Tenzor setrvačnosti činky - hledání hlavních os

Úloha číslo: 2252

Určete tenzor setrvačnosti činky vzhledem k počátku soustavy souřadnic, jestliže je veškerá hmotnost umístěna pouze v závažích na koncích činky a jejich polohové vektory a hmotnosti jsou následujicí:

\[\begin{matrix} \vec{r_1} = \left( a; \, -a; \, 0 \right) , & & m_1 = 2 M ;\\ \vec{r_2} = \left( a; \, a; \, a \right) , & & m_2 = M . \end{matrix} \]

Dále určete hlavní směry a hlavní momenty setrvačnosti této soustavy.

  • Nápověda 1

    Zakreslete si situaci.

    Rozvažte, jakých vztahů budete užívat a jaké všechny veličiny budete potřebovat k určení tenzoru setrvačnosti.

  • Nápověda 2

    Určete jednotlivé složky tenzoru setrvačnosti a zapište je do matice.

  • Nápověda 3

    Nyní budeme hledat vlastní vektory a vlastní čísla tenzoru setrvačnosti.

    Zavzpomínejte, jak se hledají vlastní vektory matice. Osvěžte si pojmy: vlastní čísla, vlastní vektor a charakteristický polynom.

  • Nápověda 4

    Najděte vlastní čísla a vektory matice

    \[\begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 6 \end{pmatrix} .\]
  • Nápověda 5

    Přiřaďte výsledkům Nápovědy 4 fyzikální význam.

  • Výpočet tenzoru setrvačnosti v nové bázi

    Námi určené hlavní momenty setrvačnosti \(J_i\) a k nim příslušné vlastní vektory \(\vec{v_i}\) jsou:

    \[\begin{matrix} J_1 = 7 M a^2 \, , & & \vec {v_1} = (1 , \, 1, \, -2 ) \, ; \\ J_2 = 4 M a^2 \, , & & \vec {v_2} = (1 , \, 1 , \, 1 ) \, ; \\ J_3 = 3 M a^2 \, , & & \vec {v_3} = (1 , \, -1 , \, 0 ) \, . \end{matrix}\]

    Podíváme-li se na zadání

    \[\begin{matrix} \vec{r_1} = \left( a; \, -a; \, 0 \right) , & & m_1 = 2 M ;\\ \vec{r_2} = \left( a; \, a; \, a \right) , & & m_2 = M , \end{matrix} \]

    domyslíme si, že vlastní vektor \(\vec {v_2}\) je lineárně závislý s vektorem \(\vec{r_2}\) a podobně je \(\vec {v_3}\) lineárně závislý s \(\vec{r_1}\).

    Pro opravdu názornou představu přikládám 3D náhled naší situace v online GeoGebře.

    Pokud bychom měli zapsat polohové vektory konců činky v nové bázi vlastních vektorů, označme je třeba čárkou jako \(\vec{r'_1}\) a \(\vec{r'_2}\), potom budou určitě ležet na nových souřadnicových osách. Abychom nemuseli normovat všechny vektory báze, určeme vzdálenost konců činky od počátku soustavy, tedy vlastně velikost \(\vec{r_1}\) a \(\vec{r_2}\):

    \[\left| \vec{r_1} \right| = \left| \left( a; \, -a; \, 0 \right) \right| = a \sqrt 2 \, ; \] \[\left| \vec{r_2} \right| = \left| \left( a; \, a; \, a \right) \right| = a \sqrt 3 \, .\]

    Vzhledem k naší nové ortonormální bázi pak budou souřadnice polohových vektorů:

    \[\vec{r'_1} = \left( 0; \, 0; \, a \sqrt 2 \right) \, ;\] \[\vec{r'_2} = \left( 0; \, a \sqrt 3; \, 0 \right) \, .\]

    Zkuste spočítat tenzor setrvačnosti činky vhledem k této bázi.

  • Odpověď

    Tenzor setrvačnosti \(J\) naší činky vzhledem k počátku soustavy souřadnic je:

    \[J = M a^2 \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & -1\\ -1 & -1 & 6 \end{pmatrix} .\]

    Hlavní momenty setrvačnosti \(J_i\) a jim příslušné hlavní osy rotace \(\vec {v_i}\) jsou:

    \[\begin{matrix} J_1 = 7 M a^2 \, , & & \vec {v_1} = (1 , \, 1, \, -2 ) \, ; \\ J_2 = 4 M a^2 \, , & & \vec {v_2} = (1 , \, 1 , \, 1 ) \, ; \\ J_3 = 3 M a^2 \, , & & \vec {v_3} = (1 , \, -1 , \, 0 ) \, . \end{matrix}\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze