Sbírka řešených úloh

Vzájemné silové působení stejně orientovaných magnetických dipólů

Úloha číslo: 246

Dva magnetické dipóly mají velikosti svých dipólových momentů m₁ a m₂. Vektory obou momentů mají stejný směr i orientaci a navíc leží v téže přímce (viz obrázek níže). Dipóly jsou ve vzájemné vzdálenosti r. Jakou silou na sebe působí?

• Nápověda 1

  Využijte faktu, že na (ideální) magnetický dipól \(\vec m\) v magnetickém poli o indukci \(\vec B\) působí síla

  \[\vec F = \nabla(\vec m\cdot\vec B)\]

  a skutečnosti, že (ideální) magnetický dipól umístěný v počátku souřadné soustavy kolem sebe vytváří magnetické pole o indukci

  \[\vec B(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{r^5}\,\left[3(\vec m\cdot\vec r)\vec r-r^2\vec m\right].\]

  Poznámka: V některých učebnicích elektromagnetismu se uvádí jiný vztah pro sílu působící na ideální magnetický dipól, a to

  \[\vec F = (\vec m\cdot\nabla)\vec B.\]

  Oba vztahy dávají v naší úloze tentýž výsledek, ačkoliv obecně oba vztahy totožné nejsou. Přímým výpočtem lze dokázat, že platí vektorová identita

  \[\nabla(\vec a\cdot\vec b) = (\vec a\cdot\nabla)\vec b + (\vec b\cdot\nabla)\vec a + \vec a\times(\nabla\times\vec b) + \vec b\times(\nabla\times\vec a).\]

  Pokud položíme \(\vec a = \vec m\) a \(\vec b = \vec B\), dostáváme

  \[\nabla(\vec m\cdot\vec B) = (\vec m\cdot\nabla)\vec B + (\vec B\cdot\nabla)\vec m + \vec m\times(\nabla\times\vec B) + \vec B\times(\nabla\times\vec m).\]

  Protože vektor \(\vec m\) je konstantní, druhý a čtvrtý člen jsou nulové. Obecně tedy platí, že

  \[\nabla(\vec m\cdot\vec B) = (\vec m\cdot\nabla)\vec B + \vec m\times(\nabla\times\vec B).\]

  Podle jedné z Maxwellových rovnic ve vakuu platí, že

  \[\nabla\times\vec B = \mu_0\vec j + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}.\]

  V naší úloze není přítomen žádný volný proud ani proměnné elektrické pole, tudíž \(\nabla\times\vec B = \vec o\) a oba vztahy pro sílu jsou tudíž totožné.

  Dodejme ještě, že první vztah pro sílu působící na ideální magnetický dipól

  \[\vec F = \nabla(\vec m\cdot\vec B)\]

  lze odvodit jako vztah pro sílu působící na nekonečně malou proudovou smyčku (viz úlohu Síla působící na magnetický dipól v magnetickém poli), zatímco druhý vztah

  \[\vec F = (\vec m\cdot\nabla)\vec B\]

  lze odvodit pomocí analogie Coulombova zákona pro magnetické náboje, což lze provést podobně jako u analogického vztahu pro elektrický dipól v elektrickém poli

  \[\vec F = (\vec p\cdot\nabla)\vec E.\]

  Viz komentář u úlohy Elektrický dipól a bodový náboj. Pro tento vztah lze mimochodem výše popsaným způsobem dokázat, že je totožný se vztahem

  \[\vec F = \nabla(\vec p\cdot\vec E),\]

  není-li ovšem přítomno proměnné magnetické pole.

• Rozbor

  Magnetický dipól ve svém okolí budí magnetické pole, které je nehomogenní. Nehomogenní magnetické pole naopak na (ideální) magnetický dipól působí jistou silou. Pro obojí známe explicitní vyjádření: na (ideální) magnetický dipól \(\vec m\) v magnetickém poli o indukci \(\vec B\) působí síla

  \[\vec F = \nabla(\vec m\cdot\vec B)\]

  a (ideální) magnetický dipól umístěný v počátku souřadné soustavy kolem sebe vytváří magnetické pole o indukci

  \[\vec B(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{r^5}[3(\vec m\cdot\vec r)\vec r-r^2\vec m].\]

  Stačí tedy v zásadě dosadit druhý vztah do prvního. Výpočet si můžeme zjednodušit, pokud vhodně zvolíme soustavu souřadnic tak, aby vektory magnetických dipólových momentů měly co nejvíce nulových složek. Je tudíž vhodné (a koneckonců i přirozené) přímku, na které oba dipóly leží, ztotožnit s některou ze souřadných os.

• Nápověda 2

  Využijte speciální uspořádání obou dipólů pro zjednodušení výpočtu: jejich momenty mají stejnou orientaci a navíc jsou orientované do přímky, která je spojuje. Volte tedy soustavu souřadnic tak, aby osa z (nebo popřípadě jiná osa) byla s touto přímkou totožná a dipóly byly orientované do jejího kladného směru.

• Řešení nápovědy 2

  Pokud první dipól umístíme do počátku soustavy souřadnic a druhý dipól na osu z do výšky z, pak vektor \(\vec r = \vec r_{12}\) mířící od prvního dipólu ke druhému má složky

  \[\vec r = (0,\,0,\,z).\]

  Uvědomte si také, že pokud dipóly orientujeme do kladné poloosy z, pak vektory dipólových momentů mají složky

  \[\vec m_1 = (0,\,0,\,m_1),\] \[\vec m_2 = (0,\,0,\,m_2).\]

• Nápověda 3

  Ukažte, že ve zvoleném uspořádání — první dipól v počátku, druhý na kladné poloose z, oba s momenty orientovanými do kladné poloosy z — bude mít síla působící na druhý dipól

  \[\nabla(\vec m_2\cdot \vec B_1)\]

  nenulovou pouze složku do směru osy z. Jinak řečeno, ukažte, že skalární součin při této volbě vztažné soustavy závisí pouze na proměnné z a nikoliv na dalších souřadnicích.

  Zde \(\vec B_1\) značí magnetickou indukci pole buzeného prvním dipólem v místě dipólu druhého.

• Řešení nápovědy 3

  Pokud souřadnou soustavu volíme tak, aby dipóly ležely na ose z, první dipól byl umístěn v počátku a byly orientovány do kladné poloosy z, pak jejich dipólové momenty mají nenulovou pouze složku z a platí

  \[\vec m_2\cdot \vec B_1 = m_2B_\mathrm{1z}.\]

  Uvědomme si ale, že

  \[\vec B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{r^5}\,\left[3(\vec m_1\cdot \vec r)\vec r-r^2\,\vec m_1\right].\]

  Podle předchozí nápovědy má vektor \(\vec r\), spojující první dipól s druhým, složky a velikost

  \[\vec r = (0,\,0,\,z), \qquad r = z.\]

  Také vektor \(\vec m_1\) má nenulovou pouze z-ovou složku. Tudíž jediná nenulová složka vektoru magnetické indukce je opět z-ová složka. Platí tedy

  \[B_\mathrm{1z} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{z^5}\left[3(m_1z)z-z^2m_1\right] = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2m_1}{z^3}\]

  a po dosazení vyjde výše uvedený skalární součin

  \[\vec m_2\cdot \vec B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2m_1m_2}{z^3}.\]

  Tento výraz závisí pouze na proměnné z. Gradient skalárního součinu ve vztahu pro působící sílu tedy bude mít nenulovou opět pouze z-ovou složku.

• Řešení

  Počátek soustavy souřadné zvolíme v místě jednoho dipólu a osy orientujeme tak, aby dipól mířil do směru osy z. Druhý dipól potom leží na ose z a míří také do osy z. Nejprve určíme sílu na druhý dipól (podle 3. Newtonova zákona síla působící na první bude stejně veliká a opačného směru).

  K výpočtu využijeme vztah pro sílu působící na (ideální) magnetický dipól \(\vec m\) v magnetickém poli o indukci \(\vec B\)

  \[\vec F = \nabla(\vec m\cdot\vec B)\]

  a vztahu pro magnetickou indukci v okolí (ideálního) magnetického dipólu

  \[\vec B(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{r^3}\,\left[3(\vec m\cdot\vec r_0)\vec r_0-\vec m\right], \qquad \vec r_0 = \frac{\vec r}{r}.\]

   

  Protože vektor \(\vec m_2\) je konstantní a má nenulovou pouze z-ovou složku, platí

  \[\vec F = \nabla(\vec m_2\cdot \vec B_1) = (\vec m_2\cdot \nabla)\vec B_1 = \left(m_2\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\right)\,\vec B_1\]

  a protože také vektory \(\vec m_1\) a \(\vec r\) mají nenulovou pouze z-ovou složku, dostáváme při označení \(\vec z_0\) jednotkového vektoru ve směru kladné poloosy z, že r = z, \(\vec r_0 = \vec z_0\), a tedy

  \[\vec F = m_2\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\left[\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{z^3}(3(\vec m_1\cdot \vec z_0)\vec z_0-\vec m_1)\right].\]

  S přihlédnutím ke vztahu \(\vec m_1 = m_1\vec z_0\) a \(\vec z_0\cdot\vec z_0 = 1:\)

  \[\vec F = m_2\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\left[\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{z^3}2m_1\vec z_0\right] = \frac{\mu_0}{2\pi}m_1m_2\vec z_0\,\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\left(\frac{1}{z^3}\right)= -\frac{3\mu_0}{2\pi}\frac{m_1m_2}{z^4}\vec z_0.\]

   

  Alternativní postup:

  Z řešení poslední nápovědy víme, že

  \[\vec m_2\,\cdot\,\vec B_1 = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{m_1m_2}{z^3},\]

  a protože

  \[\vec F = \nabla(\vec m_2\,\cdot\,\vec B_1)\]

  pro jednotlivé složky síly v kartézských souřadnicích platí:

  \[F_\mathrm{x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{m_1m_2}{z^3}\right) = 0,\] \[F_\mathrm{y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{m_1m_2}{z^3}\right) = 0,\] \[F_\mathrm{z} = \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{m_1m_2}{z^3}\right) = -\frac{3\mu_0}{2\pi}\frac{m_1m_2}{z^4}.\]

  Výsledná síla je tedy přitažlivá (protože míří od druhého dipólu do počátku, kam jsme umístili první dipól) a má velikost (z = r)

  \[F = \frac{3\mu_0}{2\pi}\frac{m_1m_2}{r^4}.\]

   

  Spočítali jsme sílu, kterou působí první dipól na druhý. Z třetího Newtonova zákona však plyne, že druhý dipól na první musí působit silou stejně velkou a opačného směru — tedy také přitažlivou.

• Odpověď

  Dipóly na sebe působí navzájem přitažlivou silou o velikosti

  \[F = \frac{3\mu_0}{2\pi}\frac{m_1m_2}{r^4}.\]