Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Hojící se rána
Úloha číslo: 964
Předpokládejme, že daná rána se hojí tak, že obsah nezahojené plochy A (v cm2) se mění přibližně podle rovnice (čas t měřený v dnech):
dAdt=−4t−3.
a) Určete obsah plochy hojící se rány v závislosti na čase A(t), když víte, že rána měla po prvním dnu obsah roven 2 cm2.
b) Vypočtěte, po kolika dnech bude obsah rány roven 0,5 cm2.
c) Vypočtěte, jak velká bude rána po deseti dnech.
Poznámka : Rovnice je uvedena pro číselné hodnoty bez fyzikálních jednotek. Rovnice popisuje hojení jen některých typů ran a pouze přibližně. Nehodí se pro popis hojení pro časy blízké nule.
Nápověda 1 ( k úloze a) )
Jedná se o diferenciální rovnici typu:
dydt=f(t).Danou diferenciální rovnici lze nejsnáze vyřešit přímým integrováním.
Nezapomeňte na konstantu, jejíž hodnotu lze spočítat ze zadané počáteční podmínky.
Nápověda 2 ( k úloze b) )
Úlohou je určit, po kolika dnech bude obsah plochy rány 0,5 cm2.
Zkuste tento údaj dosadit do získané závislosti v úloze a). Vzniklou rovnici už jednoduše vyřešíte.
Nápověda 3 ( k úloze c) )
Úlohou je vypočítat, jak velká bude rána po deseti dnech.
Dosaďte tento údaj do závislosti vypočtené v úloze a).
Celkové řešení
ad a)
Přímým integrováním dostáváme
∫dA=−4∫t−3dt A=−4(−12t−2)+c,dostáváme tak výsledek
A(t)=2t−2+c,kde c je reálná konstanta, kterou spočteme pomocí zadané počáteční podmínky. Víme, že rána měla po prvním dnu obsah 2 cm2. Dosadíme dané údaje do rovnice a pro číselné hodnoty dostáváme
2=2.1−2+c⇒c=0.Výsledná závislost vypadá následovně:
A(t)=2t−2.ad b)
Máme určit, po kolika dnech bude obsah plochy rány 0,5 cm2.
Výsledek dostaneme jednoduše, dosadíme-li do získané rovnice za obsah plochy A = 0,5 cm2 :
A(t)=2t−2 0,5=2t2 t=2.Rána bude mít velikost 0,5 cm2 po dvou dnech.
ad c)
Máme určit obsah plochy, jaký bude mít rána po deseti dnech. Dosadíme do rovnice t = 10 a dostáváme
A(10)=2102 A(10)=0,02cm2.Rána bude mít po deseti dnech obsah 0,02 cm2 = 2 mm2.
Odpověď
a) Pro obsah plochy hojící se rány v závislosti na čase platí
A(t)=2t−2.b) Rána bude mít velikost 0,5 cm2 po dvou dnech.
c) Rána bude mít po deseti dnech obsah 2 mm2.