Vozík s kyvadlem

Úloha číslo: 634

Napište lagrangián vozíčku hmotnosti M pohybujícího se po vodorovné podložce. Na vozíčku je umístěno matematické kyvadlo (hmotný bod na nehmotném závěsu) hmotnosti m a délky l.

Sestavte a vyřešte Lagrangeovy rovnice II. druhu.

Základní situace
  • Nápověda – volba souřadnic

    Ujasněte si, kolik má systém stupňů volnosti, a kolik tedy budeme potřebovat zobecněných souřadnic.

    Nezapomínejte, že se nemusíte pokoušet zvolit jeden z běžně používaných typů soustav souřadnic (kartézské, polární...), ale vyberte takové zobecněné souřadnice, které skutečně nejvýhodněji popisují pohyb vozíku a kyvadla.

  • Nápověda – kinetická energie

    Určit kinetickou energii vozíku nebude problém. Jak se ale rychlost vozíku projeví na kinetické energii kyvadla?

  • Řešení – kinetická energie

    Kinetickou energii vozíku Tv určíme snadno:

    \[T_v = \frac{1}{2}M\dot{x}^2\ .\]

    O něco složitější to bude s kinetickou energií kyvadla. V souřadnicích xk, yk vyjádříme polohu kyvadla. Nezapomeňte na posun souřadnice xk kvůli poloze vozíčku.

    \[x_k = l\sin \varphi + x\] \[y_k = l\cos \varphi\]

    Derivováním podle času dostaneme:

    \[v_{kx} = l\dot{\varphi} \cos \varphi + \dot{x}\] \[v_{ky} = -l\dot{\varphi} \sin \varphi\]

    Pro druhou mocninu velikosti rychlosti kyvadla vk tedy dostáváme:

    \[|\vec{v_k}|^2 = v_{kx}^2 + v_{ky}^2 = l^2\dot{\varphi}^2 + \dot{x}^2 + 2l\dot{\varphi}\dot{x}\cos \varphi\ .\]

    Odtud tedy pro kinetickou energii kyvadla na vozíčku Tk platí:

    \[T_k = \frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2 + \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + ml\dot{\varphi}\dot{x}\cos \varphi\ .\]

    Pro celkovou kinetickou energii systému platí:

    \[T = T_k + T_v = \frac{1}{2}(M+m)\dot{x}^2 + \frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2 + ml\dot{\varphi}\dot{x}\cos \varphi\ .\]
  • Řešení – potenciální energie

    Budeme postupovat stejně jako v úloze Matematické kyvadlo. Nulovou hladinu potenciální energie zvolíme v místě uchycení kyvadla na vozíčku. Vozíček jako takový má potenciální energii konstantní a pro kyvadlo platí:

    \[V = -mgl\cos\varphi\ .\]
  • Řešení – lagrangián

    Obecný předpis Lagrangeovy funkce je:

    \[L = T-V\ .\]

    Po dosazení vyjádření obou energií z předchozích oddílů dostáváme lagrangián této soustavy:

    \[L = \frac{1}{2}(M+m)\dot{x}^2 + \frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2 + ml\dot{\varphi}\dot{x}\cos\varphi + mgl\cos\varphi\ .\]
  • Nápověda – aproximace

    Použijte přibližné vzorce, resp. Taylorův rozvoj, a upravte lagrangián pro případ malých kmitů kyvadla a malých rychlostí kývání. Zanedbejte členy třetího a vyššího řádu malosti.

  • Řešení – aproximace

    Vyjádřili jsme lagrangián ve tvaru:

    \[L = \frac{1}{2}(M+m)\dot{x}^2 + \frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2 + ml\dot{\varphi}\dot{x}\cos\varphi + mgl\cos\varphi\ .\]

    Rozebereme ho teď člen po členu. V prvních dvou není nic k aproximaci.

    Pro třetí člen dostáváme:

    \[ml\dot{\varphi}\dot{x}\cos \varphi \approx ml\dot{\varphi}\dot{x}\left(1-\frac{1}{2}\varphi^2\right) = ml\dot{\varphi}\dot{x} - \frac{1}{2}ml\dot{\varphi}\dot{x}\varphi^2\ .\]

    Poslední člen z výrazu po aproximaci je ovšem malý čtvrtého řádu. Použijeme tedy přiblížení:

    \[ml\dot{\varphi}\dot{x}\cos \varphi \approx ml\dot{\varphi}\dot{x}\ .\]

    Aproximaci posledního členu lagrangiánu už známe z úlohy Matematické kyvadlo:

    \[mgl\cos \varphi \approx mgl\left(1-\frac{1}{2}\varphi^2\right) = -\frac{1}{2}mgl\varphi^2 + konst.\]

    Po zanedbání konstanty tedy dostáváme lagrangián:

    \[\tilde{L} = \frac{1}{2}(M+m)\dot{x}^2+\frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2+ml\dot{\varphi}\dot{x}-\frac{1}{2}mgl\varphi^2\ .\]
  • Nápověda – rovnice

    Lagrangeovy rovnice II. druhu mají tvar:

    \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\frac{\partial L}{\partial {q}_{j}} = 0,\] pro j = 1, 2 ... n,

    kde qj je j-tá zobecněná souřadnice hmotného bodu a L Lagrangeova funkce.

    Dosaďte do tohoto předpisu lagrangián aproximovaný pro malé kmity a rychlosti pohybu kyvadla.

  • Řešení rovnic

    Z lagrangiánu pro malé kmity dosazeného do předpisu Lagrangeových rovnic II. druhu dostáváme vztahy:

    \[ml^2\ddot{\varphi}+ ml\ddot{x} + mgl\varphi = 0\] \[(M+m)\ddot{x} + ml\ddot{\varphi} = 0\ ,\]

    po úpravě:

    \[l\ddot{\varphi} + \ddot{x} + g\varphi = 0\tag{3}\] \[\ddot{x} = -\frac{m}{M+m}l\ddot{\varphi}\ .\tag{4}\]

    Dosadíme z (4) do (3) a upravíme:

    \[\ddot{\varphi} + \frac{M+m}{M}\frac{g}{l}\varphi = 0\ .\]

    Toto je rovnice lineárního harmonického oscilátoru s úhlovou frekvencí ω (viz např. úloha Jednorozměrný harmonický oscilátor):

    \[\omega = \sqrt{\frac{M+m}{M}}\sqrt{\frac{g}{l}}\]

    Pro zobecněnou souřadnici φ můžeme tedy rovnou psát řešení ve tvaru:

    \[\varphi = A \cos \left(\sqrt{\frac{M+m}{M}}\sqrt{\frac{g}{l}}t + \varphi_0\right)\ .\]

    Nyní máme časový průběh pohybu závaží a jeho pomocí dopočítáme časový průběh pohybu vozíku. Použijeme rovnici (2).

    Budeme počítat s jednodušším zápisem:

    \[\varphi = A \cos (\omega t + \varphi_0)\ .\]

    Dvakrát zderivujeme podle času:

    \[\ddot{\varphi} = -\omega^2A\cos (\omega t + \varphi_0)\]

    a dosadíme do (2):

    \[\ddot{x} = \omega^2\frac{m}{M+m}lA\cos(\omega t + \varphi_0)\ .\]

    Po dosazení za ω v amplitudě a úpravě:

    \[\ddot{x} = \frac{m}{M}gA\cos(\omega t + \varphi_0)\ .\]

    Po dvojím zintegrování podle času:

    \[x = -\frac{1}{\omega^2}\frac{m}{M}gA\cos(\omega t + \varphi_0)\ .\]

    Po dosazení za ω a úpravě:

    \[x = -\frac{m}{m+M}lA\cos\left(\sqrt{\frac{M+m}{M}}\sqrt{\frac{g}{l}}t + \varphi_0\right) + v_{0}t + x_0\ ,\]

    kde integrační konstanty v0, x0 mají význam počáteční rychlosti a počáteční polohy vzhledem k souřadnici x.

    Získaný vztah pro polohu vozíku x nám říká, že vozíček bude kmitat opačným směrem než kyvadlo (kvůli znaménku minus u prvního členu). Pokud by byla jeho počáteční rychlost nenulová, bude toto kmitání složeno s rovnoměrným pohybem, tj. půjde o „trhaný“ pohyb ve směru počáteční rychlosti.

  • Odpověď

    Lagrangián vozíku s kyvadlem je:

    \[L = \frac{1}{2}(M+m)\dot{x}^2 + \frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2 + ml\dot{\varphi}\dot{x}\cos\varphi + mgl\cos\varphi\ ,\]

    kde φ je okamžitá výchylka kyvadla měřená od svislé osy a x je poloha vozíčku na podložce.

    Při přiblížení pro malé kmity a rychlosti pohybu kyvadla dostáváme lagrangián ve tvaru:

    \[\tilde{L} = \frac{1}{2}(M+m)\dot{x}^2+\frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2+ml\dot{\varphi}\dot{x}-\frac{1}{2}mgl\varphi\ .\]

    Řešením Lagrangeových rovnic jsme dospěli k rovnicím polohy vozíčku a kyvadla:

    \[x = -\frac{m}{m+M}lA\cos\left(\sqrt{\frac{M+m}{M}}\sqrt{\frac{g}{l}}t + \varphi_0\right) + v_{0}t + x_0\ ,\] \[\varphi = A \cos \left(\sqrt{\frac{M+m}{M}}\sqrt{\frac{g}{l}}t + \varphi_0\right)\ .\]

    Kmity kyvadla a periodický pohyb vozíčku probíhají v protifázi. Záleží tedy na počáteční rychlosti vozíčku, jestli se bude celý systém někam po vodorovné podložce posouvat.

    Ze skutečnosti, že kmity kyvadla a vozíku probíhají v protifázi by se dalo usuzovat, že se zde nějakým způsobem projevuje zachování hybnosti. Blíže je tato vlastnost komentována v úloze První integrály Lagrangeových rovnic.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze