Sbírka řešených úloh

Hojící se rána

Úloha číslo: 964

• Nápověda 1 ( k úloze a) )

  Jedná se o diferenciální rovnici typu:

  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = f (t).$$

  Danou diferenciální rovnici lze nejsnáze vyřešit přímým integrováním.

  Nezapomeňte na konstantu, jejíž hodnotu lze spočítat ze zadané počáteční podmínky.

• Řešení nápovědy 1

  Přímým integrováním dostáváme

  $$\int \mathrm{d}A = -4 \int t^{-3} \mathrm{d}t$$ $$A = -4 (-\frac{1}{2}t^{-2}) + c,$$

  dostáváme tak výsledek

  $$A(t) = 2t^{-2} + c,$$

  kde c je reálná konstanta, kterou spočteme pomocí zadané počáteční podmínky. Víme, že rána měla po prvním dnu obsah 2 cm². Dosadíme dané údaje do rovnice a pro číselné hodnoty dostáváme

  $$2 = 2.1^{-2} + c \hspace{20px} \Rightarrow \hspace{20px} c = 0.$$

  Výsledná závislost vypadá následovně:

  $$A(t) = 2t^{-2}.$$

• Nápověda 2 ( k úloze b) )

  Úlohou je určit, po kolika dnech bude obsah plochy rány  0,5 cm².

  Zkuste tento údaj dosadit do získané závislosti v úloze a). Vzniklou rovnici už jednoduše vyřešíte.

• Řešení nápovědy 2

  Máme určit, po kolika dnech bude obsah plochy rány  0,5 cm².

  Výsledek dostaneme jednoduše, dosadíme-li do získané rovnice za obsah plochy  A = 0,5 cm² :

  $$A(t) = 2t^{-2}$$ $$0{,}5 = \frac {2}{t^2}$$ $$t = 2.$$

  Rána bude mít velikost 0,5 cm² po dvou dnech.

• Nápověda 3 ( k úloze c) )

  Úlohou je vypočítat, jak velká bude rána po deseti dnech.

  Dosaďte tento údaj do závislosti vypočtené v úloze a).

• Řešení nápovědy 3

  Máme určit obsah plochy, jaký bude mít rána po deseti dnech. Dosadíme do rovnice t = 10 a dostáváme

  $$A(10) = \frac{2}{10^2}$$ $$A(10) = 0{,}02 \hspace{1px}\mathrm{cm^2}.$$

  Rána bude mít po deseti dnech obsah 0,02 cm² = 2 mm².

• Celkové řešení

  ad a)

  Přímým integrováním dostáváme

  $$\int \mathrm{d}A = -4 \int t^{-3} \mathrm{d}t$$ $$A = -4 (-\frac{1}{2}t^{-2}) + c,$$

  dostáváme tak výsledek

  $$A(t) = 2t^{-2} + c,$$

  kde c je reálná konstanta, kterou spočteme pomocí zadané počáteční podmínky. Víme, že rána měla po prvním dnu obsah 2 cm². Dosadíme dané údaje do rovnice a pro číselné hodnoty dostáváme

  $$2 = 2.1^{-2} + c \hspace{20px} \Rightarrow \hspace{20px} c = 0.$$

  Výsledná závislost vypadá následovně:

  $$A(t) = 2t^{-2}.$$

  ad b)

  Máme určit, po kolika dnech bude obsah plochy rány  0,5 cm².

  Výsledek dostaneme jednoduše, dosadíme-li do získané rovnice za obsah plochy  A = 0,5 cm² :

  $$A(t) = 2t^{-2}$$ $$0{,}5 = \frac {2}{t^2}$$ $$t = 2.$$

  Rána bude mít velikost 0,5 cm² po dvou dnech.

  ad c)

  Máme určit obsah plochy, jaký bude mít rána po deseti dnech. Dosadíme do rovnice t = 10 a dostáváme

  $$A(10) = \frac{2}{10^2}$$ $$A(10) = 0{,}02 \hspace{1px}\mathrm{cm^2}.$$

  Rána bude mít po deseti dnech obsah 0,02 cm² = 2 mm².

• Odpověď

  a) Pro obsah plochy hojící se rány v závislosti na čase platí

  $$A(t) = 2t^{-2}.$$

  b) Rána bude mít velikost 0,5 cm² po dvou dnech.

  c) Rána bude mít po deseti dnech obsah 2 mm².