Hojící se rána
Úloha číslo: 964
Předpokládejme, že daná rána se hojí tak, že obsah nezahojené plochy A (v cm2) se mění přibližně podle rovnice (čas t měřený v dnech):
\[ \frac {\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = -4 t^{-3}. \]
a) Určete obsah plochy hojící se rány v závislosti na čase A(t), když víte, že rána měla po prvním dnu obsah roven 2 cm2.
b) Vypočtěte, po kolika dnech bude obsah rány roven 0,5 cm2.
c) Vypočtěte, jak velká bude rána po deseti dnech.
Poznámka : Rovnice je uvedena pro číselné hodnoty bez fyzikálních jednotek. Rovnice popisuje hojení jen některých typů ran a pouze přibližně. Nehodí se pro popis hojení pro časy blízké nule.
Nápověda 1 ( k úloze a) )
Jedná se o diferenciální rovnici typu:
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = f (t). \]Danou diferenciální rovnici lze nejsnáze vyřešit přímým integrováním.
Nezapomeňte na konstantu, jejíž hodnotu lze spočítat ze zadané počáteční podmínky.
Nápověda 2 ( k úloze b) )
Úlohou je určit, po kolika dnech bude obsah plochy rány 0,5 cm2.
Zkuste tento údaj dosadit do získané závislosti v úloze a). Vzniklou rovnici už jednoduše vyřešíte.
Nápověda 3 ( k úloze c) )
Úlohou je vypočítat, jak velká bude rána po deseti dnech.
Dosaďte tento údaj do závislosti vypočtené v úloze a).
Celkové řešení
ad a)
Přímým integrováním dostáváme
\[ \int \mathrm{d}A = -4 \int t^{-3} \mathrm{d}t \] \[ A = -4 (-\frac{1}{2}t^{-2}) + c, \]dostáváme tak výsledek
\[ A(t) = 2t^{-2} + c, \]kde c je reálná konstanta, kterou spočteme pomocí zadané počáteční podmínky. Víme, že rána měla po prvním dnu obsah 2 cm2. Dosadíme dané údaje do rovnice a pro číselné hodnoty dostáváme
\[ 2 = 2.1^{-2} + c \hspace{20px} \Rightarrow \hspace{20px} c = 0. \]Výsledná závislost vypadá následovně:
\[ A(t) = 2t^{-2}. \]ad b)
Máme určit, po kolika dnech bude obsah plochy rány 0,5 cm2.
Výsledek dostaneme jednoduše, dosadíme-li do získané rovnice za obsah plochy A = 0,5 cm2 :
\[ A(t) = 2t^{-2} \] \[ 0{,}5 = \frac {2}{t^2} \] \[t = 2. \]Rána bude mít velikost 0,5 cm2 po dvou dnech.
ad c)
Máme určit obsah plochy, jaký bude mít rána po deseti dnech. Dosadíme do rovnice t = 10 a dostáváme
\[ A(10) = \frac{2}{10^2} \] \[ A(10) = 0{,}02 \hspace{1px}\mathrm{cm^2}. \]Rána bude mít po deseti dnech obsah 0,02 cm2 = 2 mm2.
Odpověď
a) Pro obsah plochy hojící se rány v závislosti na čase platí
\[ A(t) = 2t^{-2}. \]b) Rána bude mít velikost 0,5 cm2 po dvou dnech.
c) Rána bude mít po deseti dnech obsah 2 mm2.
