Diferenciální operátory ve válcových souřadnicích
Úloha číslo: 263
Válcové souřadnice (r, φ, z) bodu P jsou definovány následovně: r je vzdálenost od počátku vztažné soustavy. Souřadnice θ je orientovaný úhel, který svírá spojnice bodu P a počátku s osou z, přičemž jej měříme od osy z. A souřadnice z má stejný význam jako v kartézské soustavě.
Vztah válcových a kartézských souřadnic popisují rovnice
\[x = r\,\cos\phi\] \[y = r\,\sin\phi\] \[z = z.\]Ve válcových souřadnicích definujeme tři jednotkové vektory
\[\vec r_0,\vec \theta_0,\vec z_0,\]mířící ve „směru růstu jednotlivých souřadnic“. Jestliže označíme jednotkové vektory v kartézské soustavě mířící po pořadě ve směru kladných poloos x,y,z postupně
\[\vec x_0,\vec y_0,\vec z_0,\]potom formálně můžeme jednotkové vektory ve válcových souřadnicích definovat vztahy
\[\vec r_0 = \cos\phi\,\vec x_0 + \sin\phi\,\vec y_0\] \[\vec \phi_0 = -\sin\phi\,\vec x_0 + \cos\phi\,\vec y_0\] \[\vec z_0 = \vec z_0.\](Protože třetí jednotkový vektor je stejný v obou typech souřadnic, není zde žádná inkonsistence ve značení.)
(a) Ověřte, že vektory \[\vec r_0,\ \vec\phi_0,\ \vec z_0\] mají jednotkovou velikost a jsou navzájem kolmé.
(b) Ukažte, že gradient skalárního pole T má ve válcových souřadnicích tvar
\[\nabla T = \frac{\partial T}{\partial r}\vec r_0 + \frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial \phi}\vec \phi_0 + \frac{\partial T}{\partial z}\vec z_0.\](c) Ukažte, že divergence vektorového pole \(\vec v\) má tvar
\[\nabla\cdot\vec v = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rv_r)+\frac{1}{r}\frac{\partial v_\phi}{\partial\phi}+\frac{\partial v_z}{\partial z}.\](d) Ukažte, že rotace vektorového pole \(\vec v\) má tvar
\[\nabla\times\vec v = \left(\frac{1}{r}\frac{\partial v_z}{\partial \phi}-\frac{\partial v_\phi}{\partial z}\right)\,\vec r_0 + \left(\frac{\partial v_r}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial r}\right)\,\vec \phi_0 + \frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(rv_\phi)-\frac{\partial v_r}{\partial \phi}\right]\,\vec z_0.\]Rozbor
Úlohu budeme řešit přímým výpočtem.
S výjimkou části (a), kterou lze vyřešit přímočarým počítáním, máme v ostatních částech úlohy převádět různé diferenciální operátory. K tomu potřebujeme zvládnout:
- vyjádřit parciální derivace podle kartézských souřadnic pomocí parciálních derivací podle sférických souřadnic
- vypočítat složky vektoru ve sférických souřadnicích z jeho sloužek v souřadnicích kartézských
Komentář — k vyjádření „válcových“ jednotkových vektorů
Asi nejnázornější cestou, jak tyto vektory vyjádřit, je využít geometrie. Tady poukážeme na způsob, jak k nim dojít na základě ryze početních úvah.
V jakýchkoli souřadnicích definujeme základní jednotkové vektory tak, aby mířili ve směru přírůstku jednotlivých souřadnic. V kartézské soustavě tedy míří ve směru kladných poloos x, y, z.
Má-li být stejná konvence dodržena také u válcových souřadnic, pak musí platit, že jednotkové vektory \(\vec r_0,\,\vec\phi_0,\,\vec z_0\) musí mít směr přírůstku souřadnic \(r,\ \phi,\ z\). To jest, popořadě musí mít směr vektorů
\[\frac{\partial\vec r}{\partial r}, \quad \frac{\partial\vec r}{\partial \phi}, \quad \frac{\partial\vec r}{\partial z},\]kde \(\vec r\) je polohový vektor. V kartézských souřadnicích samozřejmě platí, že
\[\vec r = (x,y,z),\]neboli v jiném zápisu
\[\vec r = x\vec x_0 + y\vec y_0 + z\vec z_0.\]Nyní využijeme definičních vztahů sférických souřadnic a dosazením za x, y, z dostaneme, že
\[\vec r = r\,\cos\,\phi\, \vec x_0 + r\,\sin\,\phi\,\vec y_0 + z\,\vec z_0.\]Nyní vypočteme hledané derivace (uvědomte si, že vektory \(\vec x_0, \, \vec y_0, \, \vec z_0\) jsou konstantní)
\[\frac{\partial\vec r}{\partial r} = \cos\,\phi\, \vec x_0 + \sin\,\phi\,\vec y_0 + 0\,\vec z_0\] \[\frac{\partial\vec r}{\partial \phi} = -r\,\sin\,\phi\, \vec x_0 + r\,\cos\,\phi\,\vec y_0 + 0\,\vec z_0\] \[\frac{\partial\vec r}{\partial z} = 0\, \vec x_0 + 0\,\vec y_0 + 1\,\vec z_0.\]Nyní stačí tyto tři vektory podělit jejich velikostí. Protože platí (podle Pythagorovy věty pro vektorovou algebru, neboť „kartézské“ vektory jsou jednotkové a na sebe kolmé)
\[\left|\frac{\partial\vec r}{\partial r}\right|^2 = \cos^2\phi + \sin^2\phi = 1\] \[\left|\frac{\partial\vec r}{\partial \phi}\right|^2 = r^2\,\sin^2\phi + r^2\,\cos^2\phi = r^2\] \[\left|\frac{\partial\vec r}{\partial z}\right|^2 = 1,\]dostáváme, že
\[\vec r_0 = \frac{\frac{\partial\vec r}{\partial r}}{|\frac{\partial\vec r}{\partial r}|} = \cos\,\phi\, \vec x_0 + \sin\,\phi\,\vec y_0 \] \[\vec \phi_0 = \frac{\frac{\partial\vec r}{\partial \phi}}{|\frac{\partial\vec r}{\partial \phi}|} = -\sin\,\phi\, \vec x_0 + \cos\,\phi\,\vec y_0 \] \[\vec z_0 = \frac{\frac{\partial\vec r}{\partial z}}{|\frac{\partial\vec r}{\partial z}|} = \vec z_0.\]Poznámka: protože souřadnici z mají kartézské i válcové souřadnice společnou, nemuseli bychom ji zde přepočítávat.
Řešení části (a)
Nejprve ověříme, že vektory \(\vec r_0, \ \vec\phi_0, \ \vec z_0\) jsou jednotkové (o posledním z nich to víme). K tomu využijeme, že „kartézské“ jednotkové vektory \(\vec x_0,\ \vec y_0,\ \vec z_0\) jsou jednotkové a na sebe kolmé. To znamená, že
\[\vec x_0\cdot \vec x_0 = 1, \quad \vec y_0\cdot\vec y_0 = 1, \quad \vec z_0\cdot \vec z_0 = 1\] \[\vec x_0\cdot \vec y_0 = 0, \quad \vec x_0\cdot\vec z_0 = 0, \quad \vec y_0\cdot \vec z_0 = 0\ .\]Díky těmto vztahům dostáváme (podle Pythagorovy věty pro vektorovou algebru), že
\[|\vec r_0|^2 = \vec r_0\cdot\vec r_0 = \cos^2\,\phi + \sin^2\,\phi = 1.\]Obdobně platí
\[|\vec \phi_0|^2 = \vec \phi_0\cdot\vec \phi_0 = \sin^2\,\phi + \cos^2\,\phi)^2 = 1.\]Nyní ověříme kolmost dvojic různých vektorů \(\vec r_0,\ \vec \phi_0, \ \vec z_0\). K tomu stačí spočítat jejich skalární součin
\[\vec r_0 \cdot \vec \phi_0 = -\cos\,\phi\,\sin\,\phi + \sin\,\phi\,\cos\,\phi = 0.\]Dále je
\[\vec r_0 \cdot \vec z_0 = 0 + 0 + 0 = 0\]a také platí
\[\vec \phi_0 \cdot \vec z_0 = 0 + 0 + 0 = 0.\]Vyjádření kartézských jednotkových vektorů pomocí válcových
Ukažte, že platí:
\[\vec x_0 = \cos\phi\,\vec r_0 - \sin\phi\,\vec \phi_0\] \[\vec y_0 = \sin\phi\,\vec r_0 + \cos\phi\,\vec \phi_0\] \[\vec z_0 = \vec z_0.\]Válcové souřadnice vyjádřené pomocí kartézských souřadnic
Ukažte, že platí:
\[r = \sqrt{x^2+y^2}\] \[\phi = \arctan\ \frac{y}{x}\] \[z = z.\]Výpočet parciálních derivací – shrnutí vztahů
Pro další účely vypočtěte postupně parciální derivace proměnných \(r,\ \phi,\ z\) podle proměnných \(x,\ y,\ z\) (celkem devět derivací). K tomu použijte vyjádření \(r,\ \phi,\ z\) jako funkcí kartézských souřadnic.
Nakonec tyto parciální derivace vyjádřete pomocí souřadnic válcových, to jest pomocí proměnných \(r,\ \phi,\ z\).
Konkrétně ukažte, že platí
\[\frac{\partial r}{\partial x} = \cos\,\phi\tag{a1}\] \[\frac{\partial r}{\partial y} = \sin\,\phi\tag{a2}\] \[\frac{\partial r}{\partial z} = 0\tag{a3}\] \[ \frac{\partial \phi}{\partial x} = -\frac{1}{r}\,\sin\,\phi\tag{b1}\] \[ \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{1}{r}\,\cos\,\phi\tag{b2}\] \[ \frac{\partial \phi}{\partial z} = 0\tag{b3}\] \[\frac{\partial z}{\partial x} = 0\tag{c1}\] \[\frac{\partial z}{\partial y} = 0\tag{c2}\] \[\frac{\partial z}{\partial z} = 1\ .\tag{c3}\]Nápověda k části (b)
Pro přepočítání parciálních derivací
\[\frac{\partial T}{\partial x}, \quad \frac{\partial T}{\partial y}, \quad \frac{\partial T}{\partial z},\]použijte řetízkové pravidlo:
\[\frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\partial T}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial T}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial T}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}\] \[\frac{\partial T}{\partial y} = \frac{\partial T}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial T}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y} + \frac{\partial T}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y},\]přičemž si uvědomte, že (poslední) parciální derivace proměnné z v předchozích vztazích jsou nulové (viz nápovědy výše). Poslední derivaci není třeba přepočítávat, neboť souřadnice z má stejný význam ve válcových i kartézských souřadnicích.
Řešení části (b)
Nechť T je skalární pole. V kartézských souřadnicích je jeho gradient definován jako vektorové pole
\[\nabla T = \left(\frac{\partial T}{\partial x},\ \frac{\partial T}{\partial y},\ \frac{\partial T}{\partial z}\right),\]nebo můžeme také psát, že
\[\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec x_0 + \frac{\partial T}{\partial y}\vec y_0 + \frac{\partial T}{\partial z}\vec z_0.\]V tomto vyjádření použijeme řetízkové pravidlo
\[\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec x_0 + \frac{\partial T}{\partial y}\vec y_0 + \frac{\partial T}{\partial z}\vec z_0 = \left(\frac{\partial T}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial T}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial T}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}\right)\,\vec x_0 +\] \[+ \left(\frac{\partial T}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial T}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y} + \frac{\partial T}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}\right)\, \vec y_0 + \frac{\partial T}{\partial z}\, \vec z_0 =\]a posléze dosadíme za parciální derivace a jednotkové vektory z nápověd výše
\[= \left(\frac{\partial T}{\partial r}\,\cos\,\phi - \frac{\partial T}{\partial \theta}\,\frac{1}{r}\,\sin\,\phi\,+\,0\right)\,\,\left(\cos\,\phi\,\vec r_0 - \sin\,\phi\,\vec \phi_0\right) +\] \[+ \left(\frac{\partial T}{\partial r}\,\sin\,\phi + \frac{\partial T}{\partial \phi}\,\frac{1}{r}\,\cos\,\phi\,+\,0\right) \,\,\left(\sin\,\phi\,\vec r_0 + \cos\,\phi\,\vec \phi_0\right) + \frac{\partial T}{\partial z}\,\vec z_0\]a po úpravách dostaneme hledaný vztah
\[\nabla T = \frac{\partial T}{\partial r}\,\vec r_0 + \frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial \phi}\,\vec \phi_0 + \frac{\partial T}{\partial z}\,\vec z_0.\]Nápověda k části (c)
Divergence vektorového pole \(\vec v\) je v kartézských souřadnicích definována vztahem
\[\nabla\cdot\vec v = \frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}.\]Nejprve použijeme řetízkového pravidla. Platí, že
\[\frac{\partial v_x}{\partial x} = \frac{\partial v_x}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}\] \[\frac{\partial v_y}{\partial y} = \frac{\partial v_y}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y},\]přičemž v těchto vztazích jsou parciální derivace proměnné z podle x, y nulové. Poslední parciální derivaci \(\partial v_z/\partial z\) není potřeba přepočítávat.
