Délka oblouku cykloidy

Úloha číslo: 2037

Cykloida je křivka, jejíž tvar opíše libovolný bod kružnice, která se bez prokluzu valí po přímce. Řekněme, že ve svém nejvyšším bodě má výšku 2r.

obrázek k zadání úlohy

a) Určete její parametrické vyjádření.

b) Určete délku jednoho jejího oblouku.

  • Nápověda a1

    Cílem parametrického vyjádření je určit průměty bodu pohybujícího se po cykloidě do souřadných os x a y v závislosti na nějakém vhodně zvoleném parametru.

    Zamyslete se, jak vypadá parametrické vyjádření kružnice. Co vlastně představuje její parametr?

  • Nápověda a2

    Existují dva způsoby jak se k parametrickému vyjádření cykloidy dopracovat. Pro naše potřeby nazvěme tyto postupy „matematický“ a „intuitivní“. V obou případech je zapotřebí alespoň vědět, jak vypadá parametrické vyjádření kružnice (v případě potřeby je napsané v Řešení nápovědy a1 a v Řešení a - intuitivní)

    Poznámka: Máte-li problémy s parametrickými rovnicemi, nevíte k čemu slouží, nebo jen máte problémy s jejich odvozováním, doporučuji Vám si alespoň projít intuitivní řešení. Nevyžaduje příliš velkou matematickou zdatnost, jen znalost průběhů funkcí sinus a cosinus, ale pochopíte v něm význam parametrických rovnic a naučíte se s nimi zacházet. Matematické řešení vypadá na pohled odborněji, ale ani to nevyžaduje žádné zvláštní znalosti a dovednosti. Nejlepší je samozřejmě znát oba tyto postupy.

    Pro intuitivní řešení si nakreslete kružnici v základní poloze a napište si k ní parametrické rovnice. Zkoušejte rovnice různými způsoby upravovat, dosazujte různé hodnoty parametru a sledujte, jak se kružnice chová. Vše si kreslete. Až pochopíte, k čemu který člen slouží, snažte se dopracovat k valící se kružnici a k cykloidě. Využijte obrázku v zadání.

    Pro matematické řešení si nakreslete obrázek v nějaké fázi valení. Popiště si všechny důležité body a úsečky, napište, co všechno znáte a přemýšlejte, jak dopočítat to, co neznáte. Nezapomeňte, že výsledek musí být závislý jen na těch veličinách, které známe, a na parametru, který se bude měnit.

  • Řešení a - intuitivní

    Vyjdeme ze základní polohy kružnice, tzn. se středem v počátku souřadnicového systému. Tedy S = [0;0], a = 0, b = 0. Rovnice kružnice poté mají tvar

    \[x=r\cos t\] \[y=r\sin t.\]

    Kružnice v základním tvaru vypadá následovně

    Kružnice v základní poloze

    Nyní je dobré již vědět, co představuje parametr t. (viz Řešení nápovědy a1)

    Jedna hodnota parametru určuje jeden bod kružnice. Jednoduchým dosazením do parametrických rovnic se přesvědčíme, že pokaždé, když zvětšíme t o 2π, dostaneme se do stejného bodu, ze kterého jsme vyšli. Jinými slovy: pro vykreslení celé kružnice nám postačí hodnoty t z intervalu ‹0;2π).

    Protože cykloida je definována jako bod na kružnici valící se po přímce, je velmi vhodné představit si změnu parametru t jako kružnici otáčející se kolem svého středu. Parametrické rovnice v tu chvíli převezmou roli pouze jednoho z mnoha bodů kružnice. Pro pochopení této představy si nakreslete, jaký bod zobrazí parametrické rovnice pro t = 0 a pro t = π/2.

    Změna parametru t

    Je vidět, že zvýšení hodnoty parametru otočí kružnicí proti směru hodinových ručiček. (Zkuste si dosadit i jemnější změnu parametru.) Tento postup, změnu parametru o π/2, budeme uplatňovat při každé změně rovnic.

    Nyní začneme upravovat parametrické rovnice, abychom dosáhli našeho požadavku na valící se kružnici.

    Jistě bude lepší, pokud se kružnice bude valit do kladných hodnot souřadných os, tedy doprava. To bude první, čeho se pokusíme dosáhnout. Zkusme například prohodit funkce sinus a cosinus. Rovnice tedy budou mít tvar

    \[x=r \sin t\] \[y=r \cos t.\]

    A otáčení kružnice:

    Prohození funkcí

    Vidíme, že směr otáčení jsme tím trefili. Ale změnilo se i něco jiného, a to počáteční bod. Vidíme, že ta složka, která obsahuje cosinus bude začínat na hodnotě poloměru r, zatímco ta obsahující sinus začne v nule. To je naprosto logické z průběhu těchto funkcí. Podíváte-li se na obrázek ze zadání úlohy, zjistíte, že potřebujeme, aby počáteční bod byl v nejnižším bodu kružnice, ne v nejvyšším. To znamená, že y-ová složka musí začít záporná — jednoduše přídáme znaménko mínus k druhé rovnici. Když vyzkoušíme tuto úpravu, zjistíme, že se tím opět změní směr otáčení. Můžeme tedy udělat rovnou další změnu, když si uvědomíme, že chceme-li, aby se kružnice otáčela ve směru hodinových ručiček, musí být x-ová složka v druhém kroku záporná — opět přidáme znaménko mínus, tentokrát k první rovnici.

    \[x=-r \sin t\] \[y=-r \cos t\]
    Změna znamének

    Zkusme dosáhnout dalšího požadavku. Chceme, aby se kružnice valila po ose x. Ve stavu, v jakém ji máme, je jakoby do osy x ponořená. To znamená, že ji musíme „zvednout“. Zvedat kružnici lze přidáním nějaké konstanty do rovnice pro y-ovou složku. Chceme aby se nejnižší bod dotýkal osy x, musíme tedy kružnici zvednout o hodnotu poloměru r.

    \[x=-r \sin t\] \[y=-r \cos t+r\]
    Zvednutí kružnice

    V posledním kroku zajistíme, aby se kružnice nejen otáčela na místě, ale valila se. Musíme dosáhnout toho, aby se během otáčení pohybovala směrem doprava. Určitě se musíme zeptat, jak rychle se musí tímto směrem pohybovat. Zamyslete se, kam až se musí dostat po otočení o celou jednu otáčku (změna t o 2π). Vzhledem k tomu, že se má valit bez prokluzu, musí se každý bod po jedné otočce ocitnout o hodnotu obvodu kružnice dále po ose x. Hodnota obvodu je 2πr. Složka x se tedy musí při změně t o 2π ocitnout o 2πr dále. Zároveň nesmí tato poslední změna rovnice nijak změnit počáteční polohu. Těchto dvou požadavků dosáhneme přičtením r·t k rovnici x. Při parametru t=0 se hodnota rovnice proti předchozí nezmění, pro parametr t=2π bude o 2πr větší.

    \[x=-r \sin t+rt\] \[y=-r \cos t+r\]
    Valení kružnice

    A máme hotovo. Máme parametrické vyjádření cykloidy. Stačí už jen rovnice upravit do trochu hezčí podoby:

    \[x=r(t- \sin t)\] \[y=r(1- \cos t).\]
  • Řešení a - matematické

    Začneme zakreslením kružnice, která se odvalila o malý kousek menší než 1/4 otáčky, do kartézských souřadnic.

    Bod, jehož dráhu vyšetřujeme, si označíme písmenem B, nejnižší bod kružnice A, počáteční bod souřadnic 0, poloměr kružnice r a střed kružnice S. Stejně jako v případě parametrického vyjádření kružnice zde bude vystupovat parametr t, který udává úhel mezi úsečkami SA a SB.

    První část cykloidy

    Jistě bude nejvhodnější, pokud bude cykloida začínat v bodě 0 souřadného systému. Stejně tak by měl v počátku cykloidy být nulový parametr t. Tímto jsme si stanovili první požadavky na naše parametrické rovnice. Pro t = 0 musí platit:

    \[x(0)=0\] \[y(0)=0.\]

    Nyní se můžeme zaměřit na samotné průměty bodu B do souřadných os po odvalení. Tyto průměty si označíme XB a YB. To, co hledáme, jsou de facto velikosti úseček |0XB| a |0YB|, protože ty udávají, o kolik se posunul bod B ve směru osy x a osy y.

    Zaměříme se na velikosti úseček, které hledáme, a čemu z obrázku se rovnají.

