Pohyb okolo labilní rovnovážné polohy na kouli

Úloha číslo: 2263

Mějme kuličku o hmotnosti \(m\) a poloměru \(r\), která se bez prokluzu pohybuje v blízkosti labilní rovnovážné polohy na kouli o poloměru \(R\).

Obrázek 1 - zadání úlohy

Pomocí aproximací pro malé kmity najděte pohybovou rovnici pro tuto kuličku.

  • Nápověda

    Zvolte si soustavu souřadnic. Rozhodněte, kolik a jakých zobecněných souřadnic budete používat.

    Pro řešení pomocí Lagrangeových rovnic druhého druhu nebo pomocí Hamiltonových rovnic budete potřebovat znalost vztahu pro kinetickou a potenciální energii.

  • Lagrangeovy rovnice druhého druhu

    K nalezení pohybové rovnice užijeme Lagrangeových rovnic druhého druhu. Jelikož má náš problém pouze jeden stupeň volnosti, bude tato rovnice pouze jedna.

    \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi} = 0 \]

    Spočítejme postupně všechny nutné derivace pro naše \(L\).

    \[L = \frac{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2}{2 r^2} \dot{\varphi}^2 + \frac{m g \left( R + r \right)}{2}\varphi^2 + konst\] \[\frac{\partial L}{\partial \varphi} = m g \left( R + r \right) \varphi \] \[\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = \frac{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2}{r^2} \dot{\varphi}\] \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} \right) = \frac{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2}{r^2} \ddot{\varphi}\]

    Potom tedy pro naši kuličku platí:

    \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = \frac{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2}{r^2} \ddot{\varphi} - m g \left( R + r \right) \varphi = 0 \, .\]

    Hledaná pohybová rovnice pro malé kmity má tvar:

    \[\ddot{\varphi} - \frac{m g r^2 \left( R + r \right)}{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2} \, \varphi = 0 \, .\]

    Jedná se o homogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. Označíme-li \(\frac{m g r^2 \left( R + r \right)}{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2} = \omega^2\), pak lze řešení zapsat ve tvaru:

    \[\varphi = A e^{\omega t}\, .\]

    K určení konstanty \(A\) bychom potřebovali znát nějakou počáteční podmínku. Bude-li například na začátku pohybu kulička na vrcholku větší koule, tedy \(\varphi_0 = \varphi (0) = 0\), potom snadno určíme konstantu \(A\).

    \[\varphi (0) = A \, e^{\omega \cdot 0} = A = 0\] \[\varphi (t) = 0\]

    Tato počáteční podmínka by odpovídala tomu, že je kulička v labilní rovnovážné poloze a tedy se opravdu nikam nepohybuje.

  • Hamiltonovy rovnice

    Hamiltonovy kanonické rovnice připadají dvě na každý stupeň volnosti - rovnice pro změnu hybnosti \(\dot{p_i}\) a pro změnu zobecněné souřadnice \(\dot{q_i}\), v našem případě tedy budou pouze dvě:

    \[\dot{p} = - \frac{\partial H}{ \partial \varphi} \, ;\] \[\dot{\varphi} = \frac{\partial H}{\partial p},\]

    kde \(p\) je zobecněná hybnost a \(H \, (p,\varphi)\) je Hamiltonova funkce.

    Abychom pohybovou rovnici našli pomocí Hamiltonových rovnic, budeme potřebovat znát vztah pro zobecněnou hybnost kuličky.

    \[p = \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = \frac{\partial}{\partial \dot{\varphi}} \left( \frac{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2}{2 r^2} \dot{\varphi}^2 + \frac{m g \left( R + r \right)}{2}\varphi^2 + konst \right) = \frac{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2}{r^2} \dot{\varphi}\]

    Nyní potřebujeme určit Hamiltonovu funkci \(H\). Pro \(H\) obecně platí vztah:

    \[H = \sum_{i=1}^N {p_i}{\dot{q_i}} - L \, .\]

    V našem případě se suma redukuje na jediný člen a výpočet nebude náročný.

    \[H = p \dot{\varphi} - L = \frac{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2}{r^2} \dot{\varphi}^2 - \frac{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2}{2 r^2} \dot{\varphi}^2 - \frac{m g \left( R + r \right)}{2}\varphi^2 - konst \] \[H = \frac{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2}{2 r^2} \dot{\varphi}^2 - \frac{m g \left( R + r \right)}{2}\varphi^2 - konst = T + V\] \[H = \frac{r^2}{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2} \frac{p^2}{2} - \frac{m g \left( R + r \right)}{2}\varphi^2 - konst\]

    Známe hamiltonián \(H\), tedy je načase dosadit do Hamiltonových kanonických rovnic.

    \[\dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial \varphi} = m g \left( R + r \right) \varphi \] \[\dot{\varphi} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{r^2}{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2} p\]

    Z druhé rovnice vyjádříme \(p\) a zderivujeme podle času, abychom získali \(\dot{p}\).

    \[p = \frac{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2}{r^2} \dot{\varphi} \, \, \, \, \big/ \frac{\partial}{\partial t}\] \[\dot{p} = \frac{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2}{r^2} \ddot{\varphi}\]

    Z druhé rovnice dosadíme do první za \(\dot{p}\).

    \[\frac{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2}{r^2} \ddot{\varphi} = \dot{p} = m g \left( R + r \right) \varphi\] \[\ddot{\varphi} - \frac{m g r^2 \left( R + r \right)}{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2} \, \varphi = 0 \]

    Toto je námi hledaná pohybová rovnice pro naši kuličku.

  • Komentář – malinkatá kulička

    Pro kuličku normálních rozměrů jsme pohybovou rovnici určili jako:

    \[\ddot{\varphi} - \frac{m g r^2 \left( R + r \right)}{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2} \, \varphi = 0 \, .\]

    Co kdyby byla kulička malinkatá a měla zanedbatelné rozměry? Potom její moment setrvačnosti \(J\) je prakticky nulový a jelikož je \(R \gg r\), bude pohybová rovnice o kus jednodušší.

    \[\ddot{\varphi} - \frac{m g r^2 R}{m r^2 R^2} \, \varphi = 0\] \[\ddot{\varphi} - \frac{g}{R} \, \varphi = 0\]

    Takto by vypadala pohybová rovnice pro malé výchylky hmotného bodu padajícího z labilní rovnovážné polohy na vrcholku koule.

  • Odpověď

    Při užití následující aproximace pro potenciální energii \(V\):

    \[V = - \frac{m g \left( R + r \right)}{2}\varphi^2 - konst \, ,\]

    má kulička pohybující se dle zadání pohybovou rovnici:

    \[\ddot{\varphi} - \frac{m g r^2 \left( R + r \right)}{J R^2 + m r^2 \left( R + r \right)^2} \, \varphi = 0 \, .\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze