Sbírka řešených úloh

Hmotný bod v centrálním gravitačním poli

Úloha číslo: 1244

• Nápověda 1

  Nejprve je nutno zvolit, v jakých souřadnicích budeme úlohu řešit. Jelikož řešíme pohyb hmotného bodu v centrálním gravitačním poli, bude pro vyjádření potenciální energie výhodné, pokud zvolíme sférické souřadnice.

  Napište kinetickou a potenciální energii ve sférických souřadnicích a sestavte lagrangián.

• Řešení nápovědy 1

  Sférické souřadnice r, ϑ a ψ zavádíme vůči kartézským souřadnicím x, y a z vztahy:

  \[x=r\sin{\vartheta}\cos{\psi},\] \[y=r\sin{\vartheta}\sin{\psi},\] \[z=r\cos{\vartheta}.\]

  Vyjádření kinetické energie T hmotného bodu ve sférických souřadnicích jsme již provedli v úloze Hmotný bod v různých souřadnicích

  \[T=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\vartheta}^2+r^2\sin^2{\vartheta}\ \dot{\psi}^2).\]

  Centrální gravitační pole je pole centrální síly. Potenciální energie V pole centrální síly závisí pouze na vzdálenosti r hmotného bodu od počátku:

  \[V(\vec{r})=V(r).\]

  Budeme-li uvažovat, že centrální silou je síla gravitační, platí pro potenciální energii vztah:

  \[V=-\kappa\frac{mM}{r},\]

  kde m je hmotnost hmotného bodu, M hmotnost objektu, který vytváří silové pole, a κ je gravitační konstanta.

  Lagrangián L tak nabývá tvaru:

  \[L=T-V=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\vartheta}^2+r^2\sin^2{\vartheta}\ \dot{\psi}^2)+\kappa\frac{mM}{r}.\]

• Nápověda 2

  Napište Lagrangeovy rovnice II. druhu. Přitom můžete využít výsledků úlohy Hmotný bod v různých souřadnicích. Získané diferenciální rovnice zjednodušte. K zjednodušení využijte zákona zachování momentu hybnosti.

• Řešení nápovědy 2

  Lagrangeovy rovnice II. druhu ve sférických souřadnicích jsme získali v úloze Hmotný bod v různých souřadnicíchve tvaru:

  \[m\ddot{r}=mr\dot{\vartheta}^2+mr\sin^2{\vartheta}\ \dot{\psi}^2-\frac{\partial{V}}{\partial{r}},\] \[2mr\dot{r}\dot{\vartheta}+mr^2\ddot{\vartheta}=mr^2\dot{\psi}^2\sin{\vartheta}\cos{\vartheta}-\frac{\partial{V}}{\partial{\vartheta}},\] \[2mr\dot{r}\dot{\psi}\sin^2{\vartheta}+2mr^2\dot{\vartheta}\ \dot{\psi}\sin{\vartheta}\cos{\vartheta}+mr^2\ddot{\psi}\sin^2{\vartheta}=-\frac{\partial{V}}{\partial{\psi}}.\]

  Vypočteme parciální derivace potenciální energie V na pravých stranách a dostáváme:

  \[m\ddot{r}=mr\dot{\vartheta}^2+mr\sin^2{\vartheta}\ \dot{\psi}^2-\kappa\frac{mM}{r^2},\] \[2mr\dot{r}\dot{\vartheta}+mr^2\ddot{\vartheta}=mr^2\dot{\psi}^2\sin{\vartheta}\cos{\vartheta},\] \[2mr\dot{r}\dot{\psi}\sin^2{\vartheta}+2mr^2\dot{\vartheta}\ \dot{\psi}\sin{\vartheta}\cos{\vartheta}+mr^2\ddot{\psi}\sin^2{\vartheta}=0.\]

  Díky tomu, že se jedná o pohyb v poli centrální síly (síla směřuje buď od počátku souřadného systému, nebo směrem k němu), bude pohyb hmotného bodu omezen pouze na jednu rovinu. Tato rovina je dána působící silou a počáteční rychlostí. Jednoduše můžeme říci, že síla působí v této rovině, a proto není nic, co by hmotný bod donutilo tuto rovinu opustit. Podobně je tomu i v úloze Pohyb v tíhovém poli, kde jsme také ukázali, že se pohyb hmotného bodu vždy odehrává v rovině.

  Zmíněnou rovinu můžeme charakterizovat podmínkou:

  \[\psi=\mathrm{konst.}\]

  Všechny členy, kde se objevuje časová derivace ψ, tak budou nulové. Třetí rovnice je tedy splněna a zbylé dvě rovnice nabývají tvaru:

  \[m\ddot{r}=mr\dot{\vartheta}^2-\kappa\frac{mM}{r^2},\tag{1}\] \[2mr\dot{r}\dot{\vartheta}+mr^2\ddot{\vartheta}=0.\tag{2}\]

  Další možností, jak zdůvodnit rovinný pohyb hmotného bodu, je využití momentu síly a momentu hybnosti. Moment síly je dán vektorovým součinem polohového vektoru a působící síly. Jelikož je síla centrální, jsou polohový vektor a vektor působící síly kolineární (ve stejné přímce). Moment síly je tedy nulový, a proto nemění moment hybnosti, tj. platí zákon zachování momentu hybnosti \(\vec{B}\). Moment hybnosti lze spočítat jako vektorový součin polohového vektoru a hybnosti. Protože je moment hybnosti konstantní vektor, leží hybnost, a tedy i rychlost, stále ve stejné rovině kolmé k \(\vec{B}\) (to vyplývá z vlastností vektorového součinu). Pohyb hmotného bodu se tedy odehrává pouze v této rovině.

  Velikost momentu hybnosti \(B\) je dána vztahem:

  \[B=J\dot{\vartheta},\]

  kde J = mr² je moment setrvačnosti hmotného bodu vzhledem k počátku soustavy souřadnic. Po dosazení získáme vztah pro velikost momentu hybnosti ve tvaru:

  \[B=mr^2\dot{\vartheta}.\]

  Podívejme se ještě na rovnici (2). Upravíme ji podle vztahu pro derivaci součinu získáme:

  \[\frac{\mathrm{d}(mr^2\dot{\vartheta})}{\mathrm{d}t}=0.\]

  Vidíme, že uvnitř derivace se nachází právě velikost momentu hybnosti B. To znamená, že druhá rovnice je vlastně jen jinak zapsaným zákonem zachování momentu hybnosti.

  Zbývá nám řešit rovnici (1), kterou po úpravě můžeme vyjádřit ve tvaru:

  \[\ddot{r}-\frac{B^2}{m^2r^3}+\frac{\kappa M}{r^2}=0.\tag{3}\]

  To je diferenciální rovnice pouze v proměnné r.

• Nápověda 3

  Kompletní řešení diferenciální rovnice získané v předchozím oddílu (tj. vyjádření časových závislostí jednotlivých souřadnic) je poměrně složité. Namísto něho vyjádřete trajektorii pohybu hmotného bodu, tj. závislost vzdálenosti od počátku r na úhlu ϑ. Užijte těchto kroků:

  1. Časové derivace souřadnice r nahraďte derivacemi podle ϑ. Uvažujte, že r je složená funkce \(r=r(\vartheta(t))\).

  2. Abyste se v zbavili nepříjemných členů r² a r³ ve jmenovatelích zlomků v diferenciální rovnici (3) a zároveň vyjádřili závislost r na ϑ, zaveďte substituci:

     \[r(\vartheta)=\frac{1}{u(\vartheta)}.\]

• Řešení nápovědy 3a – vyjádření derivací

  Získali jsme diferenciální rovnici v proměnné r:

  \[\ddot{r}-\frac{B^2}{m^2r^3}+\frac{\kappa M}{r^2}=0.\tag{3}\]

  Abychom tuto rovnici vyřešili, budeme muset provést několik netriviálních úprav. Nejprve nahradíme časové derivace r derivacemi podle ϑ.

  Uvažujeme \(r=r(\vartheta(t))\). Pro \(\dot{r}\) platí:

  \[\dot{r}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\vartheta}\dot{\vartheta}=\frac{B}{mr^2}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\vartheta}.\]

  Za \(\dot{\vartheta}\) jsme dosadili ze zákona zachování momentu hybnosti.

  Pro \(\ddot{r}\) tak můžeme napsat vztah:

  \[\ddot{r}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{B}{mr^2}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\vartheta}\right)=\frac{B}{m}\dot{\vartheta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\vartheta}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\vartheta}\right)=\frac{B^2}{m^2r^2}\left[-\frac{2}{r^3}\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\vartheta}\right)^2+\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}\vartheta^2}\right].\]

• Řešení nápovědy 3b – substituce a Binetův vzorec

  Jak již bylo řečeno v nápovědě, abychom se zbavili nepříjemných členů r² a r³ ve jmenovatelích zlomků v diferenciální rovnici a zároveň vyjádřili závislost r na ϑ, zavedeme v rovnici (3) substituci:

  \[r(\vartheta)=\frac{1}{u(\vartheta)}.\]

  Pro první a druhou derivaci r podle ϑ platí vzhledem k této substituci vztah:

  \[\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\vartheta}=-\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\vartheta},\] \[\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}\vartheta^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\vartheta}\left(-\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\vartheta}\right)=\frac{2}{u^3}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\vartheta}\right)^2-\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\vartheta^2}.\]

  Dosazením substituce získáme:

  \[\ddot{r}=\frac{B^2}{m^2r^2}\left[-\frac{2}{r^3}\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\vartheta}\right)^2+\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}\vartheta^2}\right]=\frac{B^2u^2}{m^2}\left[-2u^3\left(-\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\vartheta}\right)^2+u^2\left(\frac{2}{u^3}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\vartheta}\right)^2-\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\vartheta^2}\right)\right].\]

  První a druhý člen se navzájem odečtou a pro \(\ddot{r}\) dostaneme:

  \[\ddot{r}=-\frac{B^2u^2}{m^2}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\vartheta^2}.\]

  Rovnici (3) tak můžeme vyjádřit v proměnné u:

  \[-\frac{B^2u^2}{m^2}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\vartheta^2}-\frac{B^2u^3}{m^2}+\kappa Mu^2=0.\]

  Dále můžeme rovnici vydělit u² a získáme:

  \[-\frac{B^2}{m^2}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\vartheta^2}-\frac{B^2}{m^2}u+\kappa M=0.\tag{4}\]

  Rovnici v tomto tvaru nazýváme Binetův vzorec.

  Odvození tohoto vzorce by probíhalo obdobně, ať už by se jednalo o jakoukoli centrální sílu. Konkrétní průběh silového pole ovlivní jen tvar posledního členu na levé straně.

• Nápověda 4

  Řešte Binetův vzorec (4) odvozený v předchozí nápovědě, a vyjádřete tak tvar trajektorie hmotného bodu v poli centrální gravitační síly.

  Všimněte si podobnosti rovnice (4) s rovnicí pro harmonický osciáltor.

• Řešení nápovědy 4

  Pracujeme s rovnicí:

  \[-\frac{B^2}{m^2}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\vartheta^2}-\frac{B^2}{m^2}u+\kappa M=0.\tag{4}\]

  Po vydělení rovnice konstantou u prvního členu dostáváme:

  \[\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\vartheta^2}+u=\frac{\kappa Mm^2}{B^2}.\]

  Jedná se o rovnici pro dobře známý harmonický oscilátor. Její řešení je:

  \[u=\frac{\kappa Mm^2}{B^2}+A\cos{(\vartheta+\vartheta_0}),\tag{5}\]

  kde A a ϑ₀ jsou integrační konstanty.

  Zavedeme označení:

  \[p=\frac{B^2}{\kappa Mm^2},\] \[\varepsilon=Ap.\]

  Jelikož p jsme zavedli jako převrácenou hodnotu prvního členu na pravé straně rovnice (5), bude jeho rozměr převrácenou hodnotou rozměru proměnné u. Vzhledem k použité substituci bude mít p rozměr délky a ε bude bezrozměrné.

  Rovnici (5) můžeme upravit do tvaru:

  \[pu=1+\varepsilon\cos{(\vartheta+\vartheta_0}).\]

  Po návratu k substituci tak můžeme vyjádřit r ve tvaru:

  \[r=\frac{p}{1+\varepsilon\cos{(\vartheta+\vartheta_0})}.\]

  Pro zjednodušení ještě můžeme položit ϑ₀ = 0. Tato volba je realizovatelná vhodným natočením soustavy souřadnic, nejde tedy o omezení na speciální případ. Pro r dostáváme:

  \[r=\frac{p}{1+\varepsilon\cos{\vartheta}}.\]

  Toto je rovnice kuželosečky v polárním tvaru.

  Trajektorie hmotného bodu v poli centrální síly bude tedy některá z kuželoseček.

  Abychom získali obvyklejší tvar, můžeme přejít do kartézských souřadnic x, y a z. Bez újmy na obecnosti položíme ψ = 0. Pohyb se tedy bude odehrávat v rovině xz (přesvědčte se o tom ve vyjádření kartézský souřadnic v nápovědě 1). Dosazením získáme:

  \[p=r+\varepsilon r\cos{\vartheta}=\sqrt{x^2+z^2}+\varepsilon x.\]

  Umocněním na druhou a po úpravě dostaneme:

  \[(1-\varepsilon^2)x^2+2\varepsilon px+z^2-p^2=0.\]

  Hodnota koeficientu p závisí na druhé momentu hybnosti, který je dán počátečními podmínkami. Stejně tak ε závisí na integrační konstantě A, kterou určíme z počátečních podmínek. Oba koeficienty tedy závisí na počátečních podmínkách. Podle hodnot koeficientů p a ε jde o různé druhy kuželoseček:

  ε = 0 kružnice,

  0 < ε < 1 elipsa,

  ε = 1 parabola,

  ε > 1 hyperbola.

• Celkové řešení

  Úlohu budeme řešit ve sférických souřadnicích r, ϑ a ψ, které vůči kartézským souřadnicím x, y a z zavádíme pomocí vztahů:

  \[x=r\sin{\vartheta}\cos{\psi},\] \[y=r\sin{\vartheta}\sin{\psi},\] \[z=r\cos{\vartheta}.\]

  Vyjádření kinetické energie T hmotného bodu ve sférických souřadnicích naleznete v úloze Hmotný bod v různých souřadnicích:

  \[T=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\vartheta}^2+r^2\sin^2{\vartheta}\ \dot{\psi}^2).\]

  Centrální gravitační pole je pole centrální síly. Potenciální energie V pole centrální síly závisí pouze na vzdálenosti r hmotného bodu od počátku. Potenciální energie centrálního gravitačního pole tak nabývá tvaru:

  \[V=-\kappa\frac{mM}{r},\]

  kde m je hmotnost hmotného bodu, M hmotnost objektu, který vytváří silové pole, a κ je gravitační konstanta.

  Lagrangián L sestrojíme jako:

  \[L=T-V=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\vartheta}^2+r^2\sin^2{\vartheta}\ \dot{\psi}^2)+\kappa\frac{mM}{r}.\]

  Lagrangeovy rovnice II. druhu ve sférických souřadnicích jsme získali v úloze Hmotný bod v různých souřadnicíchve tvaru:

  \[m\ddot{r}=mr\dot{\vartheta}^2-\frac{\partial{V}}{\partial{r}},\] \[2mr\dot{r}\dot{\vartheta}+mr^2\ddot{\vartheta}=mr^2\dot{\psi}^2\sin{\vartheta}\cos{\vartheta}-\frac{\partial{V}}{\partial{\vartheta}},\] \[2mr\dot{r}\dot{\psi}\sin^2{\vartheta}+2mr^2\dot{\vartheta}\ \dot{\psi}\sin{\vartheta}\cos{\vartheta}+mr^2\ddot{\psi}\sin^2{\vartheta}=-\frac{\partial{V}}{\partial{\psi}}.\]

  Po vypočtení parciálních derivací potenciální energie V na pravých stranách a dostáváme soustavu rovnic:

  \[m\ddot{r}=mr\dot{\vartheta}^2-\kappa\frac{mM}{r^2},\] \[2mr\dot{r}\dot{\vartheta}+mr^2\ddot{\vartheta}=mr^2\dot{\psi}^2\sin{\vartheta}\cos{\vartheta},\] \[2mr\dot{r}\dot{\psi}\sin^2{\vartheta}+2mr^2\dot{\vartheta}\ \dot{\psi}\sin{\vartheta}\cos{\vartheta}+mr^2\ddot{\psi}\sin^2{\vartheta}=0.\]

  Pohyb v poli centrální síly se děje pouze v jedné rovině, kterou můžeme charakterizovat podmínkou ψ = konst., a rovnice tak můžeme přepsat do tvaru (podrobnou diskuzi naleznete v nápovědě 2):

  \[m\ddot{r}=mr\dot{\vartheta}^2-\kappa\frac{mM}{r^2},\tag{1}\] \[2mr\dot{r}\dot{\vartheta}+mr^2\ddot{\vartheta}=0.\tag{2}\]

  V poli centrální síly se zachovává moment hybnosti \(\vec{B}\). Konstantní velikost momentu hybnosti B lze vyjádřit ve tvaru:

  \[B=mr^2\dot{\vartheta}.\]

  Rovnici (1) upravíme pomocí velikosti momentu hybnosti B na tvar:

  \[\ddot{r}-\frac{B^2}{m^2r^3}+\frac{\kappa M}{r^2}=0.\tag{3}\]

  Kompletní řešení této diferenciální rovnice je obtížné. Namísto něho vyjádříme trajektorii pohybu, tj. závislost r na ϑ. Nejprve vyjádříme časové derivace r pomocí derivace podle ϑ.

  Uvažujeme-li r jako složenou funkci \(r(\vartheta(t))\), pak pro \(\dot{r}\) platí:

  \[\dot{r}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\vartheta}\dot{\vartheta}=\frac{B}{mr^2}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\vartheta}.\]

  Za \(\dot{\vartheta}\) jsme dosadili ze zákona zachování momentu hybnosti.

  Pro \(\ddot{r}\) můžeme napsat vztah:

  \[\ddot{r}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{B}{mr^2}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\vartheta}\right)=\frac{B}{m}\dot{\vartheta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\vartheta}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\vartheta}\right)=\frac{B^2}{m^2r^2}\left[-\frac{2}{r^3}\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\vartheta}\right)^2+\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}\vartheta^2}\right].\]

  Abychom se v zbavili členů r² a r³ ve jmenovatelích zlomků v diferenciální rovnici a zároveň vyjádřili závislost r na ϑ, zavedeme v rovnici (3) substituci:

  \[r=\frac{1}{u(\vartheta)}.\]

  Pro první a druhou derivaci r podle ϑ platí vzhledem k této substituci vztah:

  \[\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\vartheta}=-\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\vartheta},\] \[\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}\vartheta^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\vartheta}\left(-\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\vartheta}\right)=\frac{2}{u^3}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\vartheta}\right)^2-\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\vartheta^2}.\]

  Provedením substituce dostáváme:

  \[\ddot{r}=\frac{B^2}{m^2r^2}\left[-\frac{2}{r^3}\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\vartheta}\right)^2+\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}\vartheta^2}\right]=\frac{B^2u^2}{m^2}\left[-2u^3\left(-\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\vartheta}\right)^2+u^2\left(\frac{2}{u^3}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\vartheta}\right)^2-\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\vartheta^2}\right)\right].\]

  První a druhý člen se navzájem odečtou a pro \(\ddot{r}\) dostaneme:

  \[\ddot{r}=-\frac{B^2u^2}{m^2}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\vartheta^2}.\]

  Rovnici (3) tak můžeme vyjádřit v proměnné u:

  \[-\frac{B^2u^2}{m^2}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\vartheta^2}-\frac{B^2u^3}{m^2}+\kappa Mu^2=0.\]

  Nakonec rovnici vydělíme u² a získáme:

  \[-\frac{B^2}{m^2}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\vartheta^2}-\frac{B^2}{m^2}u+\kappa M=0.\tag{4}\]

  Rovnici v tomto tvaru nazýváme Binetův vzorec.

  Rovnici ještě vydělíme konstantou u prvního členu a upravíme:

  \[\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\vartheta^2}+u=\frac{\kappa Mm^2}{B^2}.\]

  Jedná se o dobře známou rovnici pro harmonický oscilátor, jejíž řešení je:

  \[u=\frac{\kappa Mm^2}{B^2}+A\cos{(\vartheta+\vartheta_0}),\tag{5}\]

  kde A a ϑ₀ jsou integrační konstanty.

  Zavedeme označení:

  \[p=\frac{B^2}{\kappa Mm^2},\] \[\varepsilon=Ap.\]

  Rovnici (5) můžeme upravit do tvaru:

  \[pu=1+\varepsilon\cos{(\vartheta+\vartheta_0}).\]

  Po návratu k substituci tak můžeme vyjádřit r ve tvaru:

  \[r=\frac{p}{1+\varepsilon\cos{(\vartheta+\vartheta_0})}.\]

  Pro zjednodušení ještě můžeme položit ϑ₀ = 0. Tato volba je realizovatelná vhodným natočením soustavy souřadnic. Pro r tedy dostáváme:

  \[r=\frac{p}{1+\varepsilon\cos{\vartheta}}.\]

  Toto je rovnice kuželosečky v polárním tvaru (podrobnější diskuzi naleznete v nápovědě 4).

  Trajektorie hmotného bodu v poli centrální síly bude tedy některá z kuželoseček.

• Odpověď

  Lagrangeovy rovnice II. druhu pro hmotný bod v gravitačním poli mají ve sférických souřadnicích tvar:

  \[m\ddot{r}=mr\dot{\vartheta}^2-\kappa\frac{mM}{r^2},\] \[2mr\dot{r}\dot{\vartheta}+mr^2\ddot{\vartheta}=mr^2\dot{\psi}^2\sin{\vartheta}\cos{\vartheta},\] \[2mr\dot{r}\dot{\psi}\sin{\vartheta}+mr^2\dot{\vartheta}\ \dot{\psi}\cos{\vartheta}+mr^2\ddot{\psi}\sin{\vartheta}=0.\]

  Jejich řešením jsme získali tvar trajektorie hmotného bodu v gravitačním poli daný rovnicí kuželosečky:

  \[r=\frac{p}{1+\varepsilon\cos{\vartheta}},\]

  kde:

  \[p=\frac{B^2}{\kappa Mm^2},\] \[\varepsilon=Ap.\]