Poté ještě musíme kartézské složky vektoru \(\vec v\) vyjádřit pomocí „sférických složek“ a sférických souřadnic.
To provedeme tak, že ve vztahu
\[\vec v = v_r\vec r_0 + v_\theta\vec \theta_0 + v_\varphi\vec \varphi_0\]nahradíme vektory \(\vec r_0, \, \vec \theta_0, \, \vec \varphi_0\) jejich vyjádřením pomocí kartézských souřadnic (viz nápovědu výše).
Řešení části (c)
Přečtěte si nápovědu k této části. Obsahuje počáteční kroky řešení, na které nyní navážeme.
Nejprve ve vyjádření vektoru ve válcových souřadnicích
\[\vec v = v_r\vec r_0 + v_\phi\vec \phi_0 + v_z\vec z_0,\]nahradíme válcové jednotkové vektory kartézskými podle vztahů uvedených v zadání úlohy
\[\vec r_0 = \cos\,\phi\,\vec x_0 + \sin\,\phi\,\vec y_0\] \[\vec \phi_0 = -\sin\,\phi\,\vec x_0 + \cos\,\phi\,\vec y_0\] \[\vec z_0 = \vec z_0.\]Dostaneme tak, že
\[\vec v = \left(v_r\cos\,\phi - v_\phi\sin\,\phi\right)\vec x_0 +\left(v_r\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\right)\vec y_0 + v_z\,\vec z_0.\]Porovnáním se vztahem
\[\vec v = v_x\vec x_0 + v_y\vec y_0 + v_z\vec z_0,.\]dostaneme, že
\[v_x = v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi\] \[v_y = v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\] \[v_z = v_z.\]Kombinací řetízkového pravidla, parciálních derivací vypočtených v nápovědě výše a právě odvozených vztahů přepočítáme první parciální derivaci v definici divergence:
\[\frac{\partial v_x}{\partial x} = \frac{\partial v_x}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} = \] \[=\frac{\partial}{\partial r}\left(v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi\right) \ (\cos\,\phi) + \frac{\partial}{\partial \phi}\left(v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi\right) \ \left(-\frac{1}{r}\,\sin\,\phi\right) + 0 \ =\]a nyní je potřeba provést derivování závorek a přenásobení:
\[= \frac{\partial v_r}{\partial r}\,\cos^2\phi - \frac{\partial v_\theta}{\partial r}\,\sin\,\phi\,\cos\,\phi - \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \phi}\,\sin\,\phi\,\cos\,\phi + \frac{1}{r}v_r\,\sin^2\phi + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\phi}{\partial \phi}\,\sin^2\phi + \frac{1}{r}v_\phi\,\sin\,\phi\,\cos\,\phi.\]Obdobně vypočteme y-ový člen:
\[\frac{\partial v_y}{\partial y} = \frac{\partial v_y}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y} =\] \[ = \frac{\partial}{\partial r}\left(v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\right) \ (\cos\,\phi) + \frac{\partial}{\partial \phi}\left(v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\right) \ \left(-\frac{1}{r}\,\sin\,\phi\right) + 0 \ =\]a nyní provedeme derivování členů v závorkách a přenásobení:
\[= \frac{\partial v_r}{\partial r}\,\sin^2\phi +\frac{\partial v_\theta}{\partial r}\,\sin\,\phi\,\cos\,\phi + \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \phi}\,\sin\,\phi\,\cos\,\phi + \frac{1}{r}v_r\,\cos^2\phi + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\phi}{\partial \phi}\,\cos^2\phi - \frac{1}{r}v_\phi\,\sin\,\phi\,\cos\,\phi.\]Poslední z-ový člen není potřeba přepočítávat.
Dosazením do definičního vztahu pro divergenci
\[\nabla \cdot \vec v = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z},\]z předchozích výpočtů dostáváme po jednoduchých úpravách
\[\nabla \cdot \vec v = \frac{\partial v_r}{\partial r} + \frac{1}{r}v_r + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\phi}{\partial \phi} + \frac{\partial v_z}{\partial z}.\]Zderivujeme-li závorku ve vztahu pro divergenci uvedeném v zadání úlohy
\[\nabla\cdot\vec v = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rv_r) + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\phi}{\partial \phi} + \frac{\partial v_z}{\partial z},\]ihned vidíme, že hledaný a získaný vztah jsou vskutku totožné.
Nápověda k části (d)
Rotace v kartézských souřadnicích je vektor, který značíme \(\nabla\times\vec v\) a jehož složky jsou definovány následovně:
\[(\nabla\times\vec v)_x = \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}\] \[(\nabla\times\vec v)_y = \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x}\] \[(\nabla\times\vec v)_z = \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}.\]Naším úkolem je najít složky tohoto vektoru ve válcových souřadnicích a jednotlivé členy vyjádřit pomocí složek vektoru \(\vec v\) ve válcových souřadnicích – to jest pomocí \(v_r,\ v_\phi,\ v_z\) – a jejich derivací podle válcových souřadnic.
Začneme tak, že kartézské složky vektoru rotace \((\nabla\times\vec v)_{x,y,z}\) vyjádříme pomocí válcových souřadnic vektoru \(\vec v\) a jejich derivací podle válcových souřadnic. K tomu použijeme řetízkové pravidlo a již výše spočtené parciální derivace.
Poté použijeme následující postup. Jestliže libovolný vektor \(\vec u\) má souřadnice (ux, uy, uz), pak jej lze psát ve tvaru
\[\vec u = u_x\vec x_0 + u_y\vec y_0 + u_z\vec z_0\]a dosazením za kartézské jednotkové vektory z jejich vyjádření pomocí válcových jednotkových vektorů umíme získat souřadnice vektoru \(\vec u\) ve válcových souřadnicích.
Řešení části (d)
Složky vektoru rotace mají tvar
\[(\nabla\times\vec v)_x = \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}\] \[(\nabla\times\vec v)_y = \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x}\] \[(\nabla\times\vec v)_z = \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}.\]Tyto parciální derivace vyjádříme pomocí válcových souřadnic.
Z předchozí části (c) víme, že platí
\[ v_x = v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi\] \[ v_y = v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\] \[ v_z = v_z.\]z-ová složka rotace
Podle řetízkového pravidla pak máme
\[\frac{\partial v_x}{\partial y} = \frac{\partial v_x}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial v_x}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y} + \frac{\partial v_x}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y} =, \]nyní dosadíme z předchozích vztahů pro složku vx a příslušné parciální derivace (viz nápověda výše)
\[= \frac{\partial}{\partial r}\left(v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi\right)\ (\sin\,\phi) + \frac{\partial}{\partial \theta}\left(v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi\right)\ \left(\frac{1}{r}\,\cos\,\phi\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi\right)\ (0).\]Znovu podle řetízkového pravidla můžeme psát
\[\frac{\partial v_y}{\partial x} = \frac{\partial v_y}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} =, \]nyní dosadíme z předchozích vztahů pro složku vy a příslušné parciální derivace (viz nápověda výše)
\[= \frac{\partial}{\partial r}\left(v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\right)\ (\cos\,\phi) +\frac{\partial}{\partial \theta}\left(v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\right)\ \left(-\frac{1}{r}\,\sin\,\phi\right) +\frac{\partial}{\partial \varphi}\left(v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\right)\ \left(0\right).\]Dosazením do vztahu
\[(\nabla\times \vec v)_z = \frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y} =,\]provedením derivování v závorkách a jednoduchými úpravami dostaneme
\[ = \frac{\partial v_\phi}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \phi} + \frac{1}{r}v_\phi = \frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(rv_\phi) - \frac{\partial v_r}{\partial\phi}\right].\tag{R1}\]Což je část hledaného vyjádření vektoru rotace.
y-ová složka rotace
Podle řetízkového pravidla pak máme
\[\frac{\partial v_z}{\partial x} = \frac{\partial v_z}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial v_z}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial v_z}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} = \]a nyní dosadíme za parciální derivace souřadnic (viz nápověda výše)
\[= \frac{\partial v_z}{\partial r}\,\cos\,\phi - \frac{\partial v_z}{\partial \phi}\,\frac{1}{r}\,\sin\,\phi + 0.\]Ve druhé parciální derivaci \(\frac{\partial v_x}{\partial z}\) řetízkové pravidlo používat nemusíme, neboť z je proměnná i ve válcových souřadnicích. Dosadíme tak pouze z předchozího vztahu za vx pomocí složek vektoru \(\vec v\) ve válcových souřadnicích:
\[\frac{\partial v_x}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\left(v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi\right) = \frac{\partial v_r}{\partial z}\,\cos\,\phi - \frac{\partial v_\phi}{\partial z}\,\sin\,\phi.\]Využitím obou předchozích vztahů dostaneme, že
\[(\nabla\times \vec v)_y = \frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}= \left(\frac{1}{r}\frac{\partial v_z}{\partial \phi}-\frac{\partial v_\phi}{\partial z}\right)\,\sin\phi + \left(\frac{\partial v_r}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial r}\right)\,\cos\phi. \tag{R2}\]x-ová složka rotace
V parciální derivaci \(\frac{\partial v_y}{\partial z}\) opět nemusíme používat řetízkové pravidlo. Stačí tak dosadit z předchozích vztahů pro složku vy (viz výše)
\[\frac{\partial v_y}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\left(v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\right) = \frac{\partial v_r}{\partial z}\,\sin\,\phi + \frac{\partial v_\phi}{\partial z}\,\cos\,\phi.\]Ve druhé parciální derivaci této složky rotace už řetízkové pravidlo užít musíme:
\[\frac{\partial v_z}{\partial y} = \frac{\partial v_z}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y} = ,\]nyní dosadíme z předchozích vztahů pro příslušné parciální derivace souřadnic (viz nápověda výše)
\[= \frac{\partial v_z}{\partial r}\,\sin\,\phi + \frac{1}{r}\,\frac{\partial v_z}{\partial \phi}\,\cos\,\phi + 0.\]Využitím obou předchozích vztahů dostaneme, že
\[(\nabla\times \vec v)_x = \frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z} = \left(\frac{1}{r}\frac{\partial v_z}{\partial \phi}-\frac{\partial v_\phi}{\partial z}\right)\,\cos\phi + \left(\frac{\partial v_z}{\partial r}-\frac{\partial v_r}{\partial z}\right)\,\sin\phi .\tag{R3}\]Přepočet do válcových souřadnic
Nyní ještě musíme přepočítat kartézské souřadnice vektoru rotace do souřadnic válcových. Obecně platí, že pokud má vektor \(\vec u\) kartézské souřadnice (ux, uy, uz), potom lze psát
\[\vec u = u_x\vec x_0 + u_y\vec y_0 + u_z\vec z_0\]a souřadnice válcové \(u_r,\ u_\phi,\ u_z\) lze získat tak, že za vektory \(\vec x_0, \vec y_0, \vec z_0\) dosadíme jejich vyjádření pomocí vektorů \(\vec r_0, \vec \phi_0, \vec z_0\) (to jsme již provedli výše). Připomeňme, že potom platí
\[\vec x_0 = \cos\,\phi\,\vec r_0 - \sin\,\phi\,\vec\phi_0\] \[\vec y_0 = \sin\,\phi\,\vec r_0 + \cos\,\phi\,\vec\phi_0\] \[\vec z_0 = \vec z_0.\]Dosazením do vztahu výše dostaneme, že
\[\vec u = (u_x\,\cos\,\phi + u_y\,\sin\,\phi)\,\vec r_0 + (-u_x\,\sin\,\phi + u_y\,\cos\,\phi)\,\vec \phi_0 + u_z\,\vec z_0,\]odkud porovnáním se vztahem
\[\vec u = u_r\,\vec r_0 + u_\phi\,\vec\phi_0 + u_z\,\vec z_0,\]ihned vyplývá, že
\[u_r = u_x\,\cos\,\phi + u_y\,\sin\,\phi\] \[u_\phi = -u_x\,\sin\,\phi + u_y\,\cos\,\phi\] \[u_z = u_z.\]Aplikací tohoto obecného vztahu na vektor \(\vec u = (\nabla\times\vec v)\) dostaneme, že
\[(\nabla\times\vec v)_r = (\nabla\times\vec v)_x\,\cos\,\phi + (\nabla\times\vec v)_y\,\sin\,\phi,\]což s využitím vztahů (R2), (R3) výše dává po úpravě
\[(\nabla\times\vec v)_r = \frac{1}{r}\frac{\partial v_z}{\partial \phi} - \frac{\partial v_\phi}{\partial z} ,\]což je další část hledaného vztahu pro rotaci vektoru ve válcových souřadnicích.
Dále ze vztahů pro vektor \(\vec u\) výše máme pro souřadnici \(\phi\):
\[(\nabla\times\vec v)_\phi = -(\nabla\times\vec v)_x\,\sin\,\phi + (\nabla\times\vec v)_y\,\cos\,\phi,\]odkud s využitím vztahů (R2), (R3) výše po úpravě dostaneme
\[(\nabla\times\vec v)_\phi = \frac{\partial v_r}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial r}, \]což je poslední část hledaného vztahu pro rotaci vektoru ve válcových souřadnicích.
Odpověď
Všechny vztahy jsme ověřili.