    Nejprve průmět do osy x:

    \[|\textit{0}X_B|=|\textit{0}A|-|X_BA|.\]

    Velikost úsečky 0A je rovna velikosti oblouku AB a po celou dobu valení tomu tak bude. A právě velikost oblouku lze vyjádřit i jinak. Jde o poloměr kružnice vynásobený velikostí příslušného úhlu v radiánech.

    \[|\textit{0}A|=\stackrel{\ \ \Large\frown}{|AB|}=r\cdot t\]

    Nyní nám zbývá vyjádřit si druhý člen rozdílu v rovnici pro průmět do osy x, tedy velikost úsečky XBA.

    Podíváme-li se na tuto úsečku, vidíme, že je rovna vzdálenosti bodu B od úsečky SA. Aby se nám tato vzdálenost dobře vyjadřovala, promítneme si y-ovou složku bodu B na úsečku SA. Tím vznikne další úsečka BY2B, pro kterou bude platit:

    \[|X_BA|=|BY_{2B}|.\]

    Body B, Y2B a S tvoří pravoúhlý trojúhelník, kde přepona je rovna poloměru kružnice. Vyjádříme si sinus a cosinus úhlu t.

    \[\sin t=\frac{|BY_{2B}|}{r}\] \[\cos t=\frac{|SY_{2B}|}{r}\]

    Ihned vidíme, že funkci sinus lze vyjádřit námi hledanou velikostí úsečky BY2B a známým poloměrem. Proto neznámou velikost úsečky vyjádříme úpravou tohoto vztahu:

    \[|BY_{2B}|=r\cdot\sin t.\]

    Tím máme hledané řešení, stačí jen vztahy spojit a zjednodušit.

    \[|\textit{0}X_B|=r\cdot t-r\cdot\sin t=r\cdot (t-\sin t)\]

    A máme x-ový průmět bodu P, neboli x-ovou parametrickou rovnici cykloidy.

    S y-ovým průmětem zkusíme postupovat obdobně. Podíváme se, zda se také nerovná nějakému rozdílu úseček, které bychom mohli být schopni vyjádřit. Lze snadno vidět, že se jedná o velikost poloměru kružnice bez malé úsečky SY2B

    \[|0Y_B|=|AY_{2B}|=r-|SY_{2B}|\]

    Výraz |SY2B| nám již vystupoval ve vyjádření cosinu úhlu t

    \[\cos t=\frac {|SY_{2B}|}{r}\rightarrow|SY_{2B}|=r\cdot\cos t\] \[|\textit{0}Y_B|=r-r\cdot\cos t=r\cdot(1-\cos t)\]

    Tím jsme získali y-ový průmět bodu B. Jsme tedy hotovi.

    \[x=r\cdot(t-\sin t)\] \[y=r\cdot (1-\cos t)\]
  • Nápověda b

    Pokud přímo neznáte vyjádření délky obecné křivky v prostoru, pokuste se jej odvodit. Libovolnou jednoduchou křivku si nakreslete a přemýšlejte, jak spočítat délku nějaké její malé části.

    Vzhedem k tomu, že většina křivek, včetně naší cykloidy, bývá vyjádřena parametricky, pokuste se do výpočtu zakomponovat parametr t.

    Jakou matematickou operaci znáte, která by dokázala sečíst všechny malé úseky křivky?

  • Řešení b

    Pokud známe parametrické vyjádření cykloidy a vzorec pro výpočet délky křivky v prostoru, je zbytek „jen“ výpočtem derivací a integrálu.

    První krok bude spočívat v dosazení parametrických rovnic cykloidy do rovnice pro délku křivky.

    Parametrické vyjádření cykloidy:

    \[x\,=\,r\cdot(t-\sin t)\] \[y\,=\,r\cdot (1-\cos t)\]

    Ze vzorce pro výpočet délky křivky víme, že budeme potřebovat derivace všech složek cykloidy podle parametru t.

    \[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=r-r \cos t\] \[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=r\sin t\]

    Dále připravené derivace dosadíme do vzorce pro délku křivky (*) (viz Řešení nápovědy b). Nezapomeňte že pod odmocninou jsou derivace na druhou!

    \[s_\Gamma = \int_{a}^{b} \sqrt{\left( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right)^2+ \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \right)^2} \mathrm{d} t\tag{*}\]

    Pro naši cykloidu platí:

    \[s_c=\int_{a}^{b}\sqrt{(r-r\cos t)^2+(r\sin t)^2} \mathrm{d}t.\]

    Pro výpočet integrálu bude zapotřebí určit integrační meze a a b, neboli odkud kam budeme integrovat. Pro jejich určení stačí zjistit, jakých hodnot bude nabývat parametr t. Nevíme-li to ihned, stačí se zamyslet: chceme znát délku jednoho oblouku cykloidy, tzn. že hodnota y musí začít od nuly, dostat se do maxima a opět se vrátit do nuly. (Představte si jak bod, který vykresluje křivku, putuje). Podíváme-li se na parametrické vyjádření y-ové složky, vidíme že přesně to zajišťuje funkce cosinus, a ta se začne opakovat po 2π. Integrační meze tedy budou:

    \[a=0 \;,\; b=2\pi\]

    Dalším krokem bude zjednodušit výraz uvnitř integrálu.

    Využijeme vzorec pro výpočet druhé mocniny rozdílu a upravíme běžnými algebraickými pravidly.

    \[s_c=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{r^2-2r^2\cos t+r^2\cos^2 t+r^2\sin^2 t}\space \mathrm{d}t\]

    Poloměr r je v každém členu a jedná se o konstantu, můžeme jej tedy vytknout před integrál.

    \[s_c=\int_{0}^{2\pi}r\sqrt{1-2\cos t+\cos^2 t+\sin^2 t}\space \mathrm{d}t\]

    Součet druhých mocnin sinu a cosinu je známá „goniometrická jednička”.

    \[s_c=\int_{0}^{2\pi}r\sqrt{2-2\cos t}\space \mathrm{d}t\]

    Tento výraz stále nedokážeme přímo zintegrovat. Zamyslíme se, jaké další goniometrické vztahy známe a jakého bychom mohli využít.

    Výraz pod odmocninou je nejpodobnější pravé straně vzorce

    \[|\sin{\frac{\alpha}{2}}|=\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}}.\]

    Abychom se k tomuto tvaru dostali, provedeme následující operace:

    \[s_c=r\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2}\sqrt{1-\cos t}\space \mathrm{d}t \space\space /\cdot \frac{\sqrt {2}}{\sqrt{2}}\] \[s_c=r\int_{0}^{2\pi}2\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}\space \mathrm{d}t\] \[s_c=r\int_{0}^{2\pi}2|\sin{\frac{t}{2}}|\space \mathrm{d}t\]

    Nyní vyvstává otázka, co s absolutní hodnotou. Co zde vlastně způsobuje?

    Absolutní hodnota způsobí, že i když bude sinus záporný, výsledek v absolutní hodnotě bude kladný. Sinus bude záporný, pokud hodnota jeho argumentu bude ležet v lichém celočíselném násobku intervalu (π;2π). My ale víme, že t nabývá hodnot ‹0;2π) a celý argument sin(t/2) tím pádem ‹0;π). Na tomto intervalu nabývá sinus jen kladných hodnot, absolutní hodnotu můžeme tedy vynechat.

    \[s_c=2r\int_{0}^{2\pi}\sin{\frac{t}{2}}\space \mathrm{d}t\]

    Zbývá problém se zlomkem. Ten vyřeší vhodná substituce.

    \[u=\frac{t}{2}\] \[\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\mathrm{d}t\] \[2\mathrm{d}u=\mathrm{d}t\]

    Bude samozřejmě zapotřebí přepočíst také integrační meze dosazením do první substituční rovnice.

    \[u_a=\frac{t_a}{2}=\frac{0}{2}=0\] \[u_b=\frac{t_b}{2}=\frac{2\pi}{2}=\pi\]

    Integrál bude mít po substituci tvar

    \[s_c=2r\int_{0}^{\pi}2\sin{u}\space \mathrm{d}u.\]

    Takový integrál již dovedeme snadno spočítat.

    \[s_c=4r[-\cos u]_0^\pi=4r(-\cos\pi-(-\cos 0))=4r[-(-1)-(-1)]\]

    Výsledná délka jednoho oblouku cykloidy je tedy

    \[s_c=8r.\]
  • Odpověď a

    Parametrické vyjádření cykloidy:

    \[x=r\cdot (t-\sin t)\] \[y=r\cdot (1-\cos t),\]

    kde t ∈ ‹0;2π)

  • Odpověď b

    Délka jednoho oblouku cykloidy:

    \[s_c=8r\]
  • Podobná úloha

    Pokud potřebujete procvičovat dále, nebo problematiku lépe pochopit, podívejte se na podobnou úlohu Jedoucí kolo.
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze