Tenzor setrvačnosti elipsoidu
Úloha číslo: 2247
Určete tenzor setrvačnosti homogenního obecného elipsoidu o délkách poloos \(a, \, b, \, c\), který vyhovuje následující nerovnici:
\[\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} + \frac {z^2}{c^2} \leq 1.\]Tenzor setrvačnosti určete vzhledem k hmotnému středu elipsoidu.
Nápověda 1
Rozmyslete si, s jakými vztahy budete pracovat a které všechny veličiny potřebujete znát pro určení tenzoru setrvačnosti.
Dále si rozmyslete, v jakých souřadnicích bude výhodné pracovat, jaké platí transformační vztahy a jaký je význam determinantu Jacobiho matice (jakobiánu). Určete jakobián.
Nápověda 2
Vypočítejte postupně jednotlivé složky tenzoru setrvačnosti a zapište je do matice.
Rozmyslete si jednotlivé integrační meze a celkovou podobu našeho objemového integrálu.
Celkové řešení
Pro určení jednotlivých složek tenzoru setrvačnosti \(J_{jk}\) spojitého tělesa platí vztah:
\[J_{jk}= \int_V {( \delta_{jk} \, r^2 - x_j \, x_k ) \rho} \, \mathrm{d}V,\]kde \(r\) je vzdálenost „kousků“ tělesa od počátku soustavy, \(\rho\) je hustota tělesa, \(\delta_{jk}\) je Kroneckerovo delta a souřadnice polohového vektoru \(x_i\) pro \(i=\) 1 až 3 jsou obecnějším zapsáním kartézských souřadnic \(x, \, y, \, z\).
Elipsoid je homogenní, a proto je hustota \(\rho\) konstantní.
Parametrické vztahy pro elipsoid jsou zobecněním sférických souřadnic, kde vzdálenost od počátku \(R\) do směru příslušných os „protáhneme“ podle daných parametrů. (Tedy k \(x\) přiřadíme \(a\), k \(y\) přiřadíme \(b\) a k \(z\) přiřadíme \(c\).)
Parametrizace elipsoidu se dá v kartézských souřadnicích zapsat takto:
\[x = a \, R \, \sin \theta \, \cos \varphi ;\] \[y = b \, R \, \sin \theta \, \sin \varphi ;\] \[z = c \, R \, \cos \theta ;\]kde \(R\) je parametr, charakterizující vzdálenost od počátku soustavy, probíhající interval \( ( 0{,}1 ) \). Úhel \(\theta\) je úhel měřený od osy \(z\) a \(\theta \in (0, \pi ) \). Úhel \(\varphi\) je měřený od osy \(x\) v rovině \(xy\) proti směru hodinových ručiček a \(\varphi \in (0, 2 \pi ) \).
Ověřme platnost transformačních vztahů dosazením do nerovnice popisující elipsoid.
\[\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} + \frac {z^2}{c^2} = \left( R \, \sin \theta \, \cos \varphi \right)^2 + \left( R \, \sin \theta \, \sin \varphi \right)^2 + \left( R \, \cos \theta \right)^2 = \] \[= R^2 \left[ \sin^2 \theta \cos^2 \varphi + \sin^2 \theta \sin^2 \varphi + \cos^2 \theta \right] = R^2 \left[ \sin^2 \theta \cdot 1 + \cos^2 \theta \right] = R^2 \leq 1\] \[\left | R \right | \leq 1\]Tato nerovnice platí, tedy lze takto elipsoid parametrizovat.
Budeme počítat objemový integrál v eliptických souřadnicích. Abychom integrál mohli do eliptických souřadnic přepsat, je třeba určit jakobián \(\left| \mathbb{J} \right|\).
Pro převod integrálu ze souřadnic kartézských do eliptických bude platit vztah:
\[\int_V f(x,y,z) \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z = \int_V f(R,\varphi,\theta) \left| \mathbb{J} \right| \mathrm{d}R \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta\]Nyní spočítáme jakobián \(\left| \mathbb{J} \right|\).
\[\left| \mathbb{J} \right| = \begin{vmatrix} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}R} & \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\varphi} & \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}R} & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\varphi} & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}\\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}R} & \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\varphi} & \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a \, \sin \theta \, \cos \varphi & - a \, R \, \sin \theta \, \sin \varphi & a \, R \, \cos \theta \, \cos \varphi \\ b \, \sin \theta \, \sin \varphi & b \, R \, \sin \theta \, \cos \varphi & b \, R \, \cos \theta \, \sin \varphi \\ c \, \cos \theta & 0 & - c \, R \, \sin \theta \end{vmatrix} = \] \[= \left | - abcR^2 \sin^3 \theta \cos^2 \varphi - abcR^2 \sin \theta \cos^2 \theta \sin^2 \varphi - abcR^2 \sin \theta \cos^2 \theta \cos^2 \varphi - abcR^2 \sin^3 \theta \sin^2 \varphi \right |=\] \[= abcR^2 \left [ \sin^3 \theta \cos^2 \varphi + \sin \theta \cos^2 \theta \sin^2 \varphi + \sin \theta \cos^2 \theta \cos^2 \varphi + \sin^3 \theta \sin^2 \varphi \right ]=\] \[= abcR^2 \left [ \sin^3 \theta \left ( \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi \right ) + \sin \theta \cos^2 \theta \left ( \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi \right ) \right ]=\] \[= abcR^2 \left [ \sin^3 \theta + \sin \theta \cos^2 \theta \right ] = abcR^2 \sin \theta\]Určeme nejprve moment setrvačnosti rotace okolo osy \(x\) odpovídajcí složce \(J_{xx}\):
\[J_{xx}=J_{11}= \int_V {\left ( \delta_{11} \, r^2 - x_1 x_1 \right) \rho} \mathrm{d}V = \int_V {\left ( x^2 + y^2 + z^2 - x^2 \right ) \rho} \mathrm{d}V =\int_V {\left ( y^2 + z^2 \right ) \rho} \mathrm{d}V.\]Nyní dosadíme za \(y\) a \(z\) z transformačních vztahů a za \(\mathrm{d}V\) dosadíme \(abcR^2 \sin \theta \,\mathrm{d}R \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta\).
\[J_{xx} = \rho \int_0^\pi \int_0^{2 \pi} \int_0^1 (b^2 R^2 \sin^2 \theta \sin^2 \varphi + c^2 R^2 \cos^2 \theta)abcR^2 \sin \theta \,\mathrm{d}R \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta=\] \[= \rho a b c \int_0^\pi \int_0^{2 \pi} \int_0^1 R^4 \sin \theta (b^2 \sin^2 \theta \sin^2 \varphi + c^2 \cos^2 \theta) \,\mathrm{d}R \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta=\] \[= \rho a b c \int_0^1 R^4 \mathrm{d}R \int_0^\pi \sin \theta \int_0^{2 \pi} (b^2 \sin^2 \theta \sin^2 \varphi + c^2 \cos^2 \theta) \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta=\] \[= \rho a b c \int_0^1 R^4 \mathrm{d}R \int_0^\pi \sin \theta \left ( b^2 \sin^2 \theta \int_0^{2 \pi} \sin^2 \varphi \,\mathrm{d}\varphi + c^2 \cos^2 \theta \int_0^{2 \pi} 1 \,\mathrm{d}\varphi \right ) \,\mathrm{d}\theta\]Spočtěme si bokem integrály, které se nám objevily.
\[\int_0^{2 \pi} 1 \,\mathrm{d}\varphi = \left [ \varphi \right ]_0^{2 \pi} = 2 \pi\] \[\int_0^{2 \pi} \sin^2 \varphi \,\mathrm{d}\varphi = \int_0^{2 \pi} \frac {1 - \cos 2 \varphi}{2} \,\mathrm{d}\varphi = \left [ \frac {\varphi}{2} - \frac {\sin 2 \varphi}{4} \right ]_0^{2 \pi}= \pi\] \[\int_0^1 R^4 \mathrm{d}R = \left [ \frac {1}{5} R^5 \right ]_0^1 = \frac {1}{5}\]Tyto vztahy dosadíme zpět do výpočtu složky \(J_{xx}\).
\[J_{xx} = \rho a b c \frac {1}{5} \int_0^\pi \sin \theta \left ( \pi b^2 \sin^2 \theta + 2 \pi c^2 \cos^2 \theta \right ) \,\mathrm{d}\theta=\] \[= \frac {\rho \pi a b c}{5} \int_0^\pi \sin \theta \left [ b^2 (1 - \cos^2 \theta) + 2 c^2 \cos^2 \theta \right ] \,\mathrm{d}\theta= \begin{vmatrix} t = \cos \theta\\ \mathrm{d}t = - \sin \theta \mathrm{d}\theta \end{vmatrix} = \] \[= \frac {\rho \pi a b c}{5} \int_{-1}^1 \left [ b^2 (1 - t^2) + 2 c^2 t^2\right ] \,\mathrm{d}t= \frac {\rho \pi a b c}{5} \left [ b^2 (t - \frac {t^3}{3}) + 2 c^2 \frac {t^3}{3} \right ]_{-1}^1 =\] \[= \frac {\rho \pi a b c}{5} 2 \left( b^2 - \frac {1}{3} b^2 + \frac {2}{3} c^2 \right )= \frac {2 \rho \pi a b c}{15} (2 b^2 + 2 c^2) = \frac {4 \rho \pi a b c}{15} (b^2 + c^2)\]Uvědomíme-li si, že vztah \(\frac {4}{3} \pi a b c \) je objem elipsoidu, pak výraz \(\frac {4}{3} \pi a b c \rho\) má význam celkové hmotnosti elipsoidu, označme ji \(m\). Pak pro složku tenzoru setrvačnosti \(J_{xx}\) platí:
\[J_{xx} = \frac {1}{5} m (b^2 + c^2).\]Protože příroda nerozlišuje osy \(x\), \(y\) ani \(z\) a z jejího hlediska jsou rovnocenné, budou pro ně platit totožné vztahy, pouze s dosazením příslušných rozměrů. Proto pro \(J_{yy}\) a \(J_{zz}\) platí:
\[J_{yy} = \frac {1}{5} m (a^2 + c^2) \, ;\] \[J_{zz} = \frac {1}{5} m (a^2 + b^2) \, .\]Podívejme se nyní na deviační momenty a začněme složkou \(J_{xy}\).
\[J_{xy}=J_{12}= \int_V {\left ( \delta_{12} \, r^2 - x_1 x_2 \right) \rho} \mathrm{d}V = \int_V {\left ( -xy \right ) \rho} \mathrm{d}V = \] \[= - \rho \int_0^\pi \int_0^{2 \pi} \int_0^1 a b R^2 \,\sin^2 \theta \,\cos \varphi \,\sin \varphi \, abc R^2 \,\sin \theta \,\mathrm{d}R \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta=\] \[= - \rho a^2 b^2 c \int_0^1 R^4 \,\mathrm{d}R \int_0^\pi \sin^3 \theta \,\mathrm{d}\theta \int_0^{2 \pi} \cos \varphi \,\sin \varphi \,\mathrm{d}\varphi\]Vyřešme nyní poslední integrál.
\[\int_0^{2 \pi} \cos \varphi \,\sin \varphi \,\mathrm{d}\varphi = \frac {1}{2} \int_0^{2 \pi} \sin {2 \varphi} \,\mathrm{d}\varphi = 0\]Je to určitý integrál z harmonické funkce přes celočíselný násobek periody – tedy integrál je roven nule, a proto také \(J_{xy}\) je nulový.
Jelikož se jedná o velice symetrický případ a „hmota“ je okolo souřadných os rozložena symetricky, proto budou i zbylé dva deviační momenty nulové.
Určili jsme všechny složky \(J_{ij}\) tenzoru setrvačnosti, tak už je jen zapíšeme do matice.
\[J= \begin{pmatrix} \frac {m}{5} (b^2 + c^2) & 0 & 0\\ 0 & \frac {m}{5} (a^2 + c^2) & 0\\ 0 & 0 & \frac {m}{5} (a^2 + b^2) \end{pmatrix} = \frac {m}{5} \begin{pmatrix} b^2 + c^2 & 0 & 0\\ 0 & a^2 + c^2 & 0\\ 0 & 0 & a^2 + b^2 \end{pmatrix} \]Odpověď
Tenzor setrvačnosti \(J\) homogenního elipsoidu vzhledem k jeho hmotnému středu má tvar:
\[J= \frac {m}{5} \begin{pmatrix} b^2 + c^2 & 0 & 0\\ 0 & a^2 + c^2 & 0\\ 0 & 0 & a^2 + b^2 \end{pmatrix} .\]Komentář – tenzor setrvačnosti koule
Pro kouli platí, že \(a=b=c=r\), tedy pro tenzor setrvačnosti koule \(J_k\) vzhledem k jejímu hmotnému středu bude platit:
\[J_k= \frac {1}{5} m \begin{pmatrix} 2 r^2 & 0 & 0\\ 0 & 2 r^2 & 0\\ 0 & 0 & 2 r^2 \end{pmatrix}= \frac {{2mr}^2}{5} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \frac {{2mr}^2}{5} \mathbb{E} , \]kde \(\mathbb{E}\) je čtvercová jednotková matice řádu 3.
Určeme moment setrvačnosti koule vůči libovolné ose procházející středem koule, která je určena obecným jednotkovým vektorem \(\vec n\).
\[J_\vec n = \vec n \, J_k \, {\vec n}^T = \vec n \, \left ( \frac {{2mr}^2}{5} \mathbb{E} \, \right ) {\vec n}^T = \frac {{2mr}^2}{5} \vec n \, \mathbb{E} \, {\vec n}^T = \frac {{2mr}^2}{5} \vec n \, {\vec n}^T = \frac {{2mr}^2}{5} \| \vec n \| = \frac {{2mr}^2}{5} \]Tedy moment setrvačnosti koule vůči libovolné ose procházející jejím těžištěm je \(\frac {{2mr}^2}{5}\).
Jinak řečeno, koule je tak krásně symetrické těleso, že ať jejím středem proložíme osu otáčení jakkoliv, rozložení hmoty okolo této osy bude mít při rotaci stejný efekt. Tato vlastnost se objevuje i u krychle. Viz Komentář – tenzor setrvačnosti krychle.
