Sbírka řešených úloh

Diferenciální operátory ve válcových souřadnicích

Úloha číslo: 263

• Rozbor

  Úlohu budeme řešit přímým výpočtem.

  S výjimkou části (a), kterou lze vyřešit přímočarým počítáním, máme v ostatních částech úlohy převádět různé diferenciální operátory. K tomu potřebujeme zvládnout:

  • vyjádřit parciální derivace podle kartézských souřadnic pomocí parciálních derivací podle sférických souřadnic
  • vypočítat složky vektoru ve sférických souřadnicích z jeho sloužek v souřadnicích kartézských

  Podrobnosti jsou v nápovědách níže.

• Komentář — k vyjádření „válcových“ jednotkových vektorů

  Asi nejnázornější cestou, jak tyto vektory vyjádřit, je využít geometrie. Tady poukážeme na způsob, jak k nim dojít na základě ryze početních úvah.

  V jakýchkoli souřadnicích definujeme základní jednotkové vektory tak, aby mířili ve směru přírůstku jednotlivých souřadnic. V kartézské soustavě tedy míří ve směru kladných poloos x, y, z.

  Má-li být stejná konvence dodržena také u válcových souřadnic, pak musí platit, že jednotkové vektory $\vec r_0,\,\vec\phi_0,\,\vec z_0$ musí mít směr přírůstku souřadnic $r,\ \phi,\ z$. To jest, popořadě musí mít směr vektorů

  $$\frac{\partial\vec r}{\partial r}, \quad \frac{\partial\vec r}{\partial \phi}, \quad \frac{\partial\vec r}{\partial z},$$

  kde $\vec r$ je polohový vektor. V kartézských souřadnicích samozřejmě platí, že

  $$\vec r = (x,y,z),$$

  neboli v jiném zápisu

  $$\vec r = x\vec x_0 + y\vec y_0 + z\vec z_0.$$

  Nyní využijeme definičních vztahů sférických souřadnic a dosazením za x, y, z dostaneme, že

  $$\vec r = r\,\cos\,\phi\, \vec x_0 + r\,\sin\,\phi\,\vec y_0 + z\,\vec z_0.$$

  Nyní vypočteme hledané derivace (uvědomte si, že vektory $\vec x_0, \, \vec y_0, \, \vec z_0$ jsou konstantní)

  $$\frac{\partial\vec r}{\partial r} = \cos\,\phi\, \vec x_0 + \sin\,\phi\,\vec y_0 + 0\,\vec z_0$$ $$\frac{\partial\vec r}{\partial \phi} = -r\,\sin\,\phi\, \vec x_0 + r\,\cos\,\phi\,\vec y_0 + 0\,\vec z_0$$ $$\frac{\partial\vec r}{\partial z} = 0\, \vec x_0 + 0\,\vec y_0 + 1\,\vec z_0.$$

  Nyní stačí tyto tři vektory podělit jejich velikostí. Protože platí (podle Pythagorovy věty pro vektorovou algebru, neboť „kartézské“ vektory jsou jednotkové a na sebe kolmé)

  $$\left|\frac{\partial\vec r}{\partial r}\right|^2 = \cos^2\phi + \sin^2\phi = 1$$ $$\left|\frac{\partial\vec r}{\partial \phi}\right|^2 = r^2\,\sin^2\phi + r^2\,\cos^2\phi = r^2$$ $$\left|\frac{\partial\vec r}{\partial z}\right|^2 = 1,$$

  dostáváme, že

  $$\vec r_0 = \frac{\frac{\partial\vec r}{\partial r}}{|\frac{\partial\vec r}{\partial r}|} = \cos\,\phi\, \vec x_0 + \sin\,\phi\,\vec y_0$$ $$\vec \phi_0 = \frac{\frac{\partial\vec r}{\partial \phi}}{|\frac{\partial\vec r}{\partial \phi}|} = -\sin\,\phi\, \vec x_0 + \cos\,\phi\,\vec y_0$$ $$\vec z_0 = \frac{\frac{\partial\vec r}{\partial z}}{|\frac{\partial\vec r}{\partial z}|} = \vec z_0.$$

  Poznámka: protože souřadnici z mají kartézské i válcové souřadnice společnou, nemuseli bychom ji zde přepočítávat.

• Řešení části (a)

  Nejprve ověříme, že vektory $\vec r_0, \ \vec\phi_0, \ \vec z_0$ jsou jednotkové (o posledním z nich to víme). K tomu využijeme, že „kartézské“ jednotkové vektory $\vec x_0,\ \vec y_0,\ \vec z_0$ jsou jednotkové a na sebe kolmé. To znamená, že

  $$\vec x_0\cdot \vec x_0 = 1, \quad \vec y_0\cdot\vec y_0 = 1, \quad \vec z_0\cdot \vec z_0 = 1$$ $$\vec x_0\cdot \vec y_0 = 0, \quad \vec x_0\cdot\vec z_0 = 0, \quad \vec y_0\cdot \vec z_0 = 0\ .$$

  Díky těmto vztahům dostáváme (podle Pythagorovy věty pro vektorovou algebru), že

  $$|\vec r_0|^2 = \vec r_0\cdot\vec r_0 = \cos^2\,\phi + \sin^2\,\phi = 1.$$

  Obdobně platí

  $$|\vec \phi_0|^2 = \vec \phi_0\cdot\vec \phi_0 = \sin^2\,\phi + \cos^2\,\phi)^2 = 1.$$

  Nyní ověříme kolmost dvojic různých vektorů $\vec r_0,\ \vec \phi_0, \ \vec z_0$. K tomu stačí spočítat jejich skalární součin

  $$\vec r_0 \cdot \vec \phi_0 = -\cos\,\phi\,\sin\,\phi + \sin\,\phi\,\cos\,\phi = 0.$$

  Dále je

  $$\vec r_0 \cdot \vec z_0 = 0 + 0 + 0 = 0$$

  a také platí

  $$\vec \phi_0 \cdot \vec z_0 = 0 + 0 + 0 = 0.$$

• Vyjádření kartézských jednotkových vektorů pomocí válcových

  Ukažte, že platí:

  $$\vec x_0 = \cos\phi\,\vec r_0 - \sin\phi\,\vec \phi_0$$ $$\vec y_0 = \sin\phi\,\vec r_0 + \cos\phi\,\vec \phi_0$$ $$\vec z_0 = \vec z_0.$$

• Vyjádření kartézských jednotkových vektorů – řešení

  Nyní najdeme vyjádření jednotkových vektorů $\vec x_0,\, \vec y_0,\, \vec z_0$ pomocí vektorů $\vec r_0,\,\vec \phi_0,\, \vec z_0$. Pochopitelně vztah

  $$\vec z_0 = \vec z_0$$

  není potřeba dokazovat – jde o stejný vektor v obou typech souřadnic.

  Víme již, že platí

  $$\vec r_0 = \cos\,\phi\,\vec x_0 + \sin\,\phi\,\vec y_0\tag{A}$$ $$\vec \phi_0 = -\sin\,\phi\,\vec x_0 + \cos\,\phi\,\vec y_0\tag{B}$$

  Nyní rovnici (A) vynásobíme členem $\sin\,\phi$ a rovnici (B) členem $\cos\,\phi$ a sečtením dostaneme

  $$\vec y_0 = \sin\,\phi\,\vec s_0 + \cos\,\phi\,\vec\phi_0$$

  Nakonec rovnici (A) vynásobíme členem $\cos\,\phi$ a rovnici (B) členem $-\sin\,\phi$ a sečteme. Dostaneme vztah

  $$\vec x_0 = \cos\,\phi\,\vec s_0 - \sin\,\phi\,\vec \phi_0$$

• Válcové souřadnice vyjádřené pomocí kartézských souřadnic

  Ukažte, že platí:

  $$r = \sqrt{x^2+y^2}$$ $$\phi = \arctan\ \frac{y}{x}$$ $$z = z.$$

• Válcové souřadnice pomocí kartézských – řešení

  Umocněním definičních vztahů pro souřadnice x, y a jejich sečtením dostaneme

  $$x^2+y^2 = r^2(\cos^2\,\phi + \sin^2\,\phi) = r^2,$$

  odkud ihned máme, že

  $$r = \sqrt{x^2+y^2}.$$

  Obdobně zřejmě platí, že

  $$\frac{y}{x} = \tan\phi \ \Rightarrow \ \phi = \arctan\,\frac{y}{x}.$$

• Výpočet parciálních derivací – shrnutí vztahů

  Pro další účely vypočtěte postupně parciální derivace proměnných $r,\ \phi,\ z$ podle proměnných $x,\ y,\ z$ (celkem devět derivací). K tomu použijte vyjádření $r,\ \phi,\ z$ jako funkcí kartézských souřadnic.

  Nakonec tyto parciální derivace vyjádřete pomocí souřadnic válcových, to jest pomocí proměnných $r,\ \phi,\ z$.

  Konkrétně ukažte, že platí

  $$\frac{\partial r}{\partial x} = \cos\,\phi\tag{a1}$$ $$\frac{\partial r}{\partial y} = \sin\,\phi\tag{a2}$$ $$\frac{\partial r}{\partial z} = 0\tag{a3}$$ $$\frac{\partial \phi}{\partial x} = -\frac{1}{r}\,\sin\,\phi\tag{b1}$$ $$\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{1}{r}\,\cos\,\phi\tag{b2}$$ $$\frac{\partial \phi}{\partial z} = 0\tag{b3}$$ $$\frac{\partial z}{\partial x} = 0\tag{c1}$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = 0\tag{c2}$$ $$\frac{\partial z}{\partial z} = 1\ .\tag{c3}$$

• Výpočet parciálních derivací – řešení

  Z vyjádření válcových souřadnic ($r,\ \phi,\ z$) pomocí kartézských souřadnic ($x,\ y,\ z$) – viz nápovědu výše – vypočteme příslušné parciální derivace.

  Pro proměnnou r platí, že

  $$r = \sqrt{x^2+y^2}.$$

  Odtud vyplývá

  $$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{x}{r} = \cos\,\phi\tag{a1}$$ $$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{y}{r} = \sin\,\phi\tag{a2}$$ $$\frac{\partial r}{\partial z} = 0.\tag{a3}$$

  Pro proměnnou $\phi$ máme vztah

  $$\phi = \arctan\ \frac{y}{x},$$

  odkud máme

  $$\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\ \left(-\frac{y}{x^2}\right) = -\frac{y}{x^2+y^2} = - \frac{y}{r^2} = -\frac{1}{r}\,\sin\,\phi.\tag{b1}$$

  Obdobně máme

  $$\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\ \frac{1}{x} = \frac{x}{x^2+y^2} = \frac{x}{r^2} = \frac{1}{r}\,\cos\,\phi\tag{b2}$$

  a konečně

  $$\frac{\partial \phi}{\partial z} = 0,\tag{b3}$$

  neboť $\phi$ jako funkce kartézských souřadnic na z nezávisí.

  Výpočet parciálních derivací pro souřadnici z je jednoduchý

  $$\frac{\partial z}{\partial x} = 0\tag{c1}$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = 0\tag{c2}$$ $$\frac{\partial z}{\partial z} = 1,\tag{c3}$$

  neboť z nezávisí na x ani na y.

• Nápověda k části (b)

  Pro přepočítání parciálních derivací

  $$\frac{\partial T}{\partial x}, \quad \frac{\partial T}{\partial y}, \quad \frac{\partial T}{\partial z},$$

  použijte řetízkové pravidlo:

  $$\frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\partial T}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial T}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial T}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}$$ $$\frac{\partial T}{\partial y} = \frac{\partial T}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial T}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y} + \frac{\partial T}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y},$$

  přičemž si uvědomte, že (poslední) parciální derivace proměnné z v předchozích vztazích jsou nulové (viz nápovědy výše). Poslední derivaci není třeba přepočítávat, neboť souřadnice z má stejný význam ve válcových i kartézských souřadnicích.

• Řešení části (b)

  Nechť T je skalární pole. V kartézských souřadnicích je jeho gradient definován jako vektorové pole

  $$\nabla T = \left(\frac{\partial T}{\partial x},\ \frac{\partial T}{\partial y},\ \frac{\partial T}{\partial z}\right),$$

  nebo můžeme také psát, že

  $$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec x_0 + \frac{\partial T}{\partial y}\vec y_0 + \frac{\partial T}{\partial z}\vec z_0.$$

  V tomto vyjádření použijeme řetízkové pravidlo

  $$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec x_0 + \frac{\partial T}{\partial y}\vec y_0 + \frac{\partial T}{\partial z}\vec z_0 = \left(\frac{\partial T}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial T}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial T}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}\right)\,\vec x_0 +$$ $$+ \left(\frac{\partial T}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial T}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y} + \frac{\partial T}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}\right)\, \vec y_0 + \frac{\partial T}{\partial z}\, \vec z_0 =$$

  a posléze dosadíme za parciální derivace a jednotkové vektory z nápověd výše

  $$= \left(\frac{\partial T}{\partial r}\,\cos\,\phi - \frac{\partial T}{\partial \theta}\,\frac{1}{r}\,\sin\,\phi\,+\,0\right)\,\,\left(\cos\,\phi\,\vec r_0 - \sin\,\phi\,\vec \phi_0\right) +$$ $$+ \left(\frac{\partial T}{\partial r}\,\sin\,\phi + \frac{\partial T}{\partial \phi}\,\frac{1}{r}\,\cos\,\phi\,+\,0\right) \,\,\left(\sin\,\phi\,\vec r_0 + \cos\,\phi\,\vec \phi_0\right) + \frac{\partial T}{\partial z}\,\vec z_0$$

  a po úpravách dostaneme hledaný vztah

  $$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial r}\,\vec r_0 + \frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial \phi}\,\vec \phi_0 + \frac{\partial T}{\partial z}\,\vec z_0.$$

• Nápověda k části (c)

  Divergence vektorového pole $\vec v$ je v kartézských souřadnicích definována vztahem

  $$\nabla\cdot\vec v = \frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}.$$

  Nejprve použijeme řetízkového pravidla. Platí, že

  $$\frac{\partial v_x}{\partial x} = \frac{\partial v_x}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}$$ $$\frac{\partial v_y}{\partial y} = \frac{\partial v_y}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y},$$

  přičemž v těchto vztazích jsou parciální derivace proměnné z podle x, y nulové. Poslední parciální derivaci $\partial v_z/\partial z$ není potřeba přepočítávat.

  Poté ještě musíme kartézské složky vektoru $\vec v$ vyjádřit pomocí „sférických složek“ a sférických souřadnic.

  To provedeme tak, že ve vztahu

  $$\vec v = v_r\vec r_0 + v_\theta\vec \theta_0 + v_\varphi\vec \varphi_0$$

  nahradíme vektory $\vec r_0, \, \vec \theta_0, \, \vec \varphi_0$ jejich vyjádřením pomocí kartézských souřadnic (viz nápovědu výše).

• Řešení části (c)

  Přečtěte si nápovědu k této části. Obsahuje počáteční kroky řešení, na které nyní navážeme.

  Nejprve ve vyjádření vektoru ve válcových souřadnicích

  $$\vec v = v_r\vec r_0 + v_\phi\vec \phi_0 + v_z\vec z_0,$$

  nahradíme válcové jednotkové vektory kartézskými podle vztahů uvedených v zadání úlohy

  $$\vec r_0 = \cos\,\phi\,\vec x_0 + \sin\,\phi\,\vec y_0$$ $$\vec \phi_0 = -\sin\,\phi\,\vec x_0 + \cos\,\phi\,\vec y_0$$ $$\vec z_0 = \vec z_0.$$

  Dostaneme tak, že

  $$\vec v = \left(v_r\cos\,\phi - v_\phi\sin\,\phi\right)\vec x_0 +\left(v_r\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\right)\vec y_0 + v_z\,\vec z_0.$$

  Porovnáním se vztahem

  $$\vec v = v_x\vec x_0 + v_y\vec y_0 + v_z\vec z_0,.$$

  dostaneme, že

  $$v_x = v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi$$ $$v_y = v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi$$ $$v_z = v_z.$$

  Kombinací řetízkového pravidla, parciálních derivací vypočtených v nápovědě výše a právě odvozených vztahů přepočítáme první parciální derivaci v definici divergence:

  $$\frac{\partial v_x}{\partial x} = \frac{\partial v_x}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} =$$ $$=\frac{\partial}{\partial r}\left(v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi\right) \ (\cos\,\phi) + \frac{\partial}{\partial \phi}\left(v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi\right) \ \left(-\frac{1}{r}\,\sin\,\phi\right) + 0 \ =$$

  a nyní je potřeba provést derivování závorek a přenásobení:

  $$= \frac{\partial v_r}{\partial r}\,\cos^2\phi - \frac{\partial v_\theta}{\partial r}\,\sin\,\phi\,\cos\,\phi - \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \phi}\,\sin\,\phi\,\cos\,\phi + \frac{1}{r}v_r\,\sin^2\phi + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\phi}{\partial \phi}\,\sin^2\phi + \frac{1}{r}v_\phi\,\sin\,\phi\,\cos\,\phi.$$

  Obdobně vypočteme y-ový člen:

  $$\frac{\partial v_y}{\partial y} = \frac{\partial v_y}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y} =$$ $$= \frac{\partial}{\partial r}\left(v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\right) \ (\cos\,\phi) + \frac{\partial}{\partial \phi}\left(v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\right) \ \left(-\frac{1}{r}\,\sin\,\phi\right) + 0 \ =$$

  a nyní provedeme derivování členů v závorkách a přenásobení:

  $$= \frac{\partial v_r}{\partial r}\,\sin^2\phi +\frac{\partial v_\theta}{\partial r}\,\sin\,\phi\,\cos\,\phi + \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \phi}\,\sin\,\phi\,\cos\,\phi + \frac{1}{r}v_r\,\cos^2\phi + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\phi}{\partial \phi}\,\cos^2\phi - \frac{1}{r}v_\phi\,\sin\,\phi\,\cos\,\phi.$$

  Poslední z-ový člen není potřeba přepočítávat.

  Dosazením do definičního vztahu pro divergenci

  $$\nabla \cdot \vec v = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z},$$

  z předchozích výpočtů dostáváme po jednoduchých úpravách

  $$\nabla \cdot \vec v = \frac{\partial v_r}{\partial r} + \frac{1}{r}v_r + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\phi}{\partial \phi} + \frac{\partial v_z}{\partial z}.$$

  Zderivujeme-li závorku ve vztahu pro divergenci uvedeném v zadání úlohy

  $$\nabla\cdot\vec v = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rv_r) + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\phi}{\partial \phi} + \frac{\partial v_z}{\partial z},$$

  ihned vidíme, že hledaný a získaný vztah jsou vskutku totožné.

• Nápověda k části (d)

  Rotace v kartézských souřadnicích je vektor, který značíme $\nabla\times\vec v$ a jehož složky jsou definovány následovně:

  $$(\nabla\times\vec v)_x = \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}$$ $$(\nabla\times\vec v)_y = \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x}$$ $$(\nabla\times\vec v)_z = \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}.$$

  Naším úkolem je najít složky tohoto vektoru ve válcových souřadnicích a jednotlivé členy vyjádřit pomocí složek vektoru $\vec v$ ve válcových souřadnicích – to jest pomocí $v_r,\ v_\phi,\ v_z$ – a jejich derivací podle válcových souřadnic.

  Začneme tak, že kartézské složky vektoru rotace $(\nabla\times\vec v)_{x,y,z}$ vyjádříme pomocí válcových souřadnic vektoru $\vec v$ a jejich derivací podle válcových souřadnic. K tomu použijeme řetízkové pravidlo a již výše spočtené parciální derivace.

  Poté použijeme následující postup. Jestliže libovolný vektor $\vec u$ má souřadnice (u_x, u_y, u_z), pak jej lze psát ve tvaru

  $$\vec u = u_x\vec x_0 + u_y\vec y_0 + u_z\vec z_0$$

  a dosazením za kartézské jednotkové vektory z jejich vyjádření pomocí válcových jednotkových vektorů umíme získat souřadnice vektoru $\vec u$ ve válcových souřadnicích.

• Řešení části (d)

  Složky vektoru rotace mají tvar

  $$(\nabla\times\vec v)_x = \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}$$ $$(\nabla\times\vec v)_y = \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x}$$ $$(\nabla\times\vec v)_z = \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}.$$

  Tyto parciální derivace vyjádříme pomocí válcových souřadnic.

  Z předchozí části (c) víme, že platí

  $$v_x = v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi$$ $$v_y = v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi$$ $$v_z = v_z.$$

  z-ová složka rotace

  Podle řetízkového pravidla pak máme

  $$\frac{\partial v_x}{\partial y} = \frac{\partial v_x}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial v_x}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y} + \frac{\partial v_x}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y} =,$$

  nyní dosadíme z předchozích vztahů pro složku v_x a příslušné parciální derivace (viz nápověda výše)

  $$= \frac{\partial}{\partial r}\left(v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi\right)\ (\sin\,\phi) + \frac{\partial}{\partial \theta}\left(v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi\right)\ \left(\frac{1}{r}\,\cos\,\phi\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi\right)\ (0).$$

  Znovu podle řetízkového pravidla můžeme psát

  $$\frac{\partial v_y}{\partial x} = \frac{\partial v_y}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} =,$$

  nyní dosadíme z předchozích vztahů pro složku v_y a příslušné parciální derivace (viz nápověda výše)

  $$= \frac{\partial}{\partial r}\left(v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\right)\ (\cos\,\phi) +\frac{\partial}{\partial \theta}\left(v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\right)\ \left(-\frac{1}{r}\,\sin\,\phi\right) +\frac{\partial}{\partial \varphi}\left(v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\right)\ \left(0\right).$$

  Dosazením do vztahu

  $$(\nabla\times \vec v)_z = \frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y} =,$$

  provedením derivování v závorkách a jednoduchými úpravami dostaneme

  $$= \frac{\partial v_\phi}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \phi} + \frac{1}{r}v_\phi = \frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(rv_\phi) - \frac{\partial v_r}{\partial\phi}\right].\tag{R1}$$

  Což je část hledaného vyjádření vektoru rotace.

  y-ová složka rotace

  Podle řetízkového pravidla pak máme

  $$\frac{\partial v_z}{\partial x} = \frac{\partial v_z}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial v_z}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial v_z}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} =$$

  a nyní dosadíme za parciální derivace souřadnic (viz nápověda výše)

  $$= \frac{\partial v_z}{\partial r}\,\cos\,\phi - \frac{\partial v_z}{\partial \phi}\,\frac{1}{r}\,\sin\,\phi + 0.$$

  Ve druhé parciální derivaci $\frac{\partial v_x}{\partial z}$ řetízkové pravidlo používat nemusíme, neboť z je proměnná i ve válcových souřadnicích. Dosadíme tak pouze z předchozího vztahu za v_x pomocí složek vektoru $\vec v$ ve válcových souřadnicích:

  $$\frac{\partial v_x}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\left(v_r\,\cos\,\phi - v_\phi\,\sin\,\phi\right) = \frac{\partial v_r}{\partial z}\,\cos\,\phi - \frac{\partial v_\phi}{\partial z}\,\sin\,\phi.$$

  Využitím obou předchozích vztahů dostaneme, že

  $$(\nabla\times \vec v)_y = \frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}= \left(\frac{1}{r}\frac{\partial v_z}{\partial \phi}-\frac{\partial v_\phi}{\partial z}\right)\,\sin\phi + \left(\frac{\partial v_r}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial r}\right)\,\cos\phi. \tag{R2}$$

  x-ová složka rotace

  V parciální derivaci $\frac{\partial v_y}{\partial z}$ opět nemusíme používat řetízkové pravidlo. Stačí tak dosadit z předchozích vztahů pro složku v_y (viz výše)

  $$\frac{\partial v_y}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\left(v_r\,\sin\,\phi + v_\phi\,\cos\,\phi\right) = \frac{\partial v_r}{\partial z}\,\sin\,\phi + \frac{\partial v_\phi}{\partial z}\,\cos\,\phi.$$

  Ve druhé parciální derivaci této složky rotace už řetízkové pravidlo užít musíme:

  $$\frac{\partial v_z}{\partial y} = \frac{\partial v_z}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y} = ,$$

  nyní dosadíme z předchozích vztahů pro příslušné parciální derivace souřadnic (viz nápověda výše)

  $$= \frac{\partial v_z}{\partial r}\,\sin\,\phi + \frac{1}{r}\,\frac{\partial v_z}{\partial \phi}\,\cos\,\phi + 0.$$

  Využitím obou předchozích vztahů dostaneme, že

  $$(\nabla\times \vec v)_x = \frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z} = \left(\frac{1}{r}\frac{\partial v_z}{\partial \phi}-\frac{\partial v_\phi}{\partial z}\right)\,\cos\phi + \left(\frac{\partial v_z}{\partial r}-\frac{\partial v_r}{\partial z}\right)\,\sin\phi .\tag{R3}$$

  Přepočet do válcových souřadnic

  Nyní ještě musíme přepočítat kartézské souřadnice vektoru rotace do souřadnic válcových. Obecně platí, že pokud má vektor $\vec u$ kartézské souřadnice (u_x, u_y, u_z), potom lze psát

  $$\vec u = u_x\vec x_0 + u_y\vec y_0 + u_z\vec z_0$$

  a souřadnice válcové $u_r,\ u_\phi,\ u_z$ lze získat tak, že za vektory $\vec x_0, \vec y_0, \vec z_0$ dosadíme jejich vyjádření pomocí vektorů $\vec r_0, \vec \phi_0, \vec z_0$ (to jsme již provedli výše). Připomeňme, že potom platí

  $$\vec x_0 = \cos\,\phi\,\vec r_0 - \sin\,\phi\,\vec\phi_0$$ $$\vec y_0 = \sin\,\phi\,\vec r_0 + \cos\,\phi\,\vec\phi_0$$ $$\vec z_0 = \vec z_0.$$

  Dosazením do vztahu výše dostaneme, že

  $$\vec u = (u_x\,\cos\,\phi + u_y\,\sin\,\phi)\,\vec r_0 + (-u_x\,\sin\,\phi + u_y\,\cos\,\phi)\,\vec \phi_0 + u_z\,\vec z_0,$$

  odkud porovnáním se vztahem

  $$\vec u = u_r\,\vec r_0 + u_\phi\,\vec\phi_0 + u_z\,\vec z_0,$$

  ihned vyplývá, že

  $$u_r = u_x\,\cos\,\phi + u_y\,\sin\,\phi$$ $$u_\phi = -u_x\,\sin\,\phi + u_y\,\cos\,\phi$$ $$u_z = u_z.$$

  Aplikací tohoto obecného vztahu na vektor $\vec u = (\nabla\times\vec v)$ dostaneme, že

  $$(\nabla\times\vec v)_r = (\nabla\times\vec v)_x\,\cos\,\phi + (\nabla\times\vec v)_y\,\sin\,\phi,$$

  což s využitím vztahů (R2), (R3) výše dává po úpravě

  $$(\nabla\times\vec v)_r = \frac{1}{r}\frac{\partial v_z}{\partial \phi} - \frac{\partial v_\phi}{\partial z} ,$$

  což je další část hledaného vztahu pro rotaci vektoru ve válcových souřadnicích.

  Dále ze vztahů pro vektor $\vec u$ výše máme pro souřadnici $\phi$:

  $$(\nabla\times\vec v)_\phi = -(\nabla\times\vec v)_x\,\sin\,\phi + (\nabla\times\vec v)_y\,\cos\,\phi,$$

  odkud s využitím vztahů (R2), (R3) výše po úpravě dostaneme

  $$(\nabla\times\vec v)_\phi = \frac{\partial v_r}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial r},$$

  což je poslední část hledaného vztahu pro rotaci vektoru ve válcových souřadnicích.

• Odpověď

  Všechny vztahy jsme ověřili.