Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Rovnovážná poloha – různá řešení

Úloha číslo: 1187

Hmotný bod o hmotnosti m je upevněn na pružině o tuhosti k a klidové délky l0 a může se pohybovat po nakloněné rovině, která svírá s vodorovnou rovinou úhel α. Nalezněte jeho rovnovážnou polohu. Charakterizujte ji délkou pružiny l. Tření ani hmotnost pružiny neuvažujte.

Úlohu řešte:

  1. pomocí silového diagramu (tj. prostředky mechaniky),
  2. pomocí principu virtuální práce,
  3. pomocí zobecněného principu virtuální práce v kartézských souřadnicích x, y dle obrázku,
  4. pomocí zobecněného principu virtuální práce ve vhodné parametrizaci.
Pružina na nakloněné rovině
  • a) Nápověda 1

    Rozmyslete si, které síly na hmotný bod působí. Nakreslete si obrázek a do něj tyto síly zaneste. Sestavte rovnici rovnováhy sil.

  • a) Nápověda 2

    Vhodně zvolte souřadnou soustavu, síly vyjádřete ve složkách a rozepište rovnici rovnováhy ve složkách.

  • a) Nápověda 3

    V předchozí nápovědě jsme získali soustavu dvou lineárních rovnic dvou neznámých, které popisují rovnovážný stav. Této soustavy využijte k vyjádření délky pružiny v rovnovážném stavu l.

  • b) Nápověda 1

    Napište princip virtuální práce a dosaďte do něj.

  • b) Nápověda 2

    Rovnice z minulé nápovědy musí platit pro všechna virtuální posunutí. Zkuste zvolit speciální případy δx a δy a získat tak dvě jednodušší rovnice.

  • c) Nápověda 1

    Napište zobecněný princip virtuální práce a dosaďte do něj.

  • c) Nápověda 2

    Má-li být virtuální posunutí vratné a slučitelné s vazbami, potom jeho složky δx a δy na sobě nejsou nezávislé. Musí splňovat vazbovou podmínku (tak, aby hmotný bod zůstal na nakloněné rovině i po posunutí). Využijte vazbové podmínky k nalezení vztahu mezi oběma složkami virtuálního posunutí.

  • d) Nápověda 1

    Úlohu máme řešit pomocí zobecněného principu virtuální práce při vhodné parametrizaci. Proto je třeba zvolit parametr, na který nebudou kladeny žádné podmínky související s vazbami, které omezují pohyb hmotného bodu. Vhodným parametrem je vzdálenost ξ od počátku soustavy souřadnic.

  • Celkové řešení

    V celkovém řešení se nejprve zaměříme na zadání a).

    Na hmotný bod působí tři síly. Tíhová síla FG působící směrem k zemi, reakční síla R působící kolmo k nakloněné rovině a síla pružnosti pružiny Fp, která působí ve směru nakloněné roviny.

    Síly působící na hmotný bod

    Rovnice rovnováhy sil má tedy vzhledem ke zvolené soustavě souřadné vektorový tvar:

    FG+R+Fp=0.

    Vzhledem k zavedení souřadnic mají síly vyjádření po složkách:

    FG=(0;mg), R=(Rsinα;Rcosα), Fp=(k(ll0)cosα;k(ll0)sinα).

    Vektorovou rovnici tak můžeme rozepsat po složkách a získáme tak soustavu dvou rovnic:

    Rsinαk(ll0)cosα=0, mgRcosαk(ll0)sinα=0.

    Řešením této soustavy (podrobně viz nápověda 3) dostaneme podmínku rovnováhy hmotného bodu, která je určena délkou pružiny l:

    l=mgsinαk+l0.

    V oddílu b) řešíme úlohu pomocí principu virtuální práce:

    Princip virtuální práce zní takto:

    Ni=1Fiδri=0,

    kde Fi jsou výslednice všech sil na i-tý hmotný bod a ri jsou všechna virtuální posunutí i-tého hmotného bodu.

    Po dosazení vyjádření sil nabývá princip virtuální práce v našem případě podobu:

    (Rsinαk(ll0)cosα)δx+(mgRcosαk(ll0)sinα)δy=0.

    Tato rovnice musí platit pro libovolná virtuální posunutí, tedy i pro δx ≠ 0 a δy = 0. V takovém případě dospějeme k rovnici:

    Rsinαk(ll0)cosα=0.

    Naopak pro případ δx = 0 a δy ≠ 0 dostáváme:

    mgRcosαk(ll0)sinα=0.

    Tyto dvě rovnice jsou již shodné s rovicemi (1) a (2) z nápovědy 2 části a). Dále již může řešení pokračovat stejnými kroky jako v části a) a dospět ke stejnému výsledku.

    V části c) řešíme úlohu pomocí zobecněného principu virtuální práce, který má znění:

    Ni=1F(a)iδri=0,

    kde F(a)i jsou výslednice vtištěných sil (vtištěným silám se také říká aktivní síly, proto index a) na i-tý hmotný bod a ri jsou vratná virtuální posunutí slučitelná s vazbami i-tého hmotného bodu.

    Uvažujeme pouze vtištěné síly, tedy reakci R podložky, jež je silou vazbovou, uvažovat nebudeme. Dosadíme tedy do zobecněného principu virtuální práce:

    k(ll0)cosαδx+(mgk(ll0)sinα)δy=0.

    Pohyb hmotného bodu musí zároveň splňovat vazbovou podmínku pro setrvání na nakloněné rovině:

    y=xtgα

    a tedy pro složky virtuálního posunutí dostáváme derivováním:

    δy=tgαδx.

    Dosazením za δy tak dostáváme rovnici:

    k(ll0)cosαδx+(mgk(ll0)sinα)tgαδx=0.

    Jelikož rovnice musí platit pro libovolnou hodnotu δx, můžeme ji vydělit δx a upravit do tvaru:

    k(ll0)cos2α+sin2αcosα=mgsinαcosα.

    Délku l pak vyjádříme jako:

    l=mgsinαk+l0.

    V oddílu d) řešíme úlohu pomocí zobecněného principu virtuální práce při vhodné parametrizaci.

    Jako nezávislý parametr zvolíme vzdálenost ξ od počátku soustavy souřadnic. Vyjádříme pomocí něho souřadnice x a y:

    x=ξcosα, y=ξsinα.

    Z toho pro virtuální posunutí derivováním získáme:

    δx=cosαδξ, δy=sinαδξ.

    Napíšeme rovnici zobecněného principu práce tak, jak jsme ji získali v části c):

    k(ll0)cosαδx+(mgk(ll0)sinα)δy=0

    a dosadíme za virtuální posunutí δx a δy:

    k(ll0)cosαcosαδξ+(mgk(ll0)sinα)sinαδξ=0.

    Jelikož rovnice musí platit pro libovolnou hodnotu posunutí δξ, můžeme ji vydělit δξ a upravit do tvaru:

    k(ll0)(cos2α+sin2α)=mgsinα.

    Délku l tedy můžeme vyjádřit ve tvaru:

    l=mgsinαk+l0.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze