n kuliček spojených n+1 pružinami

Úloha číslo: 2264

Mějme \(n\) kuliček o hmotnosti \(m\) mezi sebou spojených pružinami, které mají všechny stejnou tuhost \(k\) a klidovou délku \(d\), tak, že leží v jedné přímce. Dále jsou na obou koncích připevněny pružinami k nehybným stěnám, které od sebe mají vzdálenost \(\left( n+1 \right) d\).

Obrázek 1 – nákres situace

Najděte pro naše kuličky k nim příslušné pohybové rovnice. Najděte maticovou pohybovou rovnici popisující pohyb celé soustavy.

  • Nápověda 1

    Najděte vhodné souřadnice pro popis pohybu našich kuliček.

  • Nápověda 2

    Najděte vztahy pro kinetickou energii \(T\) soustavy a pro potenciální energii \(V\) soustavy. Určete lagrangián \(L\).

  • Nápověda 3

    Použijte Lagrangeovy rovnice druhého druhu. Najděte pohybové rovnice pro jednotlivé kuličky.

  • Nápověda 4

    Zapište lagrangián pomocí matic.

    Pokuste se zapsat Lagrangeovy rovnice pro všechny kuličky jednou maticovou rovnicí.

  • Odpověď

    Hledaná pohybová rovnice pro \(i\)-tou kuličku má tvar:

    \[m \ddot{x_i} + k\left( 2 x_i - x_{i-1} - x_{i+1} \right) = 0 \, .\]

    V maticovém zápisu bude mít tato rovnice tvar:

    \[m \mathbb E \ddot x + k \mathbb V x = 0 \, ,\]

    kde \(\mathbb E\) je jednotková matice, \(\mathbb V\) je matice

    \[\mathbb V = \begin {pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & -1 & 1 \end{pmatrix}\]

    a \(x\) je vektor \(\begin {pmatrix} x_1, & x_2, & x_3, & \cdots & x_n , & x_{n+1} \end{pmatrix}\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze