Sbírka řešených úloh

Matematické kyvadlo

Úloha číslo: 1233

Nalezněte Hamiltonovu funkci a Hamiltonovy kanonické rovnice pro matematické kyvadlo. Matematickým kyvadlem rozumíme hmotný bod o hmotnosti m zavěšený na nehmotném závěsu délky l. Úhel φ svírá závěs se svislým směrem.

• Nápověda 1

  Rozmyslete si, kolik má úloha stupňů volnosti a jaké zvolíte zobecněné souřadnice.

• Řešení nápovědy 1

  Úloha má pouze jeden stupeň volnosti, protože předpokládáme, že závěs má konstantní délku l a hmotný bod je tedy vázán na kružnici danou touto podmínkou.

  Zobecněnou souřadnicí zvolíme úhel φ, který svírá závěs kyvadla se svislým směrem.

• Nápověda 2

  Hamiltonova funkce H se určuje z Lagrangeovy funkce L. Určete kinetickou a potenciální energii harmonického oscilátoru a napište příslušný lagrangián.

• Řešení nápovědy 2

  Matematické kyvadlo, kmitající s úhlovou rychlostí ω má pouze kinetickou energii otáčivého pohybu T:

  \[T=\frac{1}{2}J\omega^2.\]

  Moment setrvačnosti J vzhledem k bodu závěsu kyvadla má hodnotu:

  \[J=ml^2.\]

  Zároveň můžeme napsat souvislost úhlové rychlosti ω a úhlu φ:

  \[\omega=\dot{\varphi}.\]

  Po dosazení za moment setrvačnosti J a za úhlovou rychlost ω tak získáváme vyjádření kinetické energie ve tvaru:

  \[T=\frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2.\]

  Jedinou složkou potenciální energie je tíhová potenciální energie V:

  \[V=-mgl\cos{\varphi}.\]

  Z toho již můžeme sestavit lagrangián:

  \[L=T-V=\frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2+mgl\cos{\varphi}.\]

• Nápověda 3

  Hamiltonova funkce H je definována obecně jako:

  \[H=\sum_{i=1}^n{p_i\dot{q_i}}-L,\]

  kde q_i je zobecněná souřadnice a p_i je příslušná zobecněná hybnost.

  Spočtěte Hamiltonovu funkci.

  Zobecněnou hybnost p_i spočítáme podle vzorce:

  \[p_i=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}.\]

• Řešení nápovědy 3

  Hamiltonova funkce H bude v našem případě vypadat jako:

  \[H=p\dot{\varphi}-L.\]

  Zobecněnou hybnost p spočítáme podle vzorce:

  \[p=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\varphi}}}.\]

  Provedeme naznačenou parciální derivaci a získáváme:

  \[p=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\varphi}}}=\frac{\partial{\left(\frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2+mgl\cos{\varphi}\right)}}{\partial{\dot{\varphi}}}=ml^2\dot{\varphi}.\]

  Vidíme, že zobecněná hybnost se v tomto případě rovná momentu hybnosti, který známe z klasické mechaniky.

  Dosadíme za hybnost p a lagrangián L:

  \[H=p\dot{\varphi}-L=ml^2\dot{\varphi}^2-\frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2-mgl\cos{\varphi}=\frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2-mgl\cos{\varphi}.\]

  Přirozené proměnné hamiltoniánu jsou zobecněné souřadnice a hybnosti, proto výsledek ještě upravíme tak, aby v něm nevystupovala zobecněná rychlost \(\dot{\varphi}\), ale zobecněná hybnost p:

  \[H=\frac{p^2}{2ml^2}-mgl\cos{\varphi}.\]

  Hamiltonián vyšel jako celková mechanická energie, tedy jakou součet kinetické a potenciální energie. Tento případ nastane tehdy, když není lagrangián explicitně závislý na čase.

• Nápověda 4

  Napište Hamiltonovy kanonické rovnice obecně a dosaďte do nich.

• Řešení nápovědy 4 – obecný tvar

  Hamiltonovy kanonické rovnice mají tvar:

  \[\dot{q_i}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_i}},\] \[\dot{p_i}=-\frac{\partial{H}}{\partial{q_i}},\] \[\frac{\partial{L}}{\partial{t}}=-\frac{\partial{H}}{\partial{t}}.\]

  Poslední rovnice se uplatní pouze v případě explicitní závislosti lagrangiánu a hamiltoniánu na čase. (V našem případě ji tedy nemusíme uvažovat.)

