Moment setrvačnosti cykloidy

Úloha číslo: 2087

Určete moment setrvačnosti jednoho oblouku homogenní cykloidy vůči ose x. Zadánu máte výšku cykloidy v jejím nejvyšším bodě 2a a její celkovou hmotnost m.

obrázek k zadání úlohy
  • Rozbor

    Vzorec pro výpočet momentu setrvačnosti jednoho hmotného bodu je velmi jednoduchý, proto budeme vycházet právě z něj. Naše cykloida je sice spojité těleso, ne jen jeden bod, ale můžeme si ji velmi snadno představit jako soustavu mnoha hmotných bodů, které jsou velmi těsně vedle sebe. Celkově (můžeme říci jakoby „s odstupem“) tvoří tato řada bodů celou cykloidu. Z této analogie můžeme odvodit náš postup. Začneme vzorcem pro moment setrvačnosti jednoho hmotného bodu a uvědomíme si, že momenty setrvačností soustavy více bodů se budou jednoduše sčítat. Pokud si bodů představíme dostatek, uvědomíme si, že jejich poloha v prostoru se po cykloidě mění téměř spojitě. Pro součet momentů setrvačnosti takto „natěsnaných“ bodů bude možné použít integrální tvar, který si můžeme snadno odvodit.

    Do integrálního tvaru momentu setrvačnosti tělesa bude zapotřebí dosadit vhodné rovnice, které nám popíší cykloidu po částech (abychom mohli sčítat jednotlivé malé části). Tyto vlastnosti se vyskytují u parametrických rovnic. Další nezbytnou částí pro řešení této úlohy budou tedy parametrické rovnice cykloidy. Tyto rovnice následně dosadíme do rovnice pro moment setrvačnosti, aby skutečně popisovaly právě náš objekt.

    Pokud budeme s integrálním tvarem momentu setrvačnosti pracovat dále, zjistíme, že obsahuje element hmotnosti, kterou ale neznáme. Při našem řešení však ukážeme způsob, jak ji lehce nahradit elementem délky. Pro další řešení budeme tedy muset znát také to, jak je dlouhý náš elementární kousek cykloidy, tedy vzorec pro délku elementu křivky. Nejprve obecně, poté konkrétně pro cykloidu.

    Celkovým řešením poté bude jen všechny tyto vzorce spojit vhodně dohromady a integrovat.

  • Nápověda

    Pro úspěšné vyřešení této úlohy je zapotřebí znát tři body:

    a) vztah pro moment setrvačnosti hmotného bodu a z něj odvodit vztah pro libovolné tuhé těleso,

    b) parametrické rovnice cykloidy,

    c) vzorec pro délku malého úseku libovolné křivky ds.

  • Řešení

    Začneme vyjádřením momentu setrvačnosti tuhého spojitého tělesa

    \[J=\int r^2 \mathrm{d} m.\]

    V tomto vzorci by bylo zapotřebí integrovat přes malé kousky hmotnosti, což by bylo složité. Daleko jednodušší bude převést kousek hmotnosti na kousek objemu. Použijeme známý vzorec pro hmotnost v závislosti na objemu a hustotě ρ. Protože je naše cykloida homogenní, je hustota ve všech jejích částech konstantní a vzorec má tvar

    \[\mathrm{d}m=\rho \mathrm{d}V.\]

    Jelikož naše cykloida nemá více rozměrů, než jen svou délku s, není třeba zabývat se žádnými dalšími rozměry a vzorec se dále zjednodušší. (Můžete si představit, že vyšetřujeme moment setrvačnosti velmi tenkého, ale dlouhého drátu ve tvaru cykloidy - tloušťka bude v porovnání s délkou jistě zanedbatelná.)

    \[\mathrm{d}m=\rho\ \mathrm{d}s.\]

    Náš vzorec pro moment setrvačnosti získá tvar

    \[ J\,=\,\int{\rho r^2}\mathrm{d}s \]

    Pokud si navíc uvědomíme, že osa rotace je v našem případě souhlasná se souřadnou osou x, můžeme vzdálenost každého elementu cykloidy od osy otáčení psát pouze jako její y-ovou souřadnici. Moment setrvačnosti bude nyní možné vyjádřit vzorcem

    \[J=\int_\Gamma \rho y^2\ \mathrm{d} s.\]

    Γ pod integrálem označuje, že budeme integrovat přes celou cykloidu.

    Nyní je zapotřebí dosadit za y a ds. První dosadíme za ds, protože po jeho dosazení nám přibydou další y. Víme, že ds představuje element délky křivky (viz Nápověda/Řešení nápovědy c), můžeme tedy psát:

    \[ \mathrm{d} s= \sqrt{\left( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right)^2+ \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \right)^2}\ \mathrm{d} t.\] A dosazením získáme \[J=\int_\Gamma \rho y^2 \sqrt{\left( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right)^2+ \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \right)^2}\ \mathrm{d} t.\tag{1}\]

    Nyní je zapotřebí dosadit za yx. Jelikož potřebujeme integrovat přes celou křivku, budou se yx v rovnici měnit jako y-ová a x-ová složka této křivky, můžeme tedy dosadit z parametrických rovnic samotné cykloidy

    \[x=a (t-\sin t)\] \[y=a (1-\cos t).\]

    V naší rovnici se však xy vyskytují také v derivacích. Pokud si nejste jisti, doporučuji nejprve si parametrické rovnice roznásobit.

    \[x=at-a\sin t\] \[y=a-a\cos t\] \[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a-a\cos t\] \[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=0+a\sin t\]

    Pokud tyto výsledky dosadíme do rovnice (1), dostaneme:

    \[J=\int_\Gamma \rho a^2 (1-\cos t)^2 \sqrt{(a-a\cos t)^2 + a^2 \sin^2 t}\ \mathrm{d}t\]

    Křivka Γ, tedy naše cykloida, je dána parametricky a parametr je zároveň to, podle čeho integrujeme. Jako integrační meze tedy určitě zvolíme krajní meze parametru t, které jsou pro jeden oblouk cykloidy 0 a 2π.

    Současně provedeme drobnou úpravu v prvním členu pod odmocninou, kde můžeme vytknout a, které musí být v druhé mocnině.

    \[J=\int_0^{2\pi} \rho a^2 (1-\cos t)^2 \sqrt{a^2(1-\cos t)^2 + a^2 \sin^2 t}\ \mathrm{d}t\]

    A nyní je zapotřebí „jen“ spočítat určitý integrál vhodnými úpravami a v jistém bodě i substitucí. Podrobný postup pro výpočet tohoto integrálu je uveden v sekci „Výpočet integrálu“ na konci tohoto řešení. My budeme dále pokračovat rovnou s výsledkem.

    \[J=\frac{32}{15}(2a)^3 \rho \]

    Hustotu cykloidy jsme sice neměli zadánu, ale v této fázi nebude problém ji nahradit zpětně za hmotnost. Obecně bychom hustotu psali

    \[ \rho =\frac {m}{V},\]

    kde V je objem tělesa, jehož hustotu počítáme. My jsem ale v úvodu tohoto řešení podotkli, že u cykloidy není zapotřebí uvažovat všechny rozměry, ale jen její délku s.

    \[\rho\,=\,\frac{m}{s}\]

    Délku cykloidy je možné vypočítat a vychází jako osminásobek poloměru kružnice, jejímž valením cykloida vznikla. (Viz Délka oblouku cykloidy)

    \[\rho=\frac{m}{8a}\]

    Zbývá už pouze dosadit a zjednodušit.

    \[J=\frac{32}{15} 2^3 a^3 \frac{m}{8a}\]

    A výsledný moment setrvačnosti jednoho oblouku homogenní cykloidy vůči ose x je

    \[J=\frac{32}{15}a^2m.\]
  • Odpověď

    Výsledný moment setrvačnosti jednoho oblouku homogenní cykloidy kolem osy x je

    \[J=\frac{32}{15}a^2m.\]
  • Podobné úlohy

    Máte-li problém s odvozením parametrických rovnic cykloidy, nebo s výpočtem její délky, doporučuji pročíst si úlohu Délka oblouku cykloidy, kde je obojí velmi podrobně vysvětleno.

    Potřebujete-li si procvičit výpočet momentu setrvačnosti, vyzkoušejte si úlohy Moment setrvačnosti tyče, Moment setrvačnosti dvou kuliček a Moment setrvačnosti válce.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze