Sbírka řešených úloh

Pohyb v tíhovém poli

Úloha číslo: 1242

• Výchozí rovnice

  Z úlohy Hmotný bod v různých souřadnicích víme, že hamiltonián H má tvar:

  \[H=T+V=\frac{1}{2m}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)+V\left(x,y,z\right).\]

  První série Hamiltonových kanonických rovnic vlastně popisuje zavedení zobecněných hybností p_x, p_y a p_z:

  \[\dot{x}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_x}}=\frac{p_x}{m},\] \[\dot{y}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_y}}=\frac{p_y}{m},\] \[\dot{z}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_z}}=\frac{p_z}{m}.\]

  Druhá série Hamiltonový kanonických rovnic má tvar:

  \[\dot{p_x}=-\frac{\partial{V}}{\partial{x}},\] \[\dot{p_y}=-\frac{\partial{V}}{\partial{y}},\] \[\dot{p_z}=-\frac{\partial{V}}{\partial{z}}.\]

• Nápověda 1

  V rovnicích je potenciální energie obecně napsána jako funkce všech tří kartézských souřadnic. Vyjádřete potenciální energii V homogenního tíhového pole a dosaďte ji do pohybových rovnic.

  Do druhé série Hamiltonových kanonických rovnic dosaďte za zobecněné hybnosti a hamiltonián. Rovnice upravte.

• Řešení nápovědy 1

  Pro vyjádření potenciální energie homogenního tíhového pole je dobré vhodně zvolit natočení kartézských souřadnic. V homogenním tíhovém poli existují ekvipotenciální plochy, které jsou rovnoběžnými rovinami. Souřadnicové osy x a y proto zvolíme v některé z těchto rovin a potenciální energie tak bude funkcí pouze proměnné z:

  \[V=V(z).\]

  Potenciální energii V hmotného bodu můžeme vyjádřit ve tvaru:

  \[V=mgz.\]

  Do Hamiltonových kanonických rovnic dosadíme vyjádření zobecněných hybností a potenciální energie. Dostáváme tak:

  \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\dot{x})=-\frac{\partial{(mgz)}}{\partial{x}},\] \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\dot{y})=-\frac{\partial{(mgz)}}{\partial{y}},\] \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\dot{z})=-\frac{\partial{(mgz)}}{\partial{z}}.\]

  Spočteme derivace:

  \[m\ddot{x}=0,\] \[m\ddot{y}=0,\] \[m\ddot{z}=-mg.\]

  Získali jsme tak Newtonovy pohybové rovnice.

• Nápověda 2

  Řešte Newtonovy pohybové rovnice získané v předchozí nápovědě.

• Řešení nápovědy 2

  Řešíme pohybové rovnice:

  \[m\ddot{x}=0,\] \[m\ddot{y}=0,\] \[m\ddot{z}=-mg.\]

  Všechny rovnice vydělíme nenulovou hmotností m a integrací podle času získáváme:

  \[\dot{x}=v_{x0},\] \[\dot{y}=v_{y0},\] \[\dot{z}=-gt+v_{z0},\]

  kde jsme označili integrační konstanty jako v_x0, v_y0 a v_z0. Tyto konstanty odpovídají složkám počáteční rychlosti.

  Rovnice ještě jednou zintegrujeme podle času:

  \[x=v_{x0}t+x_0,\] \[y=v_{y0}t+y_0,\] \[z=-\frac{1}{2}gt^2+v_{z0}t+z_0,\]

  kde jsme označili integrační konstanty jako x₀, y₀ a z₀. Tyto konstanty odpovídají počátečním polohám hmotného bodu.

  Vhodnou volbou souřadné soustavy lze rovnice výrazně zjednodušit. Vždy totiž můžeme natočit soustavu souřadnou tak, aby jedna ze souřadnic zůstávala při pohybu konstantní. Pohyb se tedy odehrává pouze v rovině. I v nejobecnějším případě tak jde o pohyb v rovině a po parabole.

• a) Pohyb ve svislém směru

  Ze zadání víme, že se jedná o jednorozměrnou úlohu.

  Jako zobecněnou souřadnici zvolíme souřadnici z. Jelikož jsme zvolili přímo kartézskou souřadnici, bude mít hybnost p tvar:

  \[p=m\dot{z}.\]

  Nalezněme tedy Lagrangeovu funkci L pro pohyb hmotného bodu v homogenním tíhovém poli.

  Pro kinetickou energii T a potenciální energii V hmotného bodu platí:

  \[T=\frac{1}{2}m\dot{z}^2.\] \[V=mgz.\]

  Lagrangián tak nabývá tvaru:

  \[L=T-V=\frac{1}{2}m\dot{z}^2-mgz.\]

  Lagrangián L není explicitně závislý na čase, proto hamiltonián H můžeme psát jako celkovou energii systému:

  \[H=T+V=\frac{1}{2}m\dot{z}^2+mgz.\]

  Hamiltonián přepíšeme v jeho přirozených proměnných:

  \[H=\frac{p^2}{2m}+mgz.\]

  Hamiltonovy rovnice mají v našem případě tvar:

  \[\dot{z}=\frac{\partial{H}}{\partial{p}}=\frac{p}{m},\] \[\dot{p}=-\frac{\partial{H}}{\partial{z}}=-mg.\]

  Z první rovnice vyjádříme hybnost, kterou dosadíme do druhé rovnice a dostáváme:

  \[m\ddot{z}=-mg.\]

  Rovnici dvakrát integrujeme podle času a získáme:

  \[z=-\frac{1}{2}gt^2+v_{0}t+z_0,\]

  kde z₀ je počáteční poloha hmotného bodu a v₀ je jeho počáteční rychlost.

  Tuto rovnici můžeme přepsat do tvaru obvyklého na střední škole pro výpočet výšky h při vrhu vzhůru:

  \[h=h_0+v_{0}t-\frac{1}{2}gt^2.\]

• b) Pohyb ve svislé rovině

  V obecném řešení jsme ukázali, že se pohyb hmotného bodu vždy odehrává v rovině, proto bez újmy na obecnosti můžeme řešit úlohu pouze ve svislé rovině, tedy jako dvojrozměrnou úlohu.

  Jako zobecněné souřadnice volíme kartézskou souřadnici x ve vodorovném směru a souřadnici z ve svislém směru. Jelikož jsme zvolili přímo kartézské souřadnice, budou mít složky hybnosti p_x a p_z tvar:

  \[p_x=m\dot{x}.\] \[p_z=m\dot{z}.\]

  Nalezněme tedy Lagrangeovu funkci L pro pohyb hmotného bodu v homogenním tíhovém poli.

  Pro kinetickou energii T a potenciální energii V hmotného bodu platí:

  \[T=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}m\dot{z}^2.\] \[V=mgz.\]

  Lagrangián tak nabývá tvaru:

  \[L=T-V=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}m\dot{z}^2-mgz.\]

  Lagrangián L není explicitně závislý na čase, proto hamiltonián H můžeme psát jako celkovou energii systému:

  \[H=T+V=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}m\dot{z}^2+mgz.\]

  Hamiltonián přepíšeme v jeho přirozených proměnných:

  \[H=\frac{p_x^2}{2m}+\frac{p_z^2}{2m}+mgz.\]

  Hamiltonovy rovnice mají v našem případě tvar:

  \[\dot{x}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_x}}=\frac{p_x}{m},\] \[\dot{z}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_z}}=\frac{p_z}{m},\] \[\dot{p_x}=-\frac{\partial{H}}{\partial{x}}=0,\] \[\dot{p_z}=-\frac{\partial{H}}{\partial{z}}=-mg.\]

  Z prvních dvou rovnic vyjádříme hybnosti, které dosadíme do druhých dvou rovnic a dostáváme:

  \[m\ddot{x}=0.\] \[m\ddot{z}=-mg.\]

  Rovnice dvakrát integrujeme podle času a získáme:

  \[x=v_{x0}t+x_0,\] \[z=-\frac{1}{2}gt^2+v_{z0}t+z_0,\]

  kde x₀ a z₀ jsou počáteční hodnoty souřadnic hmotného bodu, v_x0 a v_z0 jsou složky jeho počáteční rychlosti.

  Jedná se o rovnice popisující šikmý vrh, které známe ze střední školy.

• Diskuze volby soustavy souřadnic

  Úlohu jsme řešili v kartézských souřadnicích, protože v nich je vyjádření potenciální energie V i rovnic nejjednodušší. Rovnice jsou totiž separované podle proměnných, celá soustava 6 diferenciálních rovnic se rozpadne na tři dvojice pro každou souřadnici. Každá ze tří rovnic totiž obsahovala pouze jednu proměnnou.

  V křivočarých souřadnicích by řešení diferenciálních rovnic bylo o poznání složitější. Pro ilustraci uvedeme vyjádření hamiltoniánu H potenciální energie V a tvaru Hamiltonových kanonických rovnic ve válcových souřadnicích r, ϑ a z a sférických souřadnicích r, ϑ a ψ.

  Pro válcové souřadnice:

  \[H=\frac{1}{2m}\left(p_r^2+\frac{1}{r^2}p_{\vartheta}^2+p_z^2\right)+V(r,\vartheta,z).\]

  Při vhodném natočení soustavy souřadnic nabývá potenciální energie tvaru:

  \[V=mgz.\]

  Hamiltonovy kanonické rovnice mají tvar:

  \[\dot{r}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_r}}=\frac{p_r}{m},\] \[\dot{\vartheta}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_{\vartheta}}}=\frac{p_\vartheta}{mr^2},\] \[\dot{z}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_z}}=\frac{p_z}{m},\] \[\dot{p_r}=-\frac{\partial{H}}{\partial{r}},\] \[\dot{p_{\vartheta}}=-\frac{\partial{H}}{\partial{\vartheta}},\] \[\dot{p_z}=-\frac{\partial{H}}{\partial{z}}.\]

  Po dosazení a výpočtu parciálních derivací tak dostáváme soustavu diferenciálních rovnic:

  \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\dot{r})=mr\dot{\vartheta}^2,\] \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^2\dot{\vartheta})=0,\] \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\dot{z})=-mg.\]

  Pro sférické souřadnice:

  \[H=\frac{1}{2m}\left(p_r^2+\frac{1}{r^2}p_{\vartheta}^2+\frac{1}{r^2\sin^2{\vartheta}}p_{\psi}^2\right)+V\left(r,\vartheta,z\right),\]

  Při vhodném natočení soustavy souřadnic je potenciální energie funkcí pouze proměnných r a ϑ:

  \[V=V(r,\vartheta).\]

  Hamiltonovy kanonické rovnice mají tvar:

  \[\dot{r}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_r}}=\frac{p_r}{m},\] \[\dot{\vartheta}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_{\vartheta}}}=\frac{p_\vartheta}{mr^2},\] \[\dot{\psi}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_{\psi}}}=\frac{1}{mr^2\sin^2{\vartheta}}p_{\psi},\] \[\dot{p_r}=-\frac{\partial{H}}{\partial{r}},\] \[\dot{p_{\vartheta}}=-\frac{\partial{H}}{\partial{\vartheta}},\] \[\dot{p_{\psi}}=-\frac{\partial{H}}{\partial{\psi}}.\]

  Po dosazení a výpočtu parciálních derivací tak dostáváme soustavu diferenciálních rovnic:

  \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\dot{r})=mr\dot{\vartheta}^2-mg\cos{\vartheta},\] \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^2\dot{\vartheta})=mgr\sin{\vartheta},\] \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^2\sin^2{\vartheta}\dot{\psi})=0.\]