• Řešení nápovědy 4 – dosazení

  V našem případě máme jedinou zobecněnou souřadnici φ a k ní příslušnou zobecněnou hybnost p. Rovnice tedy nabývají tvaru:

  \[\dot{\varphi}=\frac{\partial{H}}{\partial{p}},\] \[\dot{p}=-\frac{\partial{H}}{\partial{\varphi}}.\]

  Provedeme naznačené derivace a získáváme:

  \[\dot{\varphi}=\frac{p}{ml^2},\] \[\dot{p}=-mgl\sin{\varphi}.\]

  Jako pohybové rovnice jsme tedy dostali soustavu dvou diferenciálních rovnic prvního řádu. Můžeme ji dosazením derivace první rovnice do druhé také přepsat do známého tvaru:

  \[\ddot{\varphi}=-\frac{g}{l}\sin{\varphi},\]

  což je pohybová rovnice pro matematické kyvadlo.

  Řešení této pohybové rovnice naleznete v úloze Matematické kyvadlo.

• Celkové řešení

  Úloha má pouze jeden stupeň volnosti, protože předpokládáme, že závěs má konstantní délku l a hmotný bod je tedy vázán na kružnici danou touto podmínkou.

  Za zobecněnou souřadnici zvolíme úhel φ, který svírá závěs kyvadla se svislým směrem.

  Napíšeme kinetickou energii T a potenciální energii V matematického kyvadla:

  \[T=\frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2,\] \[V=-mgl\cos{\varphi}.\]

  Spočítáme lagrangián L:

  \[L=T-V=\frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2+mgl\cos{\varphi}.\]

  Abychom mohli vyjádřit Hamiltonovu funkci H, která v našem případě vypadá jako:

  \[H=p\dot{x}-L,\]

  musíme znát zobecněnou hybnost p. Tu spočítáme podle vzorce:

  \[p=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\varphi}}}=ml^2\dot{\varphi}.\]

  Vidíme, že zobecněná hybnost se v tomto případě rovná momentu hybnosti, který známe z klasické mechaniky.

  Dosadíme do vyjádření hamiltoniánu H za hybnost p a lagrangián L a dostáváme:

  \[H=\frac{1}{2}ml^2\dot{\varphi}^2-mgl\cos{\varphi}\]

  Přirozené proměnné hamiltoniánu jsou zobecněné souřadnice a hybnosti, proto výsledek ještě upravíme tak, aby v něm nevystupovala zobecněná rychlost \(\dot{x}\), ale zobecněná hybnost p:

  \[H=\frac{p^2}{2ml^2}-mgl\cos{\varphi}.\]

  Hamiltonián vyšel jako celková mechanická energie, tedy jako součet kinetické a potenciální energie. Tento případ nastane tehdy, když není lagrangián explicitně závislý na čase.

  Hamiltoniánu využijeme k napsání Hamiltonových kanonických rovnic, které mají obecně tvar:

  \[\dot{q_i}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_i}},\] \[\dot{p_i}=-\frac{\partial{H}}{\partial{q_i}}.\]

  V našem případě máme jedinou zobecněnou souřanici φ a k ní příslušnou zobecněnou hybnost p. Rovnice tedy nabývají tvaru:

  \[\dot{\varphi}=\frac{\partial{H}}{\partial{p}},\] \[\dot{p}=-\frac{\partial{H}}{\partial{\varphi}}.\]

  Provedeme naznačené derivace a získáváme:

  \[\dot{\varphi}=\frac{p}{ml^2},\] \[\dot{p}=-mgl\sin{\varphi}.\]

  Jako pohybové rovnice jsme tedy dostali soustavu dvou diferenciálních rovnic prvního řádu. Můžeme ji dosazením derivace první rovnice do druhé také přepsat do známého tvaru:

  \[\ddot{\varphi}=-\frac{g}{l}\sin{\varphi},\]

  což je pohybová rovnice pro matematické kyvadlo.

  Řešení této pohybové rovnice naleznete v úloze Matematické kyvadlo.

• Odpověď

  Hamiltonova funkce H harmonického oscilátoru je:

  \[H=\frac{p^2}{2ml^2}-mgl\cos{\varphi}.\]

  Hamiltonovy kanonické rovnice mají tvar:

  \[\dot{\varphi}=\frac{p}{ml^2},\] \[\dot{p}=-mgl\sin{\varphi}.\]