Výpočet síly z potenciální energie
Úloha číslo: 946
Nechť je dána potenciální energie:
\[ V(\vec{r})=V(x,y,z)=Ax^3 e^{-a\frac{xy}{2}}-B\cos(byz),\]kde A, a, B a b jsou konstanty.
Určete příslušnou sílu: \[\vec{F} = (F_x,\ F_y,\ F_z).\]
Konstanty A, a, B a b mimo jiné zajišťují, aby argumenty funkcí byly bezrozměrné.
Nápověda 1
Vzpomeňte si, nebo vyhledejte, jak lze vypočítat sílu z potenciální energie.
Nápověda 2
Rozepište vektorovou rovnici pro sílu (viz předchozí nápověda).
Nápověda 3
Zapište výslednou sílu jako vektor.
Celkové řešení
Ze zadání známe vyjádření potenciální energie v kartézských souřadnicích. Výslednou sílu tedy získáme velmi snadno podle vztahu:
\[\vec{F}=-\mathrm{gradV}=-\left(\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}\right).\]Rozepíšeme si vektor síly \(\vec{F}\) po složkách a spočítáme potřebné derivace:
\[F_x=-\frac{\partial V}{\partial x}=-3Ax^2e^{-a\frac{xy}{2}}+\frac{aA}{2}x^3y e^{-a\frac{xy}{2}}=Ax^2 e^{-a\frac{xy}{2}}\left(\frac{a}{2}xy-3\right),\] \[F_y=-\frac{\partial V}{y}=\frac{aA}{2}x^4e^{-a\frac{xy}{2}}-bBz \sin(byz),\] \[F_z=-\frac{\partial V}{z}=-bBy \sin(byz).\]Zápis síly ve vektorové podobě vypadá takto:
\[\vec{F}=(F_x,F_y,F_z)=\left(Ax^2 e^{-a\frac{xy}{2}}(\frac{a}{2}xy-3),\frac{aA}{2}x^4e^{-a\frac{xy}{2}}-bBz \sin(byz),-bBy \sin(byz)\right).\]Odpověď
Výsledná síla je:
\[\vec{F}=\left(Ax^2 e^{-a\frac{xy}{2}}\left(\frac{a}{2}xy-3\right),\frac{aA}{2}x^4e^{-a\frac{xy}{2}}-bBz \sin(byz),-bBy \sin(byz)\right).\]
