Tenký disk - hledání hlavních os setrvačnosti

Úloha číslo: 2248

Mějme velmi tenký homogenní disk hmotnosti \(M\) o poloměru \(R\) v rovině \(xy\). Osa \(z\) míří ven z nákresny.

Máme záváží hmotnosti \(m = \frac{M}{4}\) připevněno k okraji disku tak, jak je zobrazeno na obrázku.

Obrázek 1 – nákres disku s hmotným bodem

Najděte:

(A) tenzor setrvačnosti samotného disku vzhledem ke svému hmotnému středu,
(B) tenzor setrvačnosti samotného disku vzhledem k bodu \(A\),
(C) tenzor setrvačnosti samotného závaží vzhledem k bodu \(A\),
(D) hlavní osy tenzoru setrvačnosti celého systému vzhledem k bodu \(A\).

  • Řešení - Úloha (A)

    Toto zadání je již vyřešeno v úloze Tenzor setrvačnosti tenkého disku.

  • Nápověda (B)

    Připoměňte si, co říká Steinerova věta.

    Tuto větu aplikujte.

  • Poznámka k úloze (B)

    K vyřešení úlohy (B) jsme mohli použít i jiné věty.

    „Věta o kolmé ose“

    Věta o kolmé ose říká, že pokud leží těleso úplně v rovině \(xy\), a známe momenty setrvačnosti \(J_x\) a \(J_y\), potom pro moment setrvačnosti \(J_z\) rotace okolo osy \(z\) kolmé k rovině \(xy\), přičemž se všechny tři osy rotace setkávají v jednom bodě, platí:
    \[ J_z = J_x + J_y .\]

    Vidíme, že tímto jsme si mohli poněkud zjednodušit úlohu (A), kde by platilo, že \(J_{zz(A)} = 2 J_{xx(A)}\).

    Také jsme mohli pomocí Steinerovy věty určit pouze \(J_{xx}\) a \(J_{yy}\), poté bychom už \(J_{zz}\) určili pouhým součtem.

  • Nápověda (C)1

    Nakreslete si obrázek a určete souřadnice hmotného bodu (závaží).

    Rozvažte, jakých vztahů budete užívat a jaké všechny veličiny k tomu budete potřebovat.

  • Nápověda (C)2

    Vypočítejte postupně jednotlivé složky tenzoru a zapište je do matice.

  • Nápověda (D)1

    Rozmyslete si, jak se určí kombinovaný tenzor setrvačnosti celého systému vzhledem k bodu A.

  • Nápověda (D)2

    Zavzpomínejte, jak se hledají vlastní vektory matice. Osvěžte si pojmy: vlastní čísla, vlastní vektor a charakteristický polynom.

  • Nápověda (D)3

    Najděte vlastní čísla a vektory matice

    \[\begin{pmatrix} 6 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} .\]
  • Nápověda (D)4

    Přiřaďte výsledkům nápovědy (D)3 fyzikální význam.

    Rozmyslete, zda výsledky dávají fyzikálně smysl.

  • Odpověď

    (A) Tenzor setrvačnosti \(J_S\) tenkého homogenního disku vzhledem k jeho hmotnému středu má tvar:

    \[J_S = \frac {M R^2}{4} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} . \]

    (B) Matice tenzoru setrvačnosti \(J_M\) tenkého homogenního disku vzhledem k bodu A má tvar:

    \[J_M = \frac {M R^2}{4} \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} . \]

    (C) Tenzor setrvačnosti \(J_m\) samotného hmotného bodu vzhledem k bodu \(A\) má tvar:

    \[J_m = \frac {M R^2}{4} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} .\]

    (D) Tenzor setrvačnosti \(J_c\) celého systému je:

    \[J_c = \frac {M R^2}{4} \begin{pmatrix} 6 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}\]

    Vektory \(\vec {v_i}\) určují hlavní osy rotace s příslušnými hlavními momenty setrvačnosti \(J_i\).

    \[\begin{matrix} J_1 = 2 M R^2 & & \vec {v_1} = (0 , \, 0 , \, 1 ) \\ J_2 = (1 + \frac{\sqrt 5}{4} ) M R^2 & & \vec {v_2} = (1 , \, 2 - \sqrt 5 , \, 0 ) \\ J_2 = (1 - \frac{\sqrt 5}{4} ) M R^2 & & \vec {v_3} = (1 , \, 2 + \sqrt 5 , \, 0 ) \end{matrix}\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze