:

  $$c=(y-\lambda) \frac{1}{\sqrt{1+(y^\prime)^2}},$$

  kterou je třeba vyřešit.

• Užitečný integrál

  K řešení diferenciální rovnice se vám může hodit znalost integrálu:

  $$\int{\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{u^2-a^2}}}= \mathrm{argcosh}\, {\left(\frac{u}{a}\right)}+c.$$

• Řešení nápovědy 4 – řešení diferenciální rovnice

  Diferenciální rovnici přepišme do tvaru

  $$c\sqrt{1+(y^\prime)^2}=y-\lambda.$$

  K řešení použijeme seperaci proměnných.

  Nejprve rovnici umocníme na druhou:

  $$c^2+c^2(y^\prime)^2=(y-\lambda)^2.$$

  První člen převedeme na pravou stranu a $y^\prime$ přepíšeme pomocí diferenciálů:

  $$c^2\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2=(y-\lambda)^2-c^2.$$

  Nyní provedem samotnou separaci – rovnici upravíme tak, aby vlevo byla pouze souřadnice y společně se svým diferenciálem $\mathrm{d}y$ a vpravo to samé v proměnné x:

  $$\frac{c^2}{(y-\lambda)^2-c^2}\mathrm{d}y^2=\mathrm{d}x^2.$$

  Rovnici odmocníme:

  $$\frac{c}{\sqrt{(y-\lambda)^2-c^2}}\mathrm{d}y=\mathrm{d}x$$

  a obě strany rovnice zintegrujeme podle příslušných proměnných (pro integraci výrazu na levé straně využijte znalost integrálu v nápovědě před tímto oddílem):

  $$c\ \mathrm{argcosh}\,{\left(\frac{y-\lambda}{c}\right)}+c_1=x+c_2.$$

  Zavedeme jedinou integrační konstantu C vztahem $C=c_2-c_1$ a po úpravě dostáváme rovnici do tvaru:

  $$\mathrm{argcosh}\,{\left(\frac{y-\lambda}{c}\right)}=\frac{x+C}{c}.$$

  Na celou rovnost použijeme funkci cosh a získáme tak:

  $$y-\lambda=c\,\cosh{\left(\frac{x+C}{c}\right)},$$

  ze které již snadno vyjádříme hledanou závislost souřadnice y a tedy i tvar křivky řetězovky jako:

  $$y=\lambda+c\,\cosh{\left(\frac{x+C}{c}\right)}.$$

• Celkové řešení

  Vyjádřeme malý kousek řetězovky. Díváme-li se dostatečně zblízka, můžeme daný kousek považovat za úsečku, a tedy psát:

  $$\Delta l=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{(\Delta x)^2+(y^\prime\Delta x)^2}=\sqrt{1+(y^\prime )^2}\Delta x,$$

  kde $$y^\prime=\frac{\Delta y}{\Delta x}\dot{=}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.$$

  Napišme ještě element hmotnosti Δm a z toho plynoucí element potenciální energie ΔV.

  $$\Delta m=\eta\Delta l=\eta \sqrt{1+(y^\prime)^2}\Delta x,$$ $$\Delta V=\Delta mgy=\eta gy \sqrt{1+(y^\prime)^2}\Delta x.$$

  K celkové potenciální energii se dostaneme integrací přes všechna x:

  $$V=\eta g \int_a^b y \sqrt{1+(y^\prime)^2}\mathrm{d}x.$$

  Pro délku křivky l, která je konstantní, platí podmínka:

  $$l=\int_a^b \sqrt{1+(y^\prime)^2}\mathrm{d}x=\mathrm{konst.}$$

  Pokud provaz zaujme nejvýhodnější polohu, má minimum potenciální energie V, a tedy variace potenciální energie je rovna nule, tj.:

  $$\delta V=0.$$

  Délka provazu l je konstantní, tj. i její variace je nulová:

  $$\delta l=0.$$

  Obě tyto podmínky můžeme spojit v jedinou (jedná se vlastně o použití metody Lagrangeových multiplikátorů) ve tvaru:

  $$\delta V-\lambda\delta l=0,$$

  kde o multiplikátoru λ budeme předpokládat, že nezávisí na souřadnicích.

  Podmínku upravíme na tvar:

  $$\delta(V-\lambda l)=0,$$

  kde v závorce je funkcionál F, jehož minimum hledáme.

  Dosadíme a upravíme:

  $$F=\int_a^b\left(\eta gy \sqrt{1+(y^\prime)^2}-\lambda \sqrt{1+(y^\prime)^2}\right)\mathrm{d}x=\int_a^b(\eta gy-\lambda)\sqrt{1+(y^\prime)^2}\mathrm{d}x.$$

  Jelikož se nám povedlo nalézt funkcionál, můžeme začít řešit Eulerovu-Lagrangeovu rovnici, která má obecně tvar:

  $$\frac{\partial{F}}{\partial{y}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{F}{y^\prime}\right)=0.$$

  S využitím skutečnosti, že funkcionál F není expilicitně závislý na proměnné x, můžeme Eulerovu-Lagrangeovu rovnici převést do tvaru:

  $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(F-y^\prime\frac{\partial{F}}{\partial{y^\prime}}\right)=0,$$

  rovnici zintegrujeme podle proměnné x a dostáváme tak vztah:

  $$F-y^\prime\frac{\partial{F}}{\partial{y^\prime}}=c,$$

  kde c je integrační konstanta.

  Dosazením konkrétního tvaru funkcionálu F získáme:

  $$c=(y-\lambda)\sqrt{1+(y^\prime)^2}-y^\prime\frac{\partial}{\partial y^\prime}\left[(y-\lambda)\sqrt{1+(y^\prime)^2}\right].$$

  V rovnici jsme kvůli přehlednosti vynechali u y koeficient ηg. Jelikož je tento koeficient konstantní a nenulový, rovnici jsme jím vydělili a zahrnuli ho do konstanty c a λ, na které jsme zatím nekladli žádné požadavky.

  Provedeme naznačenou derivaci a pravou stranu upravíme:

  $$c=(y-\lambda)\left[\sqrt{1+(y^\prime)^2}-\frac{2y^\prime y^\prime}{2\sqrt{1+(y^\prime)^2}}\right]=(y-\lambda) \frac{1}{\sqrt{1+(y^\prime)^2}}.$$

  Nalezli jsme tedy diferenciální rovnici:

  $$c=(y-\lambda) \frac{1}{\sqrt{1+(y^\prime)^2}}.$$

  Diferenciální rovnici přepišme do tvaru.

  $$c\sqrt{1+(y^\prime)^2}=y-\lambda.$$

  K jejímu řešení je vhodné užít metodu separace proměnných. Tou dospějeme k řešení ve tvaru (podrobné řešení diferenciální rovnice naleznete v řešení nápovědy 4):

  $$y=\lambda+c\,\cosh{\left(\frac{x+C}{c}\right)},$$

  kde C je integrační konstanta.

  Získali jsme tak závislost souřadnice y a tedy i tvar křivky popisující řetězovku.

• Odpověď

  Provaz zaujme tvar daný křivkou:

  $$y=\lambda+c\,\cosh{\left(\frac{x+C}{c}\right)}.$$

  Řetězovka má tedy tvar funkce hyperbolický cosinus.

  Hodnoty integračních konstant c a C závisejí na souřadnicích koncových bodů a celkové délce provazu.

• Komentář - zajímavosti

  Řetězovka má mnoho praktických aplikací například v architektuře, ať už se jedná o závěsné mosty, či samonosné klenby. Příkladem může být Gateway Arch v Saint Louis nebo střecha nádraží Keleti v Budapešti.

  Řetězovka je křivkou s minimem potenciální energie. Toho lze využít i v případě, že chceme minimální rotační plochu. V učebnici teoretické mechaniky od autorů Brdičky a Hladíka se píše toto: „Rotací řetězovky vznikají tedy jediné minimální plochy, které jsou plochami rotačními. Nazývají se katenoidy. Z geometrického hlediska je katenoid plochou nulové střední křivosti, tj. v každém jejím bodě se poloměry křivosti dvou k sobě kolmých řezů liší jen znaménkem.“

  Některé zdroje uvádějí, že se tvaru řetězovky využívá i při výrobě houslí.