Sbírka řešených úloh

První integrály Lagrangeových rovnic

Úloha číslo: 742

• Připomenutí teorie a vzorců

  Pokud lagrangián není závislý na některé zobecněné souřadnici nebo explicitně na čase, pak existuje zachovávající se veličina.

  Způsoby jak je najít shrnují tzv. integrály pohybu (první integrály Lagrangeových rovnic). Zopakujte si jejich znění.

  Můžete například použít stránku Integrály pohybu  v Multimediální encyklopedii fyziky.

• Přehled integrálů pohybu

  Pokud je L explicitně nezávislý na čase, pak se zachovává zobecněná energie h, pro kterou platí:

  \[h(q_j, \dot{q}_j) = \sum_{j=1}^{n} \dot{q}_j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}-L = \mathrm{konst.}\ .\tag{1}\]

  V systémech, ve kterých potenciální energie nezávisí na zobecněných rychlostech a ani nezávisí explicitně na čase, má veličina h význam celkové zachovávající se energie (zákon zachování mechanické energie). Vzorec pak jde zjednodušit na tvar:

  \[h(q_j, \dot{q}_j) = T + V = E\ .\]

  Pokud je L nezávislý na zobecněné souřadnici \(q_j\) příslušné ke zobecněné rychlosti \(\dot{q}_j\), pak se zachovává zobecnéná hybnost sdružená s touto souřadnicí, pro kterou platí:

  \[p_{q_j} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\ .\tag{2}\]

  Následně je potřeba vyšetřit její povahu. Může reprezentovat jak zákon zachování hybnosti, tak zákon zachování momentu hybnosti.

• Komentář – zobecněná energie h

  V této úloze budeme zachovávající se zobecněnou energii vypočtenou z lagrangiánu značit malým písmenem h. V literatuře najdeme i značení H. Chceme ovšem odlišit:

  \[h(\dot{q},q)\]	\[H(p, q, t)\]
  zobecněná energie spočtená z lagrangiánu explicitně nezávislého na čase	hamiltonián
  funkce zobecněné rychlosti a souřadnice	funkce zobecněné hybnosti, zobecněné souřadnice a času

  Hamiltonián H se tedy ze zobecněné energie h stane, vyjádří-li se v kanonicky sdružených souřadnicích zobecněné hybnosti a zobecněné souřadnice.

• Řešení A

  Lagrangián případu A:

  \[L = \frac{1}{2}m\dot{\xi}^2 + mg\xi \sin \alpha\]

  závisí na zobecněné souřadnici i zobecněné rychlosti. Explicitně však nezávisí na čase. Můžeme tedy využít výše uvedených vlastností a psát pro zachovávající se zobecněnou energii:

  \[h \left(\dot{\xi}, \xi\right) = \dot{\xi}\frac{\partial L}{\partial \dot \xi} - L\] \[h \left(\dot{\xi}, \xi\right) = m\dot{\xi}^2 - \frac{1}{2}m\dot{\xi}^2 - mg\xi \sin \alpha\] \[h \left(\dot{\xi}, \xi\right) = \frac{1}{2}m\dot{\xi}^2 - mg\xi \sin \alpha\ .\]

  Je vidět (a z vlastností systému to i vyplývá), že platí zákon zachování mechanické energie a celková zachovávající se energie má tvar:

  \[E = T+V\ .\]

• Řešení B

  V případě B je lagrangián závislý na obou zobecněných souřadnicích a rychlostech, ale nezávisí explicitně na čase:

  \[L = \frac{1}{2}M\dot{X}^2 + \frac{1}{2}\mu\dot{\xi}^2 + MgX\sin \alpha - \frac{1}{2}k(\xi-l)^2\ .\]

  Situace je téměř identická, jako v případě A. Potenciální energie v systému nezávisí explicitně na čase, ani na zobecněné rychlosti, takže celkovou zachovávající se energii bude možno psát ve tvaru:

  \[E = T+V\ .\]

  Projděme výpočet podle vztahu (1):

  \[h\left(\dot{X}, X, \dot{\xi}, \xi\right) = \dot{X}\frac{\partial L}{\partial \dot{X}} + \dot{\xi}\frac{\partial L}{\partial \dot{\xi}} - L\] \[h\left(\dot{X}, X, \dot{\xi}, \xi\right) = M\dot{X}^2 + \mu\dot{\xi}^2 - \frac{1}{2}M\dot{X}^2 - \frac{1}{2}\mu\dot{\xi}^2 - MgX\sin \alpha + \frac{1}{2}k(\xi-l)^2\] \[h\left(\dot{X}, X, \dot{\xi}, \xi\right) = E = \frac{1}{2}M\dot{X}^2 + \frac{1}{2}\mu\dot{\xi}^2 - MgX\sin \alpha + \frac{1}{2}k(\xi-l)^2\]

  Vidíme, že jde opravdu o součet kinetické a potenciální energie.

• Nápověda k C 1

  Na jakých veličinách je lagrangián v případě C nezávislý a jaké tedy budeme používat vztahy?

• Řešení nápovědy k C 1

  Lagrangián nezávisí explicitně na čase a na zobecněné souřadnici x. Budeme tedy hledat zachovávající se veličinu h (viz vztah (1)) a zobecněnou hybnost p_x (viz vztah (2)).

• Dosazení

  Potenciální energie nezávisí na rychlostech ani explicitně na čase, stačí tedy psát:

  \[h = E = \frac{1}{2}(M+m)\dot{x}^2 + \frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2 + ml\dot{\varphi}\dot{x}\cos \varphi - mgl\cos\varphi\ .\]

  Pro zobecněnou hybnost p_x platí:

  \[p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\ ,\] \[p_x = (M+m)\dot{x} + ml\dot{\varphi}\cos\varphi\ .\]

• Nápověda k C 2

  Dospěli jsme ke zobecněné hybnosti:

  \[p_x = (M+m)\dot{x} + ml\dot{\varphi}\cos\varphi\ .\]

  Jaký je ale její význam?

  Pomůže vám, pokud si znovu projdete úlohu Vozík s kyvadlem. Zejména určování rychlosti kyvadla je důležté.

• Řešení nápovědy k C 2

  Zachovávající se hybnost p_x upravíme:

  \[p_x = M\dot{x} + m(\dot{x} + l\dot{\varphi}\cos \varphi)\ .\]

  První sčítanec je hybnost vozíčku. Výraz v závorce ve druhém sčítanci je x-ová složka rychlosti kyvadla. Po vynásobení jeho hmotností se tedy jedná o x-ovou složku hybnosti kyvadla.

  Vidíme, že p_x je normální kartézská složka celkové hybnosti soustavy vozíku s kyvadlem.

• Řešení C

  Lagrangián je explicitně nezávislý na čase a na zobecněné souřadnici x.

  \[L = \frac{1}{2}(M+m)\dot{x}^2 + \frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2 + ml\dot{\varphi}\dot{x}\cos \varphi + mgl\cos\varphi\]

  Využijeme tedy vztahy pro zobecněnou energii (1) i pro zobecněnou hybnost (2) – viz první nápověda.

  Potenciální energie nezávisí na rychlostech ani explicitně na čase, stačí tedy psát:

  \[h = E = T+V = \frac{1}{2}(M+m)\dot{x}^2 + \frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2 + ml\dot{\varphi}\dot{x}\cos \varphi - mgl\cos\varphi\ .\]

  Pro zobecněnou hybnost p_x platí:

  \[p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\] \[p_x = M\dot{x} + m(\dot{x} + l\dot{\varphi}\cos\varphi)\ .\]

  První sčítanec je hybnost vozíčku. Výraz v závorce ve druhém sčítanci je x-ová složka rychlosti kyvadla. Po vynásobení jeho hmotností se tedy jedná o x-ovou složku hybnosti kyvadla.

  Vidíme, že p_x je normální kartézská složka celkové hybnosti soustavy vozíku s kyvadlem.

• Nápověda k D

  Při pohledu na lagrangián je vcelku jasné, že se nezachovává žádná z veličin, které vyšetřujeme. Proč tomu tak ale je? Jaký je významný rozdíl mezi tímto lagrangiánem a lagrangiánem hmotného bodu na nakloněné rovině se stabilním úhlem sklonu?

• Řešení nápovědy k D

  Významným rozdílem mezi lagrangiány je právě explicitní časová závislost. Budeme-li uvažovat vlastnosti systému, pak nás nepřekvapí, že se nezachovává hybnost. Nezachovává se však ani mechanická energie, protože rovina při svém otáčení působí na hmotný bod silou, která vykonává práci.

• Řešení D

  Lagrangián je závislý na zobecněné souřadnici, rychlosti i explicitně na čase

  \[L = \frac{1}{2}m\dot{\xi}^2 + \frac{1}{2}m\xi^2\omega^2 - mg\xi\sin(\omega t+ \alpha_0)\ .\]

  Nezachovává se tedy žádná z námi vyšetřovaných veličin.

  Rozdíl proti případu A je dán nakláněním roviny. Ta při svém otáčení působí na hmotný bod silou, která vykonává práci.

• Řešení E

  \[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)\]

  Zde je situace rovněž vcelku velmi jasná. Lagrangián je explicitně závislý pouze na zobecněné rychlosti. Bude se tedy zachovávat zobecněná energie i všechny zobecněné hybnosti.

  Potenciální energie je nulová, takže zachovávající se energie je přímo:

  \[E = T = L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)\ .\]

  Vzhledem k tomu, že zobecněnými souřadnicemi jsou zde přímo souřadnice kartézské, můžeme psát:

  \[E = T = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) = \frac{1}{2}m\dot{\vec{r}}^2\ .\]

  Vzhledem k nezávislosti lagrangiánu na zobecněných souřadnicích a kartézskému charakteru souřadnic můžeme pro zobecněné hybnosti psát:

  \[p_x = \frac{\partial L}{\partial x} = m\dot{x}\] \[p_y = \frac{\partial L}{\partial y} = m\dot{y}\] \[p_z = \frac{\partial L}{\partial z} = m\dot{z}\ .\]

  Všechny složky hybnosti se zachovávají. Pro vektor hybnosti můžeme tedy psát:

  \[\vec{p} = (p_x, p_y, p_z) = m(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}) = m\dot{\vec{r}}\ .\]

  Je tedy vidět, že se zachovává „obyčejná newtonovská“ hybnost.

• Odpověď

  	Úloha	Zachovává se
  A	Hmotný bod na nakloněné rovině	mechanická energie \[h = \frac{1}{2}m\dot{\xi}^2 - mg\xi \sin \alpha\]
  B	Dva vozíky s pružinkou	mechanická energie \[h = \frac{1}{2}M\dot{X}^2 + \frac{1}{2}\mu\dot{\xi}^2 - MgX\sin \alpha + \frac{1}{2}k(\xi-l)^2\]
  C	Vozík s kyvadlem	mechanická energie \[h = \frac{1}{2}(M+m)\dot{x}^2 + \frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2+ ml\dot{\varphi}\dot{x}\cos \varphi - mgl\cos\varphi\] x-ová složka hybnosti \[p_x = (M+m)\dot{x} + ml\dot{\varphi}\cos\varphi\]
  D	Bod na nakloněné rovině s proměnným úhlem sklonu	žádná veličina se nezachovává
  E	Volný hmotný bod ve 3D prostoru	mechanická energie \[h = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) = \frac{1}{2}m\dot{\vec{r}}^2\] vektor hybnosti \[\vec{p} = (p_x, p_y, p_z) = m(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}) = m\dot{\vec{r}}\]