Sbírka řešených úloh

Auto a brzdná síla přímo úměrná rychlosti

Úloha číslo: 70

Auto o hmotnosti 1 000 kg jede rovnoměrně přímočaře rychlostí o velikosti 30 m·s⁻¹ po vodorovné silnici. V čase 0 s proti němu začala působit brzdná síla, která je přímo úměrná rychlosti auta. Konstanta úměrnosti k = 231 kg·s⁻¹.

1) Určete, jak se s časem mění velikost rychlosti auta v(t) a souřadnice auta x(t).

2) Určete, za jak dlouho klesne rychlost auta na poloviční hodnotu, tj. 15 m·s⁻¹.

Poznámka: Místo velikost rychlosti píšeme dále jen rychlost.

• Zápis

  m = 1 000 kg	hmotnost auta
  v0 = 30 m·s−1	rychlost auta
  t0 = 0 s	čas, ve kterém začala působit brzdná síla
  Fb	brzdná síla úměrná rychlosti auta
  k = 231 kg·s−1	konstanta úměrnosti
  t = ? s	čas, za který klesne rychlost auta na poloviční hodnotu, tj. 15 m·s−1

• Nápověda 1 – pohybová rovnice

  Uvědomte si, jaké síly působí na auto, a napište pro něj pohybovou rovnici.

• Řešení k nápovědě 1 – pohybová rovnice

  Na auto působí následující síly:

  $\vec{F}_\mathrm{b}$…brzdná síla

  $\vec{F}_\mathrm{G}$…tíhová síla

  $\vec{N}$…normálová síla, kterou na auto působí podložka

  

  Poznámka: Podložka N působí na kola auta, do obrázku kreslíme výslednici těchto sil.

  Pohybová rovnice pro auto je:

  $$\vec{F}_\mathrm{b}+\vec{F}_\mathrm{G}+\vec{N}\,=\, m\vec{a}.\tag{1}$$

  Zvolíme souřadný systém podle obrázku a rovnici (1) přepíšeme skalárně:

  $$x: -F_\mathrm{b} \,=\, ma,\tag{2}$$ $$y: N - F_\mathrm{G} \,=\, 0.\tag{3}$$

  Poznámka: Z obrázku můžete vidět, proč je v rovnici (2) znaménko mínus. Brzdná síla působí proti směru pohybu auta. Síly $\vec{F}_\mathrm{G}$ a $\vec{N}$ jsou kolmé na brzdnou sílu $\vec{F}_\mathrm{b},$ jsou stejně velké opačného směru a jejich výslednice je nulová. Zrychlení auta ve směru osy y je také nulové.

• Nápověda 2 – vyjádření brzdné síly, průběh v(t)

  Vyjádřete brzdnou sílu F_b z rovnice (2) pomocí rychlosti auta a řeště vzniklou diferenciální rovnici.

• Řešení k nápovědě 2 – vyjádření brzdné síly, průběh v(t)

  Vyjádření brzdné síly:

  Brzdnou sílu F_b, která je přímo úměrná okamžité rychlosti auta, můžeme vyjádřit vztahem:

  $$F_\mathrm{b}\,=\,kv\,.\tag{4}$$

  Dosazením do vztahu (2) dostaneme:

  $$ma\,=\,-kv\,.\tag{5}$$

  Zrychlení vyjádříme jako časovou změnu rychlosti:

  $$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,=\,-kv\,.\tag{6}$$

  Průběh v(t):

  Získali jsme diferenciální rovnici 1. řádu s konstantními koeficienty. Vyřešíme ji separací proměnných.

  Rovnici (6) upravíme na tvar:

  $$\frac{\mathrm{d}v}{v}\,=\,-\frac{k}{m}\mathrm{d}t\,.$$

  Obě strany integrujeme:

  $$\ln|v|\,=\,-\frac{k}{m}t+C\,,$$

  kde C je konstanta.

  Odlogaritmujeme:

  $$|v|\,=\,e^{-\frac{k}{m}t+C}\,=\,e^{-\frac{k}{m}t}\cdot e^{C}\,.$$

  Rychlost nabývá kladných hodnot, proto nemusíme psát absolutní hodnotu. Konstantu e^C označíme jako K:

  $$v\,=\,K e^{-\frac{k}{m}t }.$$

  Konstantu K zjistíme z počátečních podmínek. V čase t = 0 s byla rychlost rovna v₀. Platí tedy:

  $$v_0\,=\,K e^{-\frac{k}{m}\cdot 0}.$$

  Odtud:

  $$v_0\,=\,K\,.$$

  Pro závislost rychlosti na čase dostáváme:

  $$v(t)\,=\,v_0\cdot e^{-\frac{k}{m}t}\ \,.\tag{7}$$

• Nápověda 3 – průběh x(t)

  Znáte závislost rychlosti na čase. Integrací získáte závislost dráhy na čase.

• Řešení k nápovědě 3 – průběh x(t)

  Známe závislost rychlosti na čase.

  Integrací získáme závislost dráhy na čase:

  $$x(t)\,=\,\int{v(t)}\,\mathrm{d}t,$$ $$x(t)\,=\,\int{v_0e^{-\frac{k}{m} t}}\,\mathrm{d}t,$$ $$x(t)\,=\,-\frac{mv_0}{k}e^{-\frac{k}{m} t}+C.$$

  Konstantu C určíme z počátečních podmínek. V čase t₀ = 0 s byla uražená dráha 0 m.

  Platí tedy:

  $$0\,=\,-\frac{mv_0}{k}e^{-\frac{k}{m}\cdot 0}+C,$$ $$C\,=\,\frac{mv_0}{k}.$$

  Závislost dráhy na čase:

  $$x(t)\,=\,-\,\frac{mv_0}{k}e^{-\frac{k}{m}\,\cdot t}\,+\,\frac{mv_0}{k},$$ $$x(t)\,=\,\frac{mv_0}{k}\left(1\,-\,e^{-\frac{k}{m}t}\right).\tag{8}$$

• Nápověda 4 – čas pro poloviční hodnotu rychlosti

  Hledáte čas, kdy je hodnota rychlosti rovna $\frac{v_0}{2}$. Přitom víte, jak rychlost na čase závisí.

• Řešení k nápovědě 4 – čas pro poloviční hodnotu rychlosti

  Do vztahu (7) pro závislost rychlosti na čase dosadíme za $v(t)\,=\,\frac{v_0}{2}$:

  $$\frac{v_0}{2}\,=\,v_0e^{-\,\frac{k}{m}t},$$ $$\frac{1}{2}\,=\,e^{-\frac{k}{m}t}.$$

  Rovnici zlogaritmujeme:

  $$\ln\frac{1}{2}\,=\,-\,\frac{k}{m}t,$$ $$-\,\frac{m}{k}\,\ln\frac{1}{2}\,=\,t,$$ $$\frac{m}{k}\,\ln2\,=\,t.\tag{9}$$

  Do vztahu (9) dosadíme číselně:

  $$t\,=\,\frac{1\,000}{231}\,\cdot 0{,}693\,=\,\frac{693}{231}\,=\,3\,\textrm{s}\,.$$

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Do obrázku nakreslíme síly působící na auto a napíšeme pohybovou rovnici.

  Na auto působí následující síly:

  $\vec{F}_\mathrm{b}$…brzdná síla

  $\vec{F}_\mathrm{G}$…tíhová síla

  $\vec{N}$…normálová síla, kterou na auto působí podložka

  

  Poznámka: Podložka N působí na kola auta, do obrázku kreslíme výslednici těchto sil.

  Pohybová rovnice pro auto je:

  $$\vec{F}_\mathrm{b}+\vec{F}_\mathrm{G}+\vec{N}\,=\, m\vec{a}.\tag{1}$$

  Zvolíme souřadný systém podle obrázku a rovnici (1) přepíšeme skalárně:

  $$x:-F_\mathrm{b} \,=\, ma,\tag{2}$$ $$y:N - F_\mathrm{G} \,=\, 0.\tag{3}$$

  Poznámka: Z obrázku můžete vidět, proč je v rovnici (2) znaménko mínus. Brzdná síla působí proti směru pohybu auta. Síly $\vec{F}_\mathrm{G}$ a $\vec{N}$ jsou kolmé na brzdnou sílu $\vec{F}_\mathrm{b},$ jsou stejně velké opačného směru a jejich výslednice je nulová. Zrychlení auta ve směru osy y je také nulové.

  Vyjádření brzdné síly:

  Brzdnou sílu F_b, která je přímo úměrná okamžité rychlosti auta, můžeme vyjádřit vztahem:

  $$F_\mathrm{b}\,=\,kv\,.\tag{4}$$

  Dosazením do vztahu (2) dostaneme:

  $$ma\,=\,-kv\,.\tag{5}$$

  Zrychlení vyjádříme jako časovou změnu rychlosti:

  $$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,=\,-kv\,.\tag{6}$$

  Průběh v(t):

  Získali jsme diferenciální rovnici 1. řádu s konstantními koeficienty. Vyřešíme ji separací proměnných.

  Rovnici (6) upravíme na tvar:

  $$\frac{\mathrm{d}v}{v}\,=\,-\frac{k}{m}\mathrm{d}t\,.$$

  Obě strany integrujeme:

  $$\ln|v|\,=\,-\frac{k}{m}t+C\,,$$

  kde C je konstanta.

  Odlogaritmujeme:

  $$|v|\,=\,e^{-\frac{k}{m}t+C}\,=\,e^{-\frac{k}{m}t}\cdot e^{C}\,.$$

  Rychlost nabývá kladných hodnot, proto nemusíme psát absolutní hodnotu. Konstantu e^C označíme jako K:

  $$v\,=\,K e^{-\frac{k}{m}t }.$$

  Konstantu K zjistíme z počátečních podmínek. V čase t = 0 s byla rychlost rovna v₀. Platí tedy:

  $$v_0\,=\,K e^{-\frac{k}{m}\cdot 0}.$$

  Odtud:

  $$v_0\,=\,K\,.$$

  Pro závislost rychlosti na čase dostáváme:

  $$v(t)\,=\,v_0\cdot e^{-\frac{k}{m}t}\ \,.\tag{7}$$

  Známe závislost rychlosti na čase.

  Integrací získáme závislost dráhy na čase:

  $$x(t)\,=\,\int{v(t)}\,\mathrm{d}t,$$ $$x(t)\,=\,\int{v_0e^{-\frac{k}{m} t}}\,\mathrm{d}t,$$ $$x(t)\,=\,-\frac{mv_0}{k}e^{-\frac{k}{m} t}+C.$$

  Konstantu C určíme z počátečních podmínek. V čase t₀ = 0 s byla uražená dráha 0 m.

  Platí tedy:

  $$0\,=\,-\frac{mv_0}{k}e^{-\frac{k}{m}\cdot 0}+C,$$ $$C\,=\,\frac{mv_0}{k}.$$

  Závislost dráhy na čase:

  $$x(t)\,=\,-\,\frac{mv_0}{k}e^{-\frac{k}{m}\,\cdot t}\,+\,\frac{mv_0}{k},$$ $$x(t)\,=\,\frac{mv_0}{k}\left(1\,-\,e^{-\frac{k}{m}t}\right).\tag{8}$$

  Čas, za který klesne počáteční rychlost auta na poloviční hodnotu:

  Do vztahu (7) pro závislost rychlosti na čase dosadíme za $v(t)\,=\,\frac{v_0}{2}$:

  $$\frac{v_0}{2}\,=\,v_0e^{-\,\frac{k}{m}t},$$ $$\frac{1}{2}\,=\,e^{-\frac{k}{m}t}.$$

  Rovnici zlogaritmujeme:

  $$\ln\frac{1}{2}\,=\,-\,\frac{k}{m}t,$$ $$-\,\frac{m}{k}\,\ln\frac{1}{2}\,=\,t,$$ $$\frac{m}{k}\,\ln2\,=\,t.\tag{9}$$

  Do vztahu (9) dosadíme číselně:

  $$t\,=\,\frac{1\,000}{231}\,\cdot 0{,}693\,=\,\frac{693}{231}\,=\,3\,\textrm{s}\,.$$

• CELKOVÁ ODPOVĚĎ

  Pro závislost rychlosti na čase platí $v(t)\,=\,v_0 e^{-\frac{k}{m}t}$.

  Pro závislost dráhy na čase platí $x(t)\,=\,\frac{mv_0}{k}\left(1\,-\,e^{-\frac{k}{m}t}\right)$.

  Rychlost auta klesne na poloviční hodnotu počáteční rychlosti za 3 s.