Tenzor setrvačnosti kvádru

Úloha číslo: 2236

Určete tenzor setrvačnosti homogenního kvádru o stranách s délkou \(a, \, b, \, c\) vzhledem k hmotnému středu kvádru.

Dále určete moment setrvačnosti tohoto kvádru vůči tělesové úhlopříčce.

Obrázek 1 – nákres kvádru
  • Nápověda 1

    Rozmyslete si, s jakými vztahy budete pracovat a které všechny veličiny potřebujete znát pro určení tenzoru setrvačnosti.

  • Nápověda 2

    Vypočítejte postupně jednotlivé složky tenzoru a zapište je do matice.

    Rozmyslete si jednotlivé integrační meze a celkovou podobu našeho objemového integrálu.

  • Nápověda 3

    Rozmyslete si, jaký vztah platí pro moment setrvačnosti vůči ose zadané směrovým vektorem a procházející daným bodem. Určete směrový vektor tělesové uhlopříčky kvádru.

  • Celkové řešení

    Pro určení jednotlivých složek tenzoru setrvačnosti \(J_{jk}\) bude platit vztah:

    \[J_{jk}= \int_V {( \delta_{jk} \, r^2 - x_j \, x_k ) \rho} \, \mathrm{d}V,\tag{1}\]

    kde \(r\) je vzdálenost od počátku soustavy, \(\delta_{jk}\) je Kroneckerovo delta, \(\rho\) je hustota tělesa a souřadnice polohového vektoru \(x_i\) pro \(i=\) 1 až 3 jsou obecnějším zapsáním našich souřadnic \(x, \, y, \, z\).

    Určeme nejprve složku \(J_{xx}\) pomocí vztahu (1):

    \[J_{xx}=J_{11}= \int_V {\left ( \delta_{11} \, r^2 - x_1 x_1 \right) \rho} \mathrm{d}V = \int_V {\left ( x^2 + y^2 + z^2 - x^2 \right ) \rho} \mathrm{d}V =\int_V {\left ( y^2 + z^2 \right ) \rho} \mathrm{d}V.\]

    Tento objemový integrál budeme počítat jako integrál proměnných \(x, \, y\) a \(z\). Jelikož je střed naší soustavy v těžišti kvádru, budeme integrovat od \(- \frac {d}{2}\) po \(\frac {d}{2}\), kde \(d\) je délka příslušné hrany. Také využijeme toho, že hustota \(\rho\) je konstantní a vytkneme ji před integrál.

    \[J_{xx}= \rho \int_{- \frac {c}{2}}^{\frac {c}{2}} \int_{- \frac {b}{2}}^{\frac {b}{2}} \int_{- \frac {a}{2}}^{\frac {a}{2}} {\left ( y^2 + z^2 \right )} \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \rho \int_{- \frac {c}{2}}^{\frac {c}{2}} \int_{- \frac {b}{2}}^{\frac {b}{2}} {\left ( y^2 + z^2 \right ) \left [ x \right ]_{- \frac {a}{2}}^{\frac {a}{2}}} \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =\] \[= a \rho \int_{- \frac {c}{2}}^{\frac {c}{2}} \int_{- \frac {b}{2}}^{\frac {b}{2}} {\left ( y^2 + z^2 \right )} \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = a \rho \int_{- \frac {c}{2}}^{\frac {c}{2}} {\left [ \frac {y^3}{3} + y \, z^2 \right]_{- \frac {b}{2}}^{\frac {b}{2}}} \mathrm{d}z = a \rho \int_{- \frac {c}{2}}^{\frac {c}{2}} {\left ( \frac {2 \, b^3}{24} + b \, z^2 \right)} \mathrm{d}z =\] \[= ab \rho \int_{- \frac {c}{2}}^{\frac {c}{2}} {\left ( \frac {b^2}{12} + z^2 \right)} \mathrm{d}z = ab \rho \left [ \frac {z \, b^2}{12} + \frac {z^3}{3} \right ]_{- \frac {c}{2}}^{\frac {c}{2}} = ab \rho \frac {1}{3} \left [ \frac {z \, b^2}{4} + z^3 \right ]_{- \frac {c}{2}}^{\frac {c}{2}} = ab \rho \frac {1}{3} \left ( \frac {c \, b^2}{4} + \frac {c^3}{4} \right ) = \] \[= \frac {1}{12} abc \rho \left ( b^2 + c^2 \right )\]

    Výraz \(abc \rho\) odpovídá celkové hmotnosti našeho kvádru, označme ji \(m\) a poté můžeme první složku tenzoru setrvačnosti zapsat jako:

    \[J_{xx} = \frac {1}{12} m \left ( b^2 + c^2 \right ) .\]

    Cyklickou záměnou parametrů pro \(x\), \(y\) a \(z\) určíme složky \(J_{yy}\) a \(J_{zz}\).

    \[J_{yy} = \frac {1}{12} m \left ( a^2 + c^2 \right )\] \[J_{zz} = \frac {1}{12} m \left ( a^2 + b^2 \right )\]

    Příroda nerozlišuje osy \(x\), \(y\) a \(z\) a proto musí být vztahy stejné, jen s příslušnými parametry. (Ověření viz Komentář k Nápovědě 2.)

    Velmi obdobně vyřešíme i složku tenzoru \(J_{zz}\):

    Tím jsme vyřešili složky tenzoru, které představují jednotlivé momenty setrvačnosti vůči osám soustavy. Na řadě jsou deviační momenty a stačí si uvědomit, že „hmota“ kvádru je symetricky rozložena vzhledem k osám souřadnic, a proto musí být deviační momenty nulové.

    (Ověření viz Řešení nápovědy 2.)

    Nyní jen zapíšeme všechny potřebné části tenzoru setrvačnosti homogenního kvádru do matice:

    \[J= \begin{pmatrix} \frac {1}{12} m \left ( b^2 + c^2 \right ) & 0 & 0\\ 0 & \frac {1}{12} m \left ( a^2 + c^2 \right ) & 0\\ 0 & 0 & \frac {1}{12} m \left ( a^2 + b^2 \right ) \end{pmatrix} = \frac {1}{12} m \begin{pmatrix} b^2 + c^2 & 0 & 0\\ 0 & a^2 + c^2 & 0\\ 0 & 0 & a^2 + b^2 \end{pmatrix} .\]

    Pro moment setrvačnosti \(J_{\vec \nu}\) tyče vůči ose zadané jednotkovým vektorem \(\vec \nu\) platí:

    \[J_{\vec \nu} = J_{ij} \nu_i \nu_j .\tag{2}\]

    O něco přehledněji lze vztah (2) zapsat maticově:

    \[J_{\vec \nu} = \vec \nu \cdot J \cdot {\vec \nu}^T,\]

    kde \(J\) reprezentuje celou matici tenzoru setrvačnosti.

    Vyberme si směrový vektor \(\vec s\) tělesové uhlopříčky. Ten může být například \(\vec s = \left ( a, \, b, \, c \right )\). Určeme normu vektoru \(\vec s\):

    \[\left \| \vec s \right \| = \sqrt {a^2 + b^2 + c^2} .\]

    Vidíme, že \(\left \| \vec s \right \| \neq 1 \), budeme ho muset normovat. Jednotkový směrový vektor tělesové uhlopříčky \(\vec \nu\) je tedy:

    \[\vec \nu = \frac {1}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} \left ( a, \, b, \, c \right ).\]

    Nyní pomocí maticové notace (2) vypočítáme hledaný moment setrvačnosti \(J_{\vec \nu}\).

    \[J_{\vec \nu} = \vec \nu \cdot J \cdot {\vec \nu}^T = \frac {1}{12} m \frac {1}{a^2 + b^2 + c^2}\,\begin{pmatrix} a, & b, & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b^2 + c^2 & 0 & 0\\ 0 & a^2 + c^2 & 0\\ 0 & 0 & a^2 + b^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}=\] \[= \frac {1}{12} m \frac {1}{a^2 + b^2 + c^2} \begin{pmatrix} a(b^2 + c^2), & b (a^2 + c^2), & c (a^2 + b^2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}=\] \[=\frac {m}{12(a^2 + b^2 + c^2)} \left [ a^2(b^2 + c^2) + b^2 (a^2 + c^2) + c^2 (a^2 + b^2) \right ] =\] \[=\frac {m(a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2)}{6(a^2 + b^2 + c^2)}\]

    Námi hledaný moment setrvačnosti kvádru vůči tělesové uhlopříčce je:

    \[J_{\vec \nu} = \frac {m(a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2)}{6(a^2 + b^2 + c^2)}.\]
  • Odpověď

    Tenzor setrvačnosti homogenního kvádru vůči jeho těžišti je:

    \[J = \frac {1}{12} m \begin{pmatrix} b^2 + c^2 & 0 & 0\\ 0 & a^2 + c^2 & 0\\ 0 & 0 & a^2 + b^2 \end{pmatrix} .\]

    Námi hledaný moment setrvačnosti vůči tělesové uhlopříčce je:

    \[J_{\vec \nu} = \frac {m(a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2)}{6(a^2 + b^2 + c^2)} .\]
  • Komentář – tenzor setrvačnosti krychle

    Pro krychli platí, že \(a=b=c\), tedy pro tenzor setrvačnosti krychle \(J_k\) vzhledem k jejímu hmotnému středu bude platit:

    \[J_k= \frac {1}{12} m \begin{pmatrix} 2 a^2 & 0 & 0\\ 0 & 2 a^2 & 0\\ 0 & 0 & 2 a^2 \end{pmatrix}= \frac {{ma}^2}{6} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \frac {{ma}^2}{6} \mathbb{E} , \]

    kde \(\mathbb{E}\) je jednotková matice.

    Určeme moment setrvačnosti krychle vůči libovolné ose procházející těžištěm krychle, která je určena obecným jednotkovým vektorem \(\vec n\).

    \[J_\vec n = \vec n \, J_k \, {\vec n}^T = \vec n \, \left ( \frac {{ma}^2}{6} \mathbb{E} \, \right ) {\vec n}^T = \frac {{ma}^2}{6} \vec n \, \mathbb{E} \, {\vec n}^T = \frac {{ma}^2}{6} \vec n \, {\vec n}^T = \frac {{ma}^2}{6} \| \vec n \| = \frac {{ma}^2}{6} \]

    Tedy moment setrvačnosti krychle vůči libovolné ose procházející jejím těžištěm je \(\frac {{ma}^2}{6}\).

    Jinak řečeno, krychle je tak krásně symetrické těleso, že ať jejím středem proložíme osu otáčení jakkoliv, rozložení hmoty okolo této osy bude mít při rotaci stejný efekt. Tato vlastnost se objevuje i u koule.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze