Krychle s hmotným bodem - hledání hlavních os setrvačnosti

Úloha číslo: 2250

Určete tenzor setrvačnosti homogenní krychle o délce hrany \(a\) a hmotnosti \(M\) vzhledem k jednomu z jejích vrcholů, jestliže je k vrcholu naproti přes stěnovou úhlopříčku připevněna kulička o hmotnosti \(m = \frac{M}{6}\) zanedbatelných rozměrů.

Obrázek 1 - nákres krychle s připevněným závažíčkem

Najděte hlavní osy rotace a hlavní momenty setrvačnosti.

  • Rozbor řešení úlohy

    Stručně si řekněme, jak budeme při řešení úlohy postupovat.

    Bude přehledné si nejdříve zvlášť spočítat tenzor setrvačnosti krychle vzhledem k jejímu vrcholu a tenzor setrvačnosti samotného hmotného bodu (kuličky) vzhledem k danému vrcholu.

    Následně určíme tenzor setrvačnosti celé soustavy vzhledem k danému vrcholu.

    Poté užijeme znalosti linérní algebry k určení vlastních vektorů a čísel matice tenzoru setrvačnosti a přiřadíme jim fyzikální význam.

  • Tenzor setrvačnosti krychle – Nápověda 1

    Rozmyslete si, s jakými vztahy budete pracovat a které všechny veličiny potřebujete znát pro určení tenzoru setrvačnosti.

  • Tenzor setrvačnosti krychle – Nápověda 2

    Vypočítejte postupně jednotlivé složky tenzoru a zapište je do matice.

    Rozmyslete si jednotlivé integrační meze a celkovou podobu našeho objemového integrálu.

  • Tenzor setrvačnosti krychle - Odpověď

    Tenzor setrvačnosti homogenní krychle vzhledem k jednomu jejímu vrcholu má tvar:

    \[J_{krychle} = \frac {1}{12} M a^2 \begin{pmatrix} 8 & -3 & -3\\ -3 & 8 & -3\\ -3 & -3 & 8 \end{pmatrix} .\]
  • Tenzor setrvačnosti hmotného bodu – Nápověda 1

    Nyní si spočítáme tenzor setrvačnosti samotného bodu o hmotnosti \(\frac{M}{6}\).

    Podívejte se na obrázek a určete souřadnice hmotného bodu.

    Rozvažte, jakých vztahů budete užívat a jaké všechny veličiny k tomu budete potřebovat.

  • Tenzor setrvačnosti hmotného bodu – Nápověda 2

    Vypočítejte postupně jednotlivé složky tenzoru a zapište je do matice.

  • Tenzor setrvačnosti hmotného bodu - Odpověď

    Tenzor setrvačnosti bodu o hmotnosti \(\frac{M}{6}\) vzhledem k počátku soustavy souřadnic je:

    \[J_{bod} = \frac{M a^2}{6} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.\]
  • Tenzor setrvačnosti celého systém – Nápověda

    Určeme tenzor setrvačnosti celého systému dohromady.

  • Tenzor setrvačnosti celého systému - Odpověď

    Tenzor setrvačnosti \(J\) celého systému jsme určili jako:

    \[J = \frac {M a^2}{12} \begin{pmatrix} 10 & -5 & -3\\ -5 & 10 & -3\\ -3 & -3 & 12 \end{pmatrix}.\]
  • Hlavní momenty setrvačnosti a hlavní osy rotace – Nápověda 1

    Nyní budeme hledat vlastní vektory a vlastní čísla tenzoru setrvačnosti.

    Zavzpomínejte, jak se hledají vlastní vektory matice. Osvěžte si pojmy: vlastní čísla, vlastní vektor a charakteristický polynom.

  • Hlavní momenty setrvačnosti a hlavní osy rotace – Nápověda 2

    Najděte vlastní čísla a vektory matice

    \[\begin{pmatrix} 10 & -5 & -3 \\ -5 & 10 & -3 \\ -3 & -3 & 12 \end{pmatrix} .\]
  • Hlavní momenty setrvačnosti a hlavní osy rotace – Nápověda 3

    Přiřaďte výsledkům Nápovědy 2 fyzikální význam.

  • Poznámka k lineární algebře

    Opět trochu zavzpomínejme na lineární algebru.

    Máme-li matici \(A\), její vlastní čísla \(\lambda_i\) a vlastní vektory \(\vec v_i\), a když označíme \(P\) matici vytvořenou z vlastních vektorů \(\vec v_i\) zapsaných do sloupců, potom platí:

    \[P^{-1} \cdot A \cdot P = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix} .\]

    Rozmysleme si, že \(P\) je matice přechodu od kanonické báze k bázi tvořené vlastními vektory.

    Tedy bychom měli dostat diagonalizovanou matici. Ověřme to tedy pro náš případ tenzoru setrvačnosti.

    Matice \(A\) je pro nás tenzorem setrvačnosti \(J_c\) celé soustavy.

    \[J_c = \frac {M a^2}{12} \begin{pmatrix} 10 & -5 & -3\\ -5 & 10 & -3\\ -3 & -3 & 12 \end{pmatrix}\]

    Vlastní čísla jsou pro nás hlavní momenty setrvačnosti \(J_i\) a k nim přísluší vlastní vektory \(\vec{v_i}\)

    \[\begin{matrix} J_1 = \frac{1}{4} M a^2 & & \vec {v_1} = (3 , \, 3 , \, 2 ) \\ J_2 = \frac{5}{4} M a^2 & & \vec {v_2} = (1 , \, -1 , \, 0 ) \\ J_3 = \frac{7}{6} M a^2 & & \vec {v_3} = (1 , \, 1 , \, -3 ) \end{matrix}\]

    V našem případě tedy matice \(P\) je ortogonální matice báze a má tvar:

    \[P = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -3 \end{pmatrix}\]

    Najděme teď matici inverzního přechodu \(P^{-1}\).

    \[\left(\begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -3 \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \sim \left(\begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & -11 \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 3 \end{matrix}\right) \sim \left(\begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -11 \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 3 \end{matrix}\right) \sim\] \[\sim \left(\begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{11} & \frac{1}{11} & - \frac{3}{11} \end{matrix}\right) \sim \left(\begin{matrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{11} & \frac{1}{11} & - \frac{3}{11} \end{matrix}\right) \sim \left(\begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} \frac{9}{22} & \frac{9}{22} & \frac{3}{11} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{11} & \frac{1}{11} & - \frac{3}{11} \end{matrix}\right) \sim \] \[\sim \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} \frac{3}{22} & \frac{3}{22} & \frac{1}{11} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{11} & \frac{1}{11} & - \frac{3}{11} \end{matrix}\right)\]

    Vypočítejme tedy součin \(P^{-1} \cdot J_c \cdot P\).

    \[P^{-1} \cdot J_c \cdot P = \begin{pmatrix} \frac{3}{22} & \frac{3}{22} & \frac{1}{11} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{11} & \frac{1}{11} & - \frac{3}{11} \end{pmatrix} \cdot \frac {M a^2}{12} \begin{pmatrix} 10 & -5 & -3\\ -5 & 10 & -3\\ -3 & -3 & 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -3 \end{pmatrix} =\] \[= \frac {M a^2}{12} \begin{pmatrix} \frac{3}{22} & \frac{3}{22} & \frac{1}{11} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{11} & \frac{1}{11} & - \frac{3}{11} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 9 & 15 & 14 \\ 9 & -15 & 14 \\ 6 & 0 & -42 \end{pmatrix} = \frac {M a^2}{12} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & 14 \end{pmatrix} \] \[P^{-1} \cdot J_c \cdot P = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} M a^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5}{4} M a^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{6} M a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} J_1 & 0 & 0 \\ 0 & J_2 & 0 \\ 0 & 0 & J_3 \end{pmatrix}\]

    Vidíme tedy, že vzhledem k naší ortogonální bázi \(\vec{v_1}\), \(\vec{v_2}\) a \(\vec{v_3}\) má matice tenzoru setrvačnosti opravdu diagonální tvar, kde na hlavní diagonále jsou hlavní momenty setrvačnosti.

  • Hlavní momenty setrvačnosti a hlavní osy rotace - Odpověď

    Vektory \(\vec {v_i}\) určují hlavní osy rotace s příslušnými hlavními momenty setrvačnosti \(J_i\).

    \[\begin{matrix} J_1 = \frac{1}{4} M a^2 & & \vec {v_1} = (3 , \, 3 , \, 2 ) \\ J_2 = \frac{5}{4} M a^2 & & \vec {v_2} = (1 , \, -1 , \, 0 ) \\ J_3 = \frac{7}{6} ) M a^2 & & \vec {v_3} = (1 , \, 1 , \, -3 ) \end{matrix}\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze