Rovnovážná poloha závaží na dvouramenném mechanismu s pružinou

Úloha číslo: 2170

Mechanismus na obrázku se skládá ze dvou tuhých tyček a pružiny. V místě A je pevně upevněn ke stěně, bod \(C\) se může volně pohybovat. Pružina propojující body A a C má tuhost \(k\) a klidovou délku \(l_0\). Každá z tuhých tyček má délku \(a\). Pomocí principu virtuální práce najděte vztah pro rovnovážnou polohu mechanismu (vyjádřený pomocí úhlu \(\vartheta\)), pokud v místě B působíme na mechanismus silou o velikosti \(\vec{F}\) směrem dolů. Hmotnost celého mechanismu zanedbejte.

nákres soustavy
  • Nápověda 1

    Rozmyslete si, jaké všechny aktivní síly v soustavě působí (užijeme zobecněný princip virtuální práce, vazbovými sílami se zde nebudeme zabývat) a zakreslete je do obrázku. Zvolte si vhodnou soustavu souřadnic.

  • Nápověda 2

    Určete souřadnice bodů \(A, \, B\) a \(C\) a složky sil vzhledem k naší soustavě souřadnic.

  • Nápověda 3

    Určete virtuální posunutí.

  • Kompletní řešení

    Soustavu souřadnic jsme zvolili s počátkem v bodě A, osa \(x\) směřuje ve vodorovném směru od stěny a osa \(y\) svisle dolů podél stěny.

    Sílu pružnosti působící na bod A označme \(\vec {F_A}\), na bod \(C\) \(\vec {F_C}\).

    Obrázek 2 – rozkresleni sil

    Nyní vyjádřeme polohu bodů a složky sil pomocí úhlu \(\vartheta\).

    Užitím goniometrických vztahů dostaneme pro polohy bodů tyto souřadnice:

    A: \([0;\, 0]\);

    B: \([a \cos{\vartheta};\, a \sin{\vartheta}]\);

    C: \([0;\, 2a \sin{\vartheta}]\).

    Pro vyjádření sil je nutné užít vztahu pro výpočet síly pružnosti, tedy, že to je tuhost pružiny vynásobená prodloužením a znaménko je závislé na orientaci vůči námi zvolené soustavě souřadnic. S touto znalostí získáme:

    \[\vec {F_A}:\, \left( 0;\,k(2a \sin{\vartheta}-l_0)\, \right);\] \[\vec {F_B}:\, \left( 0;\, F \right);\] \[\vec {F_C}:\, \left( 0;\, -k(2a \sin{\vartheta}-l_0)\, \right).\]

    Dále určíme daná virtuální posunutí, jež mohou být i nekonečně malá a chovají se podobně jako diferenciály. Úhel \(\vartheta\) považujme za zobecněnou souřadnici a naše virtuální posunutí \(\delta \vec{r_i}\) lze tedy určit jako:

    \[\delta \vec{r_A}: \, \left( 0;\, 0 \right);\] \[\delta \vec{r_B}: \, \left( -a \sin{\vartheta} \, \delta \vartheta;\, a \cos{\vartheta} \, \delta \vartheta \right);\] \[\delta \vec{r_C}: \, \left( 0;\, 2a \cos{\vartheta} \, \delta \vartheta \right).\]

    Víme, že v rovnovážné poloze platí, že výslednice všech sil působících na těleso je nulová. Z této podmínky vychází princip virtuální práce, jež užijeme k řešení úlohy. Zobecněný princip virtuální práce (ZPVP) pro soustavu \(N\) hmotných bodů říká, že pro libovolná vratná virtuální posunutí slučitelná s vazbami \(\delta \vec {r_i}\) platí, že virtuální práce aktivních sil \(\vec {F_i^{(a)}}\) působících na soustavu pro tato virtuální posunutí je nulová, tedy:

    \[\delta W=\sum_{i=1}^N {\vec {F_i^{(a)}} \cdot \delta \vec {r_i}}=0.\]

    V našem případě dostaneme rovnici:

    \[\vec{F_A} \cdot \delta \vec{r_A} + \vec{F_B} \cdot \delta \vec{r_B} + \vec{F_C} \cdot \delta \vec{r_C} = 0.\]

    Což po skalárním vynásobení a dosazení dá:

    \[0 {\cdot} 0 \, \delta\vartheta + 0 \cdot k(2a \sin{\vartheta}-l_0) \, \delta \vartheta -\] \[-0 \cdot a \sin{\vartheta} \, \delta\vartheta + F \cdot a \cos{\vartheta} \, \delta \vartheta +\] \[0 {\cdot} 0 \, \delta\vartheta - 2a \cos{\vartheta} \cdot k(2a \sin{\vartheta}-l_0) \, \delta \vartheta = 0.\]

    Upravíme na:

    \[F a \cos{\vartheta} \, \delta \vartheta - 2a \cos{\vartheta} k(2a \sin{\vartheta}-l_0) \, \delta \vartheta = 0.\]

    Dále uvažujme, že \(\cos{\vartheta} \neq 0\), neboť pro \(\cos{\vartheta} = 0 \, \Rightarrow \,\vartheta = \frac {\pi}{2}\), což by ovšem znamenalo, že se náš stroj celý narovnal do směru osy \(y\). Tento případ nebudeme prozatím uvažovat a můžeme tedy rovnici pokrátit celým výrazem \(a \cos{\vartheta}\).

    \[F a \cos{\vartheta} \, \delta \vartheta - 2a \cos{\vartheta} k(2a \sin{\vartheta}-l_0) \, \delta \vartheta = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\, / \frac{1}{a \cos{\vartheta}}\] \[\left[ F - 2k(2a \sin{\vartheta}-l_0) \right] \, \delta \vartheta = 0\]

    Ovšem tato rovnice musí platit pro zcela libovolná virtuální posunutí slučitelná s vazbami, tedy i nenulová posunutí, z čehož plyne, že výraz v hranaté závorce musí být roven nule.

    \[F - 2k(2a \sin{\vartheta}-l_0)=0\] \[\frac{F}{2k}+l_0=2a \sin{\vartheta}\] \[\frac{F}{4ka}+\frac{l_0}{2a}= \sin{\vartheta}\] \[\frac{F+2k l_0}{4ka}= \sin{\vartheta}\]

    Pro náš úhel \(\vartheta\), který přesně určuje rovnovážnou polohu soustavy platí:

    \[\vartheta = \arcsin{\left( \frac{F+2k l_0}{4ka} \right) }. \]
  • Ověření

    (A) Udělejmě rozměrovou zkoušku.

    Argument funkce \(\arcsin\) by měl být bezrozměrný. Výraz \(2k l_0\) je tuhost pružiny násobená nějakou vzdáleností, tedy má rozměr síly, stejně tak výraz \(4ka\), tedy celý podíl \(\frac{F+2k l_0}{4ka}\) je bezrozměrný.

    (B) Jaký bude úhel \(\vartheta\) když nebudeme silou \(\vec F\) působit? (\(\vec F = \vec 0\))

    \[\sin \vartheta = \frac{2k l_0}{4ka} = \frac {\frac {l_0}{2}}{a}\tag{1}\]
    To že síla \(\vec F\) je nulová odpovídá situaci, kdy má pružina klidovou délku. Vztah (1) odkoukáme z trojúhelníku \(\mathrm{ABS_{AC}}\).
    Obrázek 3 – nákres trojúhelníku ABS_AC

    (C) Kdy dojde k úplnému napnutí mechanismu?

    Funkce \(\arcsin\) je rostoucí, tedy pro rostoucí \(F\) bude růst i náš úhel \(\vartheta\), což je chování, jaké bychom očekávali - když budeme na bod \(B\) zvětšovat sílu, bude se bod \(B\) posouvat dolů, až dospějeme do místa, kde \(\vartheta = \frac {\pi}{2}\).
    \[ \sin \vartheta = \sin \frac {\pi}{2} = 1 = \frac{F + 2k l_0}{4ka}\] \[4ka - 2k l_0 = F\] \[2k (2a - l_0) = F\tag{2}\]
    To je ovšem vztah pro dvojnásobek síly pružnosti při natažení na délku \(2a\). Proč dvojnásobek? Pružina je na našem mechanismu napínána ve dvou bodech - \(A\) a \(C\). Síla \(\vec F\) tedy musí překonávat dvojnásobek síly pružnosti. Ve vztahu (2) dostáváme, že pro síly větší než je tato mez, je mechanismus plně natažen ve směru osy \(y\).
  • Odpověď

    Pro námi hledaný úhel \(\vartheta\), který přesně určuje rovnovážnou polohu soustavy platí:

    \[\vartheta = \arcsin{\left( \frac{F+2k l_0}{4ka} \right)}.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze