Rovnovážná poloha – různá řešení

Úloha číslo: 1187

Hmotný bod o hmotnosti m je upevněn na pružině o tuhosti k a klidové délky l₀ a může se pohybovat po nakloněné rovině, která svírá s vodorovnou rovinou úhel α. Nalezněte jeho rovnovážnou polohu. Charakterizujte ji délkou pružiny l. Tření ani hmotnost pružiny neuvažujte.

Úlohu řešte:

pomocí silového diagramu (tj. prostředky mechaniky),
pomocí principu virtuální práce,
pomocí zobecněného principu virtuální práce v kartézských souřadnicích x, y dle obrázku,
pomocí zobecněného principu virtuální práce ve vhodné parametrizaci.

a) Nápověda 1
Rozmyslete si, které síly na hmotný bod působí. Nakreslete si obrázek a do něj tyto síly zaneste. Sestavte rovnici rovnováhy sil.
a) Řešení nápovědy 1
Na hmotný bod působí tři síly. Tíhová síla $\vec{F}_G$ působící směrem k zemi, reakční síla $\vec{R}$ působící kolmo k nakloněné rovině a síla pružnosti pružiny $\vec{F}_p$ , která působí ve směru nakloněné roviny.

Rovnice rovnováhy sil má tedy vektorový tvar:
$\vec{F}_G+\vec{R}+\vec{F}_p=\vec{0}$
a) Nápověda 2
Vhodně zvolte souřadnou soustavu, síly vyjádřete ve složkách a rozepište rovnici rovnováhy ve složkách.
a) Řešení nápovědy 2

Souřadnou soustavu jsme zvolili podle obrázku.

Síla $\vec{F}_G$ má vzhledem k zavedení soustavy souřadnic tvar:
$\vec{F}_G=(0;mg),$
síla $\vec{R}$ má vyjádření:
$\vec{R}=(R\sin{\alpha};-R\cos{\alpha}),$
kde α je úhel, který svírá nakloněná rovina s vodorovnou a R je velikost reakční síly.

Sílu $\vec{F}_p$ vyjádříme pomocí aktuální délky pružiny l:
$\vec{F}_p=(-k(l-l_0)\cos{\alpha};-k(l-l_0)\sin{\alpha}).$
V souřadnicích tak získáváme dvě rovnice:
$R\sin{\alpha}-k(l-l_0)\cos{\alpha}=0,\tag{1}$ $mg-R\cos{\alpha}-k(l-l_0)\sin{\alpha}=0.\tag{2}$
a) Nápověda 3
V předchozí nápovědě jsme získali soustavu dvou lineárních rovnic dvou neznámých, které popisují rovnovážný stav. Této soustavy využijte k vyjádření délky pružiny v rovnovážném stavu l.
a) Řešení nápovědy 3
Získali jsme soustavu dvou lineárních rovnic s nezmámými R (velikost reakční síly) a l (rovnovážná délka pružiny):
$R\sin{\alpha}-k(l-l_0)\cos{\alpha}=0,\tag{1}$ $mg-R\cos{\alpha}-k(l-l_0)\sin{\alpha}=0.\tag{2}$
Z první rovnice vyjádříme R jako:
$R=k(l-l_0)\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\tag{3}$
a dosadíme do druhé rovnice. Dostáváme:
$mg-k(l-l_0)\frac{\cos^2{\alpha}}{\sin{\alpha}}-k(l-l_0)\sin{\alpha}=0.$
Z druhého a třetího členu vytkneme $k(l-l_0)$ :
$mg-k(l-l_0)\frac{\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}}{\sin{\alpha}}=0.$
S využitím součtového vzorce $\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}=1$ upravíme rovnici do tvaru:
$k(l-l_0)\frac{1}{\sin{\alpha}}=mg$
a vyjádříme hledanou délku l:
$l=\frac{mg\sin{\alpha}}{k}+l_0.$
Ze silového diagramu můžeme vidět, že reakční síla $\vec{R}$ je kompenzována složkou tíhové síly $\vec{F}_G$ do jejího směru. Velikost reakční síly R získáme dosazením za l do vztahu (3):
$R=k\frac{mg\sin{\alpha}}{k}\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=mg\cos{\alpha}.$
Výsledek odpovídá právě průmětu tíhové síly $\vec{F}_G$ do směru kolmého na nakloněnou rovinu.

Proberme si ještě speciální případy.

Pokud by byl úhel α = 0°, tedy pružina s hmotným bodem by se nacházela na vodorovné rovině, zjednodušila by se podmínka rovnováhy na:
$l=l_0.$
V případě, že by naopak úhel α = 90°, což odpovídá hmotnému bodu volně visícímu na pružině, redukovala by se podmínka rovnováhy do tvaru:
$l=\frac{mg}{k}+l_0.$
Oba případy dobře odpovídají naší představě.
b) Nápověda 1
Napište princip virtuální práce a dosaďte do něj.
b) Řešení nápovědy 1
Princip virtuální práce zní takto:
$\sum_{i=1}^N \vec{F_i}\cdot\delta\vec{r_i}=0,$
kde $\vec{F_i}$ jsou výslednice všech sil na i-tý hmotný bod a $\vec{r_i}$ jsou všechna virtuální posunutí i-tého hmotného bodu.

Po dosazení vyjádření sil nabývá princip virtuální práce v našem případě podoby (složky jednotlivých sil naleznete vypsané v oddíle a):
$(R\sin{\alpha}-k(l-l_0)\cos{\alpha})\delta x+ (mg-R\cos{\alpha}-k(l-l_0)\sin{\alpha})\delta y=0.$
b) Nápověda 2
Rovnice z minulé nápovědy musí platit pro všechna virtuální posunutí. Zkuste zvolit speciální případy δx a δy a získat tak dvě jednodušší rovnice.
b) Řešení nápovědy 2
Dosazením do principu virtuální práce jsme získali rovnici:
$(R\sin{\alpha}-k(l-l_0)\cos{\alpha})\delta x+ (mg-R\cos{\alpha}-k(l-l_0)\sin{\alpha})\delta y=0.$
Tato rovnice musí platit pro libovolná virtuální posunutí, tedy i pro δx ≠ 0 a δy = 0. V takovém případě dospějeme k rovnici:
$R\sin{\alpha}-k(l-l_0)\cos{\alpha}=0.$
Naopak pro případ δx = 0 a δy ≠ 0 dostáváme:
$mg-R\cos{\alpha}-k(l-l_0)\sin{\alpha}=0.$
Tyto dvě rovnice jsou již shodné s rovicemi (1) a (2) z nápovědy 2 části a). Dále již může řešení pokračovat stejnými kroky jako v části a) a dospět ke stejnému výsledku.
c) Nápověda 1
Napište zobecněný princip virtuální práce a dosaďte do něj.
c) Řešení nápovědy 1
Zobecněný princip virtuální práce zní takto:
$\sum_{i=1}^N \vec{F^{(a)}_i}\cdot\delta\vec{r_i}=0,$
kde $\vec{F^{(a)}_i}$ jsou výslednice vtištěných sil (vtištěným silám se také říká aktivní síly, proto index a) na i-tý hmotný bod a $\vec{r_i}$ jsou vratná virtuální posunutí slučitelná s vazbami i-tého hmotného bodu.

Uvažujeme pouze vtištěné síly, tedy reakci $\vec{R}$ podložky, jež je silou vazbovou, uvažovat nebudeme. Dosadíme tedy do zobecněného principu virtuální práce (složky jednotlivých sil naleznete vypsané v oddíle a):
$-k(l-l_0)\cos{\alpha}\delta x+ (mg-k(l-l_0)\sin{\alpha})\delta y=0.$
c) Nápověda 2
Má-li být virtuální posunutí vratné a slučitelné s vazbami, potom jeho složky δx a δy na sobě nejsou nezávislé. Musí splňovat vazbovou podmínku (tak, aby hmotný bod zůstal na nakloněné rovině i po posunutí). Využijte vazbové podmínky k nalezení vztahu mezi oběma složkami virtuálního posunutí.
c) Řešení nápovědy 2
Vazbovou podmínku setrvání hmotného bodu na nakloněné rovině vyjádříme jako:
$y=x\,\mathrm{tg}\,\alpha.$
Přesvědčíte se o tom při pohledu na obrázek v oddíle a) Řešení nápovědy 2.

Pro složky virtuálního posunutí dostáváme derivováním:
$\delta y=\mathrm{tg}\,\alpha\,\delta x.$
Dosazením za δy z předchozího vztahu tak dostáváme rovnici:
$-k(l-l_0)\cos{\alpha}\,\delta x+ (mg-k(l-l_0)\sin{\alpha})\mathrm{tg}\,\alpha\,\delta x=0.$
Jelikož rovnice musí platit pro libovolnou hodnotu $\delta x$ , můžeme ji vydělit $\delta x$ a upravit do tvaru:
$k(l-l_0)\frac{\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}}{\cos{\alpha}}=mg\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}.$
Délku l pak vyjádříme jako:
$l=\frac{mg\sin{\alpha}}{k}+l_0.$
Dostali jsme stejný výsledek jako v předchozích oddílech.
d) Nápověda 1
Úlohu máme řešit pomocí zobecněného principu virtuální práce při vhodné parametrizaci. Proto je třeba zvolit parametr, na který nebudou kladeny žádné podmínky související s vazbami, které omezují pohyb hmotného bodu. Vhodným parametrem je vzdálenost ξ od počátku soustavy souřadnic.
d) Řešení nápovědy 1

Jako parametr jsme zvolili vzdálenost ξ od počátku soustavy souřadnic. Na tento parametr neklademe žádnou podmínku. Parametr tak může nabývat libovolné hodnoty. Vyjádříme pomocí něho souřadnice x a y:
$x=\xi\cos{\alpha},$ $y=\xi\sin{\alpha}.$
Z toho pro virtuální posunutí derivováním získáme:
$\delta x=\cos{\alpha}\delta\xi,$ $\delta y=\sin{\alpha}\delta\xi.$
Napíšeme rovnici zobecněného principu práce tak, jak jsme ji získali v části c:
$-k(l-l_0)\cos{\alpha}\delta x+ (mg-k(l-l_0)\sin{\alpha})\delta y=0$
a dosadíme za virtuální posunutí δx a δy:
$-k(l-l_0)\cos{\alpha}\cos{\alpha}\delta\xi+ (mg-k(l-l_0)\sin{\alpha})\sin{\alpha}\delta\xi=0.$
Jelikož rovnice musí platit pro libovolnou hodnotu posunutí $\delta\xi$ , můžeme ji vydělit $\delta\xi$ a upravit do tvaru:
$k(l-l_0)(\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha})=mg\sin{\alpha}.$
Délku l tedy můžeme vyjádřit ve tvaru:
$l=\frac{mg\sin{\alpha}}{k}+l_0.$
Opět jsme získali stejné řešení jako v předchozích oddílech.
Celkové řešení
V celkovém řešení se nejprve zaměříme na zadání a).

Na hmotný bod působí tři síly. Tíhová síla $\vec{F}_G$ působící směrem k zemi, reakční síla $\vec{R}$ působící kolmo k nakloněné rovině a síla pružnosti pružiny $\vec{F}_p$ , která působí ve směru nakloněné roviny.

Rovnice rovnováhy sil má tedy vzhledem ke zvolené soustavě souřadné vektorový tvar:
$\vec{F}_G+\vec{R}+\vec{F}_p=\vec{0}.$
Vzhledem k zavedení souřadnic mají síly vyjádření po složkách:
$\vec{F}_G=(0;mg),$ $\vec{R}=(R\sin{\alpha};-R\cos{\alpha}),$ $\vec{F}_p=(-k(l-l_0)\cos{\alpha};-k(l-l_0)\sin{\alpha}).$
Vektorovou rovnici tak můžeme rozepsat po složkách a získáme tak soustavu dvou rovnic:
$R\sin{\alpha}-k(l-l_0)\cos{\alpha}=0,\tag{1}$ $mg-R\cos{\alpha}-k(l-l_0)\sin{\alpha}=0.\tag{2}$
Řešením této soustavy (podrobně viz nápověda 3) dostaneme podmínku rovnováhy hmotného bodu, která je určena délkou pružiny l:
$l=\frac{mg\sin{\alpha}}{k}+l_0.$
V oddílu b) řešíme úlohu pomocí principu virtuální práce:

Princip virtuální práce zní takto:
$\sum_{i=1}^N \vec{F_i}\cdot\delta\vec{r_i}=0,$
kde $\vec{F_i}$ jsou výslednice všech sil na i-tý hmotný bod a $\vec{r_i}$ jsou všechna virtuální posunutí i-tého hmotného bodu.

Po dosazení vyjádření sil nabývá princip virtuální práce v našem případě podobu:
$(R\sin{\alpha}-k(l-l_0)\cos{\alpha})\delta x+ (mg-R\cos{\alpha}-k(l-l_0)\sin{\alpha})\delta y=0.$
Tato rovnice musí platit pro libovolná virtuální posunutí, tedy i pro δx ≠ 0 a δy = 0. V takovém případě dospějeme k rovnici:
$R\sin{\alpha}-k(l-l_0)\cos{\alpha}=0.$
Naopak pro případ δx = 0 a δy ≠ 0 dostáváme:
$mg-R\cos{\alpha}-k(l-l_0)\sin{\alpha}=0.$
Tyto dvě rovnice jsou již shodné s rovicemi (1) a (2) z nápovědy 2 části a). Dále již může řešení pokračovat stejnými kroky jako v části a) a dospět ke stejnému výsledku.

V části c) řešíme úlohu pomocí zobecněného principu virtuální práce, který má znění:
$\sum_{i=1}^N \vec{F^{(a)}_i}\cdot\delta\vec{r_i}=0,$
kde $\vec{F^{(a)}_i}$ jsou výslednice vtištěných sil (vtištěným silám se také říká aktivní síly, proto index a) na i-tý hmotný bod a $\vec{r_i}$ jsou vratná virtuální posunutí slučitelná s vazbami i-tého hmotného bodu.

Uvažujeme pouze vtištěné síly, tedy reakci $\vec{R}$ podložky, jež je silou vazbovou, uvažovat nebudeme. Dosadíme tedy do zobecněného principu virtuální práce:
$-k(l-l_0)\cos{\alpha}\delta x+ (mg-k(l-l_0)\sin{\alpha})\delta y=0.$
Pohyb hmotného bodu musí zároveň splňovat vazbovou podmínku pro setrvání na nakloněné rovině:
$y=x\,\mathrm{tg}\,\alpha$
a tedy pro složky virtuálního posunutí dostáváme derivováním:
$\delta y=\mathrm{tg}\,\alpha\,\delta x.$
Dosazením za δy tak dostáváme rovnici:
$-k(l-l_0)\cos{\alpha}\,\delta x+ (mg-k(l-l_0)\sin{\alpha})\mathrm{tg}\,\alpha\,\delta x=0.$
Jelikož rovnice musí platit pro libovolnou hodnotu $\delta x$ , můžeme ji vydělit $\delta x$ a upravit do tvaru:
$k(l-l_0)\frac{\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}}{\cos{\alpha}}=mg\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}.$
Délku l pak vyjádříme jako:
$l=\frac{mg\sin{\alpha}}{k}+l_0.$
V oddílu d) řešíme úlohu pomocí zobecněného principu virtuální práce při vhodné parametrizaci.

Jako nezávislý parametr zvolíme vzdálenost ξ od počátku soustavy souřadnic. Vyjádříme pomocí něho souřadnice x a y:
$x=\xi\cos{\alpha},$ $y=\xi\sin{\alpha}.$
Z toho pro virtuální posunutí derivováním získáme:
$\delta x=\cos{\alpha}\delta\xi,$ $\delta y=\sin{\alpha}\delta\xi.$
Napíšeme rovnici zobecněného principu práce tak, jak jsme ji získali v části c):
$-k(l-l_0)\cos{\alpha}\delta x+ (mg-k(l-l_0)\sin{\alpha})\delta y=0$
a dosadíme za virtuální posunutí δx a δy:
$-k(l-l_0)\cos{\alpha}\cos{\alpha}\delta\xi+ (mg-k(l-l_0)\sin{\alpha})\sin{\alpha}\delta\xi=0.$
Jelikož rovnice musí platit pro libovolnou hodnotu posunutí $\delta\xi$ , můžeme ji vydělit $\delta\xi$ a upravit do tvaru:
$k(l-l_0)(\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha})=mg\sin{\alpha}.$
Délku l tedy můžeme vyjádřit ve tvaru:
$l=\frac{mg\sin{\alpha}}{k}+l_0.$