Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Řetězovka

Úloha číslo: 1056

Necháme-li volně viset dokonale ohebný, neprotažitelný a homogenní provaz, ukotvený ve dvou bodech, zaujme tvar křivky, kterou nazýváme řetězovka. Určete analytické vyjádření této křivky.

Řetězovka
  • Nápověda 1 – co určuje tvar křivky

    Řetězovka

    Každý fyzikální systém se snaží zaujmout stav s nejmenší možnou energií. Tvar křivky y=y(x), kterou provaz zaujme, určuje tedy minimum potenciální energie.

    Pokuste se vyjádřit potenciální energii nejprve malého kousku provazu pomocí jeho délky a polohy a poté tyto příspěvky „posčítejte“.

  • Nápověda 2 – další podmínky

    Při řešení je třeba zohlednit skutečnost, že délka provazu je konstantní (viz zadání – provaz se nemůže protáhnout). Vyjádřete délku křivky, kterou provaz zaujal.

  • Nápověda 3 – sestavení funkcionálu

    Pokud provaz zaujme nejvýhodnější polohu, má minimální potenciální energii V a tedy variace potenciální energie je rovna nule, tj.:

    δV=0.

    Délka provazu l je konstantní, tj. i její variace je nulová:

    δl=0.

    Obě tyto podmínky můžeme spojit v jedinou (jedná se vlastně o použití metody Lagrangeových multiplikátorů) ve tvaru:

    δVλδl=0,

    kde o multiplikátoru λ budeme předpokládat, že nezávisí na souřadnicích.

    Napište funkcionál, který odpovídá této podmínce.

  • Nápověda 4

    V předchozí nápovědě jsme našli funkcionál, můžeme sestavit příslušnou Eulerovu-Lagrangeovu rovnici a tu vyřešit.

    Eulerova-Lagrangeova rovnice má obecně tvar:

    Fyddx(Fy)=0.

    Využijte také skutečnosti, že funkcionál F není explicitně závislý na proměnné x.

  • Celkové řešení

    Vyjádřeme malý kousek řetězovky. Díváme-li se dostatečně zblízka, můžeme daný kousek považovat za úsečku, a tedy psát:

    Δl=(Δx)2+(Δy)2=(Δx)2+(yΔx)2=1+(y)2Δx,

    kde y=ΔyΔx˙=dydx.

    Napišme ještě element hmotnosti Δm a z toho plynoucí element potenciální energie ΔV.

    Δm=ηΔl=η1+(y)2Δx, ΔV=Δmgy=ηgy1+(y)2Δx.

    K celkové potenciální energii se dostaneme integrací přes všechna x:

    V=ηgbay1+(y)2dx.

    Pro délku křivky l, která je konstantní, platí podmínka:

    l=ba1+(y)2dx=konst.

    Pokud provaz zaujme nejvýhodnější polohu, má minimum potenciální energie V, a tedy variace potenciální energie je rovna nule, tj.:

    δV=0.

    Délka provazu l je konstantní, tj. i její variace je nulová:

    δl=0.

    Obě tyto podmínky můžeme spojit v jedinou (jedná se vlastně o použití metody Lagrangeových multiplikátorů) ve tvaru:

    δVλδl=0,

    kde o multiplikátoru λ budeme předpokládat, že nezávisí na souřadnicích.

    Podmínku upravíme na tvar:

    δ(Vλl)=0,

    kde v závorce je funkcionál F, jehož minimum hledáme.

    Dosadíme a upravíme:

    F=ba(ηgy1+(y)2λ1+(y)2)dx=ba(ηgyλ)1+(y)2dx.

    Jelikož se nám povedlo nalézt funkcionál, můžeme začít řešit Eulerovu-Lagrangeovu rovnici, která má obecně tvar:

    Fyddx(Fy)=0.

    S využitím skutečnosti, že funkcionál F není expilicitně závislý na proměnné x, můžeme Eulerovu-Lagrangeovu rovnici převést do tvaru:

    ddx(FyFy)=0,

    rovnici zintegrujeme podle proměnné x a dostáváme tak vztah:

    FyFy=c,

    kde c je integrační konstanta.

    Dosazením konkrétního tvaru funkcionálu F získáme:

    c=(yλ)1+(y)2yy[(yλ)1+(y)2].

    V rovnici jsme kvůli přehlednosti vynechali u y koeficient ηg. Jelikož je tento koeficient konstantní a nenulový, rovnici jsme jím vydělili a zahrnuli ho do konstanty c a λ, na které jsme zatím nekladli žádné požadavky.

    Provedeme naznačenou derivaci a pravou stranu upravíme:

    c=(yλ)[1+(y)22yy21+(y)2]=(yλ)11+(y)2.

    Nalezli jsme tedy diferenciální rovnici:

    c=(yλ)11+(y)2.

    Diferenciální rovnici přepišme do tvaru.

    c1+(y)2=yλ.

    K jejímu řešení je vhodné užít metodu separace proměnných. Tou dospějeme k řešení ve tvaru (podrobné řešení diferenciální rovnice naleznete v řešení nápovědy 4):

    y=λ+ccosh(x+Cc),

    kde C je integrační konstanta.

    Získali jsme tak závislost souřadnice y a tedy i tvar křivky popisující řetězovku.

  • Odpověď

    Provaz zaujme tvar daný křivkou:

    y=λ+ccosh(x+Cc).

    Řetězovka má tedy tvar funkce hyperbolický cosinus.

    Hodnoty integračních konstant c a C závisejí na souřadnicích koncových bodů a celkové délce provazu.

  • Komentář - zajímavosti

    Řetězovka má mnoho praktických aplikací například v architektuře, ať už se jedná o závěsné mosty, či samonosné klenby. Příkladem může být Gateway Arch v Saint Louis nebo střecha nádraží Keleti v Budapešti.

    Řetězovka je křivkou s minimem potenciální energie. Toho lze využít i v případě, že chceme minimální rotační plochu. V učebnici teoretické mechaniky od autorů Brdičky a Hladíka se píše toto: „Rotací řetězovky vznikají tedy jediné minimální plochy, které jsou plochami rotačními. Nazývají se katenoidy. Z geometrického hlediska je katenoid plochou nulové střední křivosti, tj. v každém jejím bodě se poloměry křivosti dvou k sobě kolmých řezů liší jen znaménkem.“

    Některé zdroje uvádějí, že se tvaru řetězovky využívá i při výrobě houslí.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze