Jednorozměrný harmonický oscilátor

Úloha číslo: 1232

Řešte jednorozměrný harmonický oscilátor pomocí Hamiltonových rovnic.

Harmonický oscilátor si představíme jako hmotný bod hmotnosti m na nehmotné pružině s tuhostí k.

Harmonický oscilátor
  • Nápověda 1

    Rozmyslete si, kolik má úloha stupňů volnosti a jaké zvolíte zobecněné souřadnice.

  • Nápověda 2

    Hamiltonova funkce H se určuje z Lagrangeovy funkce L. Určete kinetickou a potenciální energii harmonického oscilátoru a napište příslušný lagrangián.

  • Nápověda 3

    Hamiltonova funkce H je definována obecně jako:

    \[H=\sum_{i=1}^n{p_i\dot{q_i}}-L,\]

    kde qi je zobecněná souřadnice a pi je příslušná zobecněná hybnost.

    Spočtěte Hamiltonovu funkci.

    Zobecněnou hybnost pi spočítáme podle vzorce:

    \[p_i=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}.\]
  • Nápověda 4

    Napište Hamiltonovy kanonické rovnice obecně a dosaďte do nich.

  • Nápověda 5

    Napište řešení pohybové rovnice z minulé nápovědy a odvoďte vztah pro časový vývoj hybnosti p.

  • Celkové řešení

    Úloha má pouze jeden stupeň volnosti.

    Za jedinou zobecněnou souřadnicí můžeme zvolit přímo souřadnici x.

    Napíšeme kinetickou energii T a potenciální energii V harmonického oscilátoru:

    \[T=\frac{1}{2}m\dot{x}^2,\] \[V=\frac{1}{2}kx^2.\]

    Spočítáme lagrangián L:

    \[L=T-V=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2.\]

    Abychom mohli vyjádřit Hamiltonovu funkci H, která v našem případě vypadá jako:

    \[H=p\dot{x}-L,\]

    musíme znát zobecněnou hybnost p. Tu spočítáme podle vzorce:

    \[p=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}}} = m\dot{x}.\]

    Vidíme tedy, že zobecněná hybnost má tvar hybnosti, kterou známe z klasické mechaniky.

    Dosadíme do vyjádření hamiltoniánu H za hybnost p a lagrangián L a dostáváme:

    \[H=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}kx^2.\]

    Přirozené proměnné hamiltoniánu jsou zobecněné souřadnice a hybnosti, proto výsledek ještě upravíme tak, aby v něm nevystupovala zobecněná rychlost \(\dot{x}\), ale zobecněná hybnost p:

    \[H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2.\]

    Hamiltonián vyšel roven celkové mechanické energii, tedy jako součet kinetické a potenciální energie. Toto nastane vždy, když není lagrangián explicitně závislý na čase.

    Hamiltoniánu využijeme k napsání Hamiltonových kanonických rovnic, které mají obecně tvar:

    \[\dot{q_i}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_i}},\] \[\dot{p_i}=-\frac{\partial{H}}{\partial{q_i}}.\]

    V našem případě máme jedinou (zobecněnou) souřadnici x a k ní příslušnou (zobecněnou) hybnost p. Rovnice tedy nabývají tvaru:

    \[\dot{x}=\frac{\partial{H}}{\partial{p}},\] \[\dot{p}=-\frac{\partial{H}}{\partial{x}}.\]

    Provedeme naznačené derivace a získáváme:

    \[\dot{x}=\frac{p}{m},\] \[\dot{p}=-kx.\]

    Jako pohybové rovnice jsme tedy dostali soustavu dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu. Můžeme ji dosazením derivace první rovnice do druhé také přepsat do známého tvaru:

    \[\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0.\]

    Řešení této rovnice známe. Viz úloha Kladka na pružině, Komentář – řešení pohybové rovnice.

    \[x=A\cos{(\omega t+\varphi_0)},\]

    kde konstanta A je amplituda, φ0 je počáteční fáze a ω je úhlová rychlost zavedená vztahem:

    \[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.\]

    Nyní můžeme dosadit do vztahu pro hybnost p a získáme:

    \[p=m\dot{x}=-m\omega A\sin{(\omega t+\varphi_0)}.\]
  • Odpověď

    Hamiltonova funkce H harmonického oscilátoru je:

    \[H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2.\]

    Hamiltonovy kanonické rovnice mají tvar:

    \[\dot{x}=\frac{p}{m},\] \[\dot{p}=-kx.\]

    Jejich řešení pro souřadnici x a p má tvar:

    \[x=A\cos{(\omega t+\varphi_0)},\] \[p=-m\omega A\sin{(\omega t+\varphi_0)}.\]
  • Komentář – trajektorie ve fázovém prostoru

    Fázový prostor je prostor všech stavů systému. V našem případě máme pouze jednorozměrný pohyb, stav oscilátoru je tedy jednoznačně popsán jeho polohou (zobecněnou souřadnicí) a (zobecněnou) hybností. Prostor tedy bude dvoudimenzionální, na jednu osu naneseme souřadnici x a na druhou hybnost p, pro které jsme získali vyjádření:

    \[x=A\cos{(\omega t+\varphi_0)},\] \[p=-m\omega A\sin{(\omega t+\varphi_0)}.\]

    Abychom získali trajektorii ve fázovém prostoru, musíme z rovnice pro hybnost p a souřadnici x vyloučit čas. Využijeme gonimetrického vzorce sin2α + cos2α = 1. Obě rovnice výše tedy nejprve umocníme na druhou a vyjádříme příslušné kvadráty goniometrických funkcí:

    \[\cos^2{(\omega t+\varphi_0)}=\frac{x^2}{A^2},\] \[\sin^2{(\omega t+\varphi_0)}=\frac{p^2}{m^2\omega^2 A^2}\]

    Rovnice sečteme a získáme:

    \[\frac{x^2}{A^2}+\frac{p^2}{m^2\omega^2 A^2}=1.\]

    Toto je středová rovnice elipsy se středem v počátku soustavy souřadnic a poloosami o velikostech AAmω.

    Elipsa se středem v počátku soustavy

    Harmonický oscilátor se tedy ve fázovém prostoru pohybuje po elipse.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze