Tenzor setrvačnosti tyče

Úloha číslo: 2235

Určete složky tenzoru setrvačnosti velmi tenké homogenní tyče délky \(l\) vzhledem k jejímu hmotnému středu a určete moment setrvačnosti této tyče vzhledem k ose procházející hmotným středem a určené vektorem \(\vec {n} = \left ( \, \frac {\sqrt 2}{2}; \, 0 ; \,\frac {\sqrt 2}{2} \right ) \).

Nápověda 1
Rozvažte, jakých vztahů budete užívat a jaké všechny veličiny k tomu budete potřebovat.
Řešení – Nápověda 1
Jelikož se jedná o homogenní tyč, bude vhodnější uvažovat o ní jako o spojitém prostředí než o soustavě hmotných bodů. Tedy pro určení jednotlivých složek tenzoru setrvačnosti \(J_{jk}\) platí vztah:
\[J_{jk}= \int_V^{}{( \delta_{jk} \, r^2 - x_j \, x_k ) \rho} \, \mathrm{d}V,\]
kde \(r\) je vzdálenost od počátku soustavy, \(\delta_{jk}\) je Kroneckerovo delta a souřadnice polohového vektoru \(x_i\) pro \(i=\) 1 až 3 jsou obecnějším zapsáním našich souřadnic \(x, \, y, \, z\).

Poznámka: Odvození tohoto vztahu viz například: Studijní text k teoretické mechanice tuhého tělesa.

Potřebujeme tedy znát hustotu tyče \(\rho\). Protože je naše tyč homogenní, je tato hustota konstantní.
Nápověda 2
Určujte postupně jednotlivé složky tenzoru a zapište je do matice.

Rozmyslete si, jak bude v našem případě vypadat daný objemový integrál a určete integrační meze.
Řešení – Nápověda 2
Určeme nejprve složku tenzoru odpovídající momentu setrvačnosti rotace okolo osy \(x\), tedy složku \(J_{xx}\):
\[J_{xx}=J_{11}= \int_{V} {( \delta_{11} \, r^2 - x_1 \, x_1 ) \rho} \, \mathrm{d}V = \int_{V} {(\, x^2 + y^2 + z^2 - x^2 ) \rho} \, \mathrm{d}V = \int_{V} {(\,y^2 + z^2) \rho} \, \mathrm{d}V.\]
Protože je tyč velmi tenká, má naše hustota \(\rho\) význam lineární hustoty \(\eta\), pak se náš objemový integrál změní na prostý integrál proměnné \(z\). Jelikož jsme počátek soustavy souřadnic umístili do hmotného středu tyče, budou integrační meze odpovídat polovině délky tyče, a proto budeme integrovat od \(- \frac {l}{2}\) do \(\frac {l}{2}\). Tyto úvahy vedou ke vztahu:
\[J_{xx}=\eta \, \int_{- \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}} {(\,y^2 + z^2)} \, \mathrm{d}z = \eta \left [ zy^2 + \frac {z^3}{3} \right ] _{\,\, - \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}}.\]
Ovšem v námi nastavené soustavě pro naši tyč uvažujeme, že \(y=0\), proto dále platí:
\[J_{xx}=\frac {1}{3} \eta \left [ z^3 \right ] _{\,\, - \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}}=\frac {1}{3} \eta \left ( \frac {l^3}{8} + \frac {l^3}{8} \right ) = \frac {1}{12} l^2 \left ( \eta \, l \right ).\]
Rozmysleme si, že vztah \(\eta \, l\) dává celkovou hmotnost tyče. Tuto hmotnost označme \(m\). Tedy konečně pro první složku tenzoru setrvačnosti \(J_{xx}\) dostaneme:
\[J_{xx}= \frac {1}{12} ml^2.\]
Další postupy zestručníme, protože jsou velmi podobné postupu předešlému.

Dále si určeme složku \(J_{yy}\):
\[J_{yy}= \int_{V} {( \delta_{22} \, r^2 - y^2 ) \rho} \, \mathrm{d}V = \int_{- \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}} {( \, x^2 + z^2 ) \eta} \, \mathrm{d}z = \eta \left [ zx^2 + \frac {z^3}{3} \right ] _{\,\, - \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}}.\]
Obdobně jako v předešlém případě pro naši tyč platí, že \(x=0\), a dále:
\[J_{yy}=\frac {1}{3} \eta \left [ z^3 \right ] _{\,\, - \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}} = \frac {1}{12} l^2 \left ( \eta \, l \right ) = \frac {1}{12} ml^2.\]
Přesuňme se ke složce \(J_{zz}\).
\[J_{zz}= \int_{V} {( \delta_{33} \, r^2 - z^2 ) \rho} \, \mathrm{d}V = \int_{- \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}} {( \, x^2 + y^2 ) \eta} \, \mathrm{d}z = \eta \left [ zx^2 + zy^2 \right ] _{\,\, - \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}}\]
Tentokrát se v našem vztahu vyskytuje i \(x\) i \(y\), a v našem případě jsou obě rovny nule, tedy pro \(J_{zz}\) platí:
\[J_{zz} = 0.\]
Složky odpovídající momentům setrvačnosti vzhledem k rotaci okolo příslušných os bychom měli, teď se budeme věnovat deviačním momentům. Pro \(J_{xy}\) platí:
\[J_{xy}= \int_{V} {( \delta_{12} \, r^2 - xy ) \rho} \, \mathrm{d}V = \int_{- \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}} {( \, -xy ) \eta} \, \mathrm{d}z.\]
Cyklickou záměnou zjistíme, že ve vztahu pro libovolný deviační moment se vždy vyskytuje \(x\) nebo \(y\), které ovšem pokládáme rovny 0, a dále víme, že tenzor setrvačnosti je symetrický, tedy že \(J_{ij}=J_{ji}\). Všechny deviační momenty proto budou:
\[J_{xy}=J_{yz}=J_{xz}=0.\]
Už zbývá jen zapsat tenzor setrvačnosti naší tyče v podobě matice:
\[J_{ij}= \begin{pmatrix} \frac {1}{12} ml^2 & 0 & 0\\ 0 & \frac {1}{12} ml^2 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .\]
Nápověda 3
Rozmyslete si, jaký vztah platí pro moment setrvačnosti vůči ose zadané směrovým vektorem \(\vec {n} = \left ( \, \frac {\sqrt 2}{2}; \, 0 ; \,\frac {\sqrt 2}{2} \right ) \).
Řešení – Nápověda 3
Pro moment setrvačnosti \(J_\vec \nu\) tyče vůči ose zadané jednotkovým vektorem \(\vec \nu\) platí:
\[J_\vec \nu = J_{ij} \nu_i \nu_j .\tag{1}\]
Odvození viz: Studijní text k teoretické mechanice tuhého tělesa.

Prostým výpočtem ověřme, že náš vektor \(\vec {n} = \left ( \, \frac {\sqrt 2}{2}; \, 0 ; \,\frac {\sqrt 2}{2} \right ) \) je jednotkový.
\[\left \| \vec {n} \right \| = \sqrt {\left ( \frac {\sqrt 2}{2} \right )^2 + \left ( \frac {\sqrt 2}{2} \right )^2} = \sqrt {\frac {1}{2} + \frac {1}{2}} = \sqrt 1 = 1 .\]
Dále je třeba si uvědomit, že ve vztahu (1) jsou schovány dvě Einsteinovy sumační konvence, tedy po dosazení \(\vec n\) získáme:
\[J_\vec n = \sum_{i=1}^{3} \, \sum_{j=1}^{3} \, J_{ij} n_i n_j .\]
Tento vztah si rozepíšeme do podoby:
\[J_\vec n = J_{xx} n_x n_x + J_{xy} n_x n_y + J_{xz} n_x n_z +\] \[\,\,\,\,\,\,\, + J_{yx} n_y n_x + J_{yy} n_y n_y + J_{yz} n_y n_z +\] \[\,\,\,\, + J_{zx} n_z n_x + J_{zy} n_z n_y + J_{zz} n_z n_z .\]
Vzhledem k podobě tenzoru, jehož složky jsme si vypočítali v předchozí části, víme, že má smysl se zabývat pouze členy s \(J_{xx}\) a \(J_{yy}\).
\[J_\vec n = \frac {1}{12} ml^2 \frac {\sqrt 2}{2} \frac {\sqrt 2}{2} + \frac {1}{12} ml^2 {\cdot} 0 \cdot 0 = \frac {ml^2}{24}.\]
Moment setrvačnosti naší tyče vůči ose dané vektorem \(\vec n\) je \(\frac {ml^2}{24}\).
Celkové řešení
Pro určení jednotlivých složek tenzoru setrvačnosti \(J_{jk}\) spojitého prostředí platí vztah:
\[J_{jk}= \int_V^{}{( \delta_{jk} \, r^2 - x_j \, x_k ) \rho} \, \mathrm{d}V,\tag{2}\]
kde \(r\) je vzdálenost od počátku soustavy, \(\delta_{jk}\) je Kroneckerovo delta a souřadnice polohového vektoru \(x_i\) pro \(i=\) 1 až 3 jsou obecnějším zapsáním našich souřadnic \(x, \, y, \, z\).

Potřebujeme znát také hustotu tyče \(\rho\). Naše tyč je homogenní, proto je hustota \(\rho\) konstantní.

Určeme nejprve složku \(J_{xx}\) tenzoru setrvačnosti tyče podle vztahu (2):
\[J_{xx}=J_{11}= \int_{V} {( \delta_{11} \, r^2 - x_1 \, x_1 ) \rho} \, \mathrm{d}V = \int_{V} {(\,y^2 + z^2) \rho} \, \mathrm{d}V.\]
Tyč je velmi tenká, a proto bude snazší uvažovat lineární hustotu \(\eta\) namísto objemové \(\rho\). Náš integrál se zjednoduší na prostý integrál proměnné \(z\). Tenzor určujeme vzhledem k hmotnému středu tyče, tudíž integrační meze budou odpovídat polovině délky tyče a budeme integrovat od \(- \frac {l}{2}\) do \(\frac {l}{2}\). Tyto úvahy vedou ke vztahu:
\[J_{xx}=\eta \, \int_{- \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}} {(\,y^2 + z^2)} \, \mathrm{d}z = \eta \left [ zy^2 + \frac {z^3}{3} \right ] _{\,\, - \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}}.\]
Ovšem \(y\) souřadnice tyče je nulová, proto dále platí:
\[J_{xx}=\frac {1}{3} \eta \left [ z^3 \right ] _{\,\, - \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}}=\frac {1}{3} \eta \left ( \frac {l^3}{8} + \frac {l^3}{8} \right ) = \frac {1}{12} l^2 \left ( \eta \, l \right ).\]
Vztah \(\eta \, l\) vyjadřuje celkovou hmotnost tyče. Tuto hmotnost označme \(m\). Tedy pro složku \(J_{xx}\) dostaneme:
\[J_{xx}= \frac {1}{12} ml^2.\]
Další postupy zestručníme, jsou totiž velmi podobné postupu předešlému.

Dále určeme složku \(J_{yy}\):
\[J_{yy}= \int_{V} {( \delta_{22} \, r^2 - y^2 ) \rho} \, \mathrm{d}V = \int_{- \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}} {( \, x^2 + z^2 ) \eta} \, \mathrm{d}z = \eta \left [ zx^2 + \frac {z^3}{3} \right ] _{\,\, - \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}}.\]
Pro naši tyč platí, že \(x=0\), a dále:
\[J_{yy}= \frac {1}{12} l^2 \left ( \eta \, l \right ) = \frac {1}{12} ml^2.\]
Přesuňme se ke složce \(J_{zz}\).
\[J_{zz}= \int_{V} {( \delta_{33} \, r^2 - z^2 ) \rho} \, \mathrm{d}V = \int_{- \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}} {( \, x^2 + y^2 ) \eta} \, \mathrm{d}z = \eta \left [ zx^2 + zy^2 \right ] _{\,\, - \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}} = 0\] \[J_{zz} = 0\]
Složky odpovídající momentům setrvačnosti vzhledem k rotaci okolo příslušných os bychom měli, dále se věnujme deviačním momentům. Pro \(J_{xy}\) platí:
\[J_{xy}= \int_{V} {( \delta_{12} \, r^2 - xy ) \rho} \, \mathrm{d}V = \int_{- \frac {l}{2}}^{\frac {l}{2}} {( \, -xy ) \eta} \, \mathrm{d}z = 0 \]
Cyklickou záměnou zjistíme, že ve vztahu pro libovolný deviační moment se vždy vyskytuje \(x\) nebo \(y\), které jsou nulové. Všechny deviační momenty proto budou nulové:
\[J_{xy}=J_{yz}=J_{xz}=0.\]
Zapíšeme tenzor setrvačnosti naší tyče v podobě matice:
\[J_{ij} = \begin{pmatrix} \frac {1}{12} ml^2 & 0 & 0\\ 0 & \frac {1}{12} ml^2 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .\]
Pro moment setrvačnosti \(J_\vec \nu\) tyče vzhledem k ose zadané jednotkovým vektorem \(\vec \nu\) platí:
\[J_\vec \nu = J_{ij} \nu_i \nu_j .\tag{3}\]
Prostým výpočtem ověřme, že náš vektor \(\vec {n} = \left ( \, \frac {\sqrt 2}{2}; \, 0 ; \,\frac {\sqrt 2}{2} \right ) \) je jednotkový.
\[\left \| \vec {n} \right \| = \sqrt {\left ( \frac {\sqrt 2}{2} \right )^2 + \left ( \frac {\sqrt 2}{2} \right )^2} = \sqrt {\frac {1}{2} + \frac {1}{2}} = \sqrt 1 = 1 .\]
Je třeba si uvědomit, že ve vztahu (3) jsou použity dvě Einsteinovy sumační konvence, tedy po dosazení \(\vec n\) získáme:
\[J_\vec n = \sum_{i=1}^{3} \, \sum_{j=1}^{3} \, J_{ij} n_i n_j =\] \[\,\,\,\, = J_{xx} n_x n_x + J_{xy} n_x n_y + J_{xz} n_x n_z +\] \[\,\,\,\, + J_{yx} n_y n_x + J_{yy} n_y n_y + J_{yz} n_y n_z +\] \[\,\,\,\, + J_{zx} n_z n_x + J_{zy} n_z n_y + J_{zz} n_z n_z =\] \[= \frac {1}{12} ml^2 \frac {\sqrt 2}{2} \frac {\sqrt 2}{2} = \frac {ml^2}{24}.\]
Moment setrvačnosti \(J_\vec n\) naší tyče vůči ose dané vektorem \(\vec n\) je \(\frac {ml^2}{24}\).
Odpověď
Námi hledaný tenzor setrvačnosti velmi tenké homogenní tyče vůči počátku soustavy souřadnic má tvar:
\[J_{ij}= \begin{pmatrix} \frac {1}{12} ml^2 & 0 & 0\\ 0 & \frac {1}{12} ml^2 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .\]
Moment setrvačnosti této tyče vůči ose dané směrem \(\vec {n} = \left ( \, \frac {\sqrt 2}{2}; \, 0 ; \,\frac {\sqrt 2}{2} \right ) \) je:
\[J_\vec n = \frac {ml^2}{24}.\]

Tenzor setrvačnosti tyče

Úloha číslo: 2235

Nápověda 1

Řešení – Nápověda 1

Nápověda 2

Řešení – Nápověda 2

Nápověda 3

Řešení – Nápověda 3

Celkové řešení

Odpověď