Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Hojící se rána

Úloha číslo: 964

Předpokládejme, že daná rána se hojí tak, že obsah nezahojené plochy A (v cm2) se mění přibližně podle rovnice (čas t měřený v dnech):

dAdt=4t3.

a) Určete obsah plochy hojící se rány v závislosti na čase A(t), když víte, že rána měla po prvním dnu obsah roven 2 cm2.

b) Vypočtěte, po kolika dnech bude obsah rány roven 0,5 cm2.

c) Vypočtěte, jak velká bude rána po deseti dnech.

Poznámka : Rovnice je uvedena pro číselné hodnoty bez fyzikálních jednotek. Rovnice popisuje hojení jen některých typů ran a pouze přibližně. Nehodí se pro popis hojení pro časy blízké nule.

  • Nápověda 1 ( k úloze a) )

    Jedná se o diferenciální rovnici typu:

    dydt=f(t).

    Danou diferenciální rovnici lze nejsnáze vyřešit přímým integrováním.

    Nezapomeňte na konstantu, jejíž hodnotu lze spočítat ze zadané počáteční podmínky.

  • Nápověda 2 ( k úloze b) )

    Úlohou je určit, po kolika dnech bude obsah plochy rány  0,5 cm2.

    Zkuste tento údaj dosadit do získané závislosti v úloze a). Vzniklou rovnici už jednoduše vyřešíte.

  • Nápověda 3 ( k úloze c) )

    Úlohou je vypočítat, jak velká bude rána po deseti dnech.

    Dosaďte tento údaj do závislosti vypočtené v úloze a).

  • Celkové řešení

    ad a)

    Přímým integrováním dostáváme

    dA=4t3dt A=4(12t2)+c,

    dostáváme tak výsledek

    A(t)=2t2+c,

    kde c je reálná konstanta, kterou spočteme pomocí zadané počáteční podmínky. Víme, že rána měla po prvním dnu obsah 2 cm2. Dosadíme dané údaje do rovnice a pro číselné hodnoty dostáváme

    2=2.12+cc=0.

    Výsledná závislost vypadá následovně:

    A(t)=2t2.

    ad b)

    Máme určit, po kolika dnech bude obsah plochy rány  0,5 cm2.

    Výsledek dostaneme jednoduše, dosadíme-li do získané rovnice za obsah plochy  A = 0,5 cm2 :

    A(t)=2t2 0,5=2t2 t=2.

    Rána bude mít velikost 0,5 cm2 po dvou dnech.

    ad c)

    Máme určit obsah plochy, jaký bude mít rána po deseti dnech. Dosadíme do rovnice t = 10 a dostáváme

    A(10)=2102 A(10)=0,02cm2.

    Rána bude mít po deseti dnech obsah 0,02 cm2 = 2 mm2.

  • Odpověď

    a) Pro obsah plochy hojící se rány v závislosti na čase platí

    A(t)=2t2.

    b) Rána bude mít velikost 0,5 cm2 po dvou dnech.

    c) Rána bude mít po deseti dnech obsah 2 mm2.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze