Sbírka řešených úloh

Druh pohybu, tvar trajektorie

Úloha číslo: 191

• Nápověda 1: Trajektorie pohybu

  Jak lze určit závislost y = y(x) (křivka popisující trajektorii pohybu) z parametrického vyjádření zadané křivky?

• Řešení nápovědy 1

  Pokud chceme získat závislost y = y(x), musíme z parametrického vyjádření vyloučit parametr t.

  Z rovnice pro x vyjádříme cos(ωt):

  \[x \,=\, A \cos(\omega t )\,\, \Rightarrow \,\,cos(\omega t) \,=\, \frac{x}{A}.\]

  Nyní rovnici pro y upravíme tak, abychom do ní mohli dosadit za cos(ωt):

  \[y \,= \,B \cos(2\omega t)\, =\, B \cos^{2} (\omega t) \,- \,B \sin^{2} ( \omega t)\, = \, B \cos^{2} (\omega t) \,- \] \[- \,B\left[ 1\, - \, \cos^{2} ( \omega t)\right] \, = \, 2B \cos^{2} (\omega t)\, - \,B,\] \[y \,=\,2B \cos^{2} (\omega t)\, - \,B\]

  Do takto upravené rovnice dosadíme za cos(ωt) výraz z první rovnice, tím získáme hledanou závislost:

  \[y \, =\, 2B\left(\frac{x}{A}\right)^{2} \, -\, B \, =\,\frac{2B}{A^{2}}x^{2}\, - \,B\,.\]

• Nápověda 2: Křivka

  Jakou geometrickou křivku popisuje vámi spočítaná rovnice?

• Řešení nápovědy 2

  V předchozím kroku jsme získali následující rovnici

  \[y \,=\, \frac{2B}{A^{2}}x^{2}\, - \,B\,.\]

  Touto rovnicí je dána parabola s vrcholem v bodě [0; −B]. Pro A = B = 1 dostáváme předpis

  \[y \,=\, 2x^{2}\, - \,1\,,\]

  jehož graf je znázorněn na obrázku.

  

  Vraťme se k parametrickým rovnicím v zadání popisujícím daný pohyb. Funkce cosinus nabývá hodnot od -1 do 1. Trajektorií pohybu bude tedy jen část paraboly daná obdélníkem o stranách od -A do A a od -B do B. Pro naše zadané hodnoty je obdélník vyznačen v obrázku.

• Řešení

  Pokud chceme získat závislost y = y(x), musíme z parametrického vyjádření vyloučit parametr t.

  Z rovnice pro x vyjádříme cos(ωt):

  \[x \,=\, A \cos(\omega t )\,\, \Rightarrow \,\,cos(\omega t) \,=\, \frac{x}{A}.\]

  Nyní rovnici pro y upravíme tak, abychom do ní mohli dosadit za cos(ωt):

  \[y \,= \,B \cos(2\omega t)\, =\, B \cos^{2} (\omega t) \,- \,B \sin^{2} ( \omega t)\, = \, B \cos^{2} (\omega t) \,- \] \[- \,B\left[ 1\, - \, \cos^{2} ( \omega t)\right] \, = \, 2B \cos^{2} (\omega t)\, - \,B,\] \[y \,=\,2B \cos^{2} (\omega t)\, - \,B\]

  Do takto upravené rovnice dosadíme za cos(ωt) výraz z první rovnice, tím získáme hledanou závislost:

  \[y \, =\, 2B\left(\frac{x}{A}\right)^{2} \, -\, B \, =\,\frac{2B}{A^{2}}x^{2}\, - \,B\,.\]

  Touto rovnicí je dána parabola s vrcholem v bodě [0; −B]. Pro A = B = 1 dostáváme předpis

  \[y \,=\, 2x^{2}\, - \,1\,,\]

  jehož graf je znázorněn na obrázku.

  

  Vraťme se k parametrickým rovnicím v zadání popisujícím daný pohyb. Funkce cosinus nabývá hodnot od -1 do 1. Trajektorií pohybu bude tedy jen část paraboly daná obdélníkem o stranách od -A do A a od -B do B. Pro naše zadané hodnoty je obdélník vyznačen v obrázku.

• Odpověď

  Trajektorií pohybu je část paraboly daná rovnicí \(y\,=\,\frac{2B}{A^{2}} x^{2}\,-\,B\). Jde o parabolu s vrcholem v bodě [0; −B]. Její část je vymezena obdélníkem o stranách od -A do A a od -B do B.

  Obrázek ukazuje trajektorii s vymezeným obdélníkem pro A = B = 1.

  

• Poznámka

  Podívejme se ještě, o jaký pohyb se jedná. Rovnice popisují harmonický kmitavý pohyb. Jde tedy o skládání dvou kolmých kmitů. Výslednou trajektorií je jeden z tvarů Lissajousovy křivky.