Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Rovnovážná poloha – různá řešení
Úloha číslo: 1187
Hmotný bod o hmotnosti m je upevněn na pružině o tuhosti k a klidové délky l0 a může se pohybovat po nakloněné rovině, která svírá s vodorovnou rovinou úhel α. Nalezněte jeho rovnovážnou polohu. Charakterizujte ji délkou pružiny l. Tření ani hmotnost pružiny neuvažujte.
Úlohu řešte:
- pomocí silového diagramu (tj. prostředky mechaniky),
- pomocí principu virtuální práce,
- pomocí zobecněného principu virtuální práce v kartézských souřadnicích x, y dle obrázku,
- pomocí zobecněného principu virtuální práce ve vhodné parametrizaci.

a) Nápověda 1
Rozmyslete si, které síly na hmotný bod působí. Nakreslete si obrázek a do něj tyto síly zaneste. Sestavte rovnici rovnováhy sil.
a) Nápověda 2
Vhodně zvolte souřadnou soustavu, síly vyjádřete ve složkách a rozepište rovnici rovnováhy ve složkách.
a) Nápověda 3
V předchozí nápovědě jsme získali soustavu dvou lineárních rovnic dvou neznámých, které popisují rovnovážný stav. Této soustavy využijte k vyjádření délky pružiny v rovnovážném stavu l.
b) Nápověda 1
Napište princip virtuální práce a dosaďte do něj.
b) Nápověda 2
Rovnice z minulé nápovědy musí platit pro všechna virtuální posunutí. Zkuste zvolit speciální případy δx a δy a získat tak dvě jednodušší rovnice.
c) Nápověda 1
Napište zobecněný princip virtuální práce a dosaďte do něj.
c) Nápověda 2
Má-li být virtuální posunutí vratné a slučitelné s vazbami, potom jeho složky δx a δy na sobě nejsou nezávislé. Musí splňovat vazbovou podmínku (tak, aby hmotný bod zůstal na nakloněné rovině i po posunutí). Využijte vazbové podmínky k nalezení vztahu mezi oběma složkami virtuálního posunutí.
d) Nápověda 1
Úlohu máme řešit pomocí zobecněného principu virtuální práce při vhodné parametrizaci. Proto je třeba zvolit parametr, na který nebudou kladeny žádné podmínky související s vazbami, které omezují pohyb hmotného bodu. Vhodným parametrem je vzdálenost ξ od počátku soustavy souřadnic.
Celkové řešení
V celkovém řešení se nejprve zaměříme na zadání a).
Na hmotný bod působí tři síly. Tíhová síla →FG působící směrem k zemi, reakční síla →R působící kolmo k nakloněné rovině a síla pružnosti pružiny →Fp, která působí ve směru nakloněné roviny.
Rovnice rovnováhy sil má tedy vzhledem ke zvolené soustavě souřadné vektorový tvar:
→FG+→R+→Fp=→0.Vzhledem k zavedení souřadnic mají síly vyjádření po složkách:
→FG=(0;mg), →R=(Rsinα;−Rcosα), →Fp=(−k(l−l0)cosα;−k(l−l0)sinα).Vektorovou rovnici tak můžeme rozepsat po složkách a získáme tak soustavu dvou rovnic:
Rsinα−k(l−l0)cosα=0, mg−Rcosα−k(l−l0)sinα=0.Řešením této soustavy (podrobně viz nápověda 3) dostaneme podmínku rovnováhy hmotného bodu, která je určena délkou pružiny l:
l=mgsinαk+l0.V oddílu b) řešíme úlohu pomocí principu virtuální práce:
Princip virtuální práce zní takto:
N∑i=1→Fi⋅δ→ri=0,kde →Fi jsou výslednice všech sil na i-tý hmotný bod a →ri jsou všechna virtuální posunutí i-tého hmotného bodu.
Po dosazení vyjádření sil nabývá princip virtuální práce v našem případě podobu:
(Rsinα−k(l−l0)cosα)δx+(mg−Rcosα−k(l−l0)sinα)δy=0.Tato rovnice musí platit pro libovolná virtuální posunutí, tedy i pro δx ≠ 0 a δy = 0. V takovém případě dospějeme k rovnici:
Rsinα−k(l−l0)cosα=0.Naopak pro případ δx = 0 a δy ≠ 0 dostáváme:
mg−Rcosα−k(l−l0)sinα=0.Tyto dvě rovnice jsou již shodné s rovicemi (1) a (2) z nápovědy 2 části a). Dále již může řešení pokračovat stejnými kroky jako v části a) a dospět ke stejnému výsledku.
V části c) řešíme úlohu pomocí zobecněného principu virtuální práce, který má znění:
N∑i=1→F(a)i⋅δ→ri=0,kde →F(a)i jsou výslednice vtištěných sil (vtištěným silám se také říká aktivní síly, proto index a) na i-tý hmotný bod a →ri jsou vratná virtuální posunutí slučitelná s vazbami i-tého hmotného bodu.
Uvažujeme pouze vtištěné síly, tedy reakci →R podložky, jež je silou vazbovou, uvažovat nebudeme. Dosadíme tedy do zobecněného principu virtuální práce:
−k(l−l0)cosαδx+(mg−k(l−l0)sinα)δy=0.Pohyb hmotného bodu musí zároveň splňovat vazbovou podmínku pro setrvání na nakloněné rovině:
y=xtgαa tedy pro složky virtuálního posunutí dostáváme derivováním:
δy=tgαδx.Dosazením za δy tak dostáváme rovnici:
−k(l−l0)cosαδx+(mg−k(l−l0)sinα)tgαδx=0.Jelikož rovnice musí platit pro libovolnou hodnotu δx, můžeme ji vydělit δx a upravit do tvaru:
k(l−l0)cos2α+sin2αcosα=mgsinαcosα.Délku l pak vyjádříme jako:
l=mgsinαk+l0.V oddílu d) řešíme úlohu pomocí zobecněného principu virtuální práce při vhodné parametrizaci.
Jako nezávislý parametr zvolíme vzdálenost ξ od počátku soustavy souřadnic. Vyjádříme pomocí něho souřadnice x a y:
x=ξcosα, y=ξsinα.Z toho pro virtuální posunutí derivováním získáme:
δx=cosαδξ, δy=sinαδξ.Napíšeme rovnici zobecněného principu práce tak, jak jsme ji získali v části c):
−k(l−l0)cosαδx+(mg−k(l−l0)sinα)δy=0a dosadíme za virtuální posunutí δx a δy:
−k(l−l0)cosαcosαδξ+(mg−k(l−l0)sinα)sinαδξ=0.Jelikož rovnice musí platit pro libovolnou hodnotu posunutí δξ, můžeme ji vydělit δξ a upravit do tvaru:
k(l−l0)(cos2α+sin2α)=mgsinα.Délku l tedy můžeme vyjádřit ve tvaru:
l=mgsinαk+l0.