Rotující cívka v magnetickém poli Země
Úloha číslo: 420
Válcová cívka dlouhá 20 cm se 4000 závity a poloměrem 12 cm rotuje kolem osy kolmé na osu cívky s frekvencí 30 Hz v zemském magnetickém poli o magnetické indukci 5·10-5 T. Určete:
a) maximální hodnotu napětí, které se v cívce může indukovat,
b) průměrnou velikost napětí, které se indukuje v této cívce za polovinu periody (polovinu periody uvažujte mezi dvěma sousedními okamžiky, kdy je indukované napětí nulové).
Nápověda a) Maximální hodnota indukovaného napětí
Elektromagnetické napětí v cívce vzniká při změně magnetického indukčního toku cívkou v čase. Vyjádřete si tedy vztah pro magnetický indukční tok, výraz zderivujte podle času a určete, kdy bude jeho hodnota maximální.
Nápověda b) Průměrná hodnota indukovaného napětí
Velikost elektromotorického napětí indukovaného v cívce je rovno změně magnetického indukčního toku za čas. Vypočítejte si tedy magnetické toky pro dvě krajní polohy cívky (např. na začátku a na konci první půlperiody), určete velikost jejich rozdílu a vydělte je časem, za který se poloha cívky změnila.
Rozbor
Indukované elektromotorické napětí v cívce je úměrné časové změně celkového magnetického toku plochou uvnitř smyčky. Matematicky popisuje tuto závislost tzv. Faradayův zákon elektromagnetické indukce.
Maximální hodnota indukovaného napětí
Magnetický indukční tok cívkou určíme z jeho definice. Protože se cívka otáčí, bude se jeho hodnota s časem měnit. Vztah pro časově proměnný magnetický indukční tok zderivujeme podle času a získáme časově proměnné napětí, které se v cívce indukuje. Nakonec nalezneme maximální hodnotu napětí.
Průměrná hodnota indukovaného napětí
Velikost elektromotorického napětí indukovaného ve vodivé smyčce je rovno časové změně magnetického indukčního toku. Průměrnou hodnotu indukovaného napětí odhadneme tedy tak, že určíme magnetické toky pro dvě krajní polohy smyčky, určíme velikost jejich rozdílu a vydělíme je časem, za který se poloha smyčky změnila.
Řešení a) Maximální hodnota magnetického indukčního toku
Elektromagnetické napětí ui(t) ve smyčce vzniká při změně magnetického indukčního toku smyčkou v čase. Matematický zápis tohoto vztahu je označován jako Faradayův zákon elektromagnetické indukce a zní
\[u_\mathrm{i}(t)=-\frac{\,\mathrm{d}\Phi}{\,\mathrm{d}t}.\tag{1}\]Magnetický indukční tok Φ cívkou určíme z jeho definice jako
\[\Phi=N\int_\mathrm{S}{\vec{B}\cdot\,\mathrm{d}\vec{S}},\]kde N je počet závitů cívky.
Vyjádříme skalární součin vektoru magnetické indukce \(\vec{B}\) a vektoru normály plochy \(\vec{S}\):
\[\Phi=N\int_\mathrm{S}{|\vec{B}|\,|\mathrm{d}\vec{S}|\cos\alpha},\]kde α představuje úhel mezi vektorem magnetické indukce \(\vec{B}\) a vektorem normály plochy \(\vec{S}.\)
Vektor magnetické indukce \(\vec{B}\) má konstantní velikosti i směr v celé ploše závitu cívky a také úhel α je konstantní pro celou plochu smyčku (integraci provádíme v pevně zvoleném čase a integrujeme přes plochu). Integrál pak můžeme psát ve tvaru
\[\Phi=N\int_\mathrm{S}{B\,\mathrm{d}S\cos\alpha}= NB\cos\alpha \, \int_\mathrm{S}{\mathrm{d}S}= NBS\cos\alpha.\]Protože se cívka rovnoměrně otáčí, úhel α se mění podle vztahu
\[\alpha=\omega t,\]kde ω označuje úhlovou rychlost otáčení cívky.
Pro okamžitou hodnou magnetického indukčního toku tedy platí
\[\Phi=NBS\cos(\omega t).\]Výraz pro magnetický indukční tok dosadíme do rovnice (1) pro indukované elektromagnetické napětí ui(t) a dostaneme:
\[u_\mathrm{i}(t)=-\frac{\,\mathrm{d}\Phi}{\,\mathrm{d}t},\] \[u_\mathrm{i}(t)=\frac{\mathrm{d}}{{\,\mathrm{d}t}}\left(-NBS\cos{(\omega t)}\right).\]Provedeme uvedenou derivaci. Na čase závisí pouze kosinus, vše ostatní jsou konstanty, které můžeme vytknout před derivaci:
\[u_\mathrm{i}(t)=-NBS\frac{\mathrm{d}}{{\,\mathrm{d}t}}\left(\cos{(\omega t)}\right).\]Časový průběh indukovaného napětí ui(t) ve smyčce je pak dán vztahem
\[u_\mathrm{i}(t)=NBS\omega\,\sin {(\omega t)}.\]Hodnota indukovaného napětí bude maximální, jestliže
\[\sin {(\omega t)}=1.\]Pro hodnotu maximálního indukovaného napětí tedy platí
\[u_\mathrm{i_{max}}=NBS\omega.\]Plocha závitu cívky S se rovná obsahu kruhu o poloměru r a velikost úhlové rychlosti ω vyjádříme pomocí frekvence f:
\[\omega=2\pi f.\]Pro hodnotu maximálního indukovaného napětí tak dostáváme vztah
\[u_\mathrm{i_{max}}=2\pi^2r^2fNB.\]Řešení b) Průměrná hodnota indukovaného napětí
Elektromotorické napětí se ve vodivé smyčce indukuje tehdy, když se mění magnetický indukční tok smyčkou. V našem případě se mění díky měnícímu se úhlu mezi plochou smyčky a směrem magnetické indukce.
Pro výpočet velikosti indukovaného napětí platí vztah:
\[|u_\mathrm{i}|=|\frac{\,\mathrm{d}\Phi}{\,\mathrm{d} t}|.\]Pokud derivaci nahradíme podílem rozdíly hodnot ve dvou polohách, dostaneme vztah pro výpočet velikosti průměrné hodnoty napětí up:
\[u_\mathrm{p} \dot{=}|\frac{\,\mathrm{\Delta}\Phi}{\,\mathrm{\Delta} t}|,\]kde za ΔΦ dosadíme rozdíl toků v obou mezních polohách.
Rozdíl hodnot píšeme do absolutních hodnot, protože nás zajímá pouze velikost indukovaného napětí:
\[|\,\mathrm{\Delta} \Phi |= |\Phi_1 - \Phi_2|.\]Ze vztahu pro magnetický indukční tok cívkou Φ, který jsme odvodili v předchozím oddíle
\[\Phi=NBS \cos{\alpha},\]vyjádříme vztahy pro toky v obou polohách.
Indukční tok Φ1 na začátku první půlperiody určíme dosazením α = 0°:
\[\Phi_1 = NB S \cos{0^\circ} = NBS.\]Na konci první půlperiody platí α = 180° a indukční tok cívkou Φ2 je
\[\Phi_2 = NB S \cos{180^\circ} = -NBS.\]Cívka se z první polohy dostane do druhé polohy za čas Δt, který odpovídá polovině periody otáčení, tedy
\[t=\frac{T}{2} =\frac{1}{2f},\]kde f je frekvence otáčení.
Vztahy dosadíme do vzorce pro elektromotorické napětí:
\[u_\mathrm{p}=\frac{|\Phi_1 - \Phi_2|}{\,\mathrm{\Delta}t}=\frac{NBS-(-NBS)}{\frac{1}{2f}},\] \[u_\mathrm{p}=4f NBS.\]Za velikost plochy smyčky S dosadíme výraz pro obsah kruhu o poloměru r:
\[u_\mathrm{p}=4\pi r^2f NB.\]Zápis a číselné dosazení
\(l\,=\,20\,\mathrm{cm}=\,0{,}20\,\mathrm{m}\) délka válcové cívky \(r\,=\,12\,\mathrm{cm}=\,0{,}12\,\mathrm{m}\) poloměr cívky \(f\,=\,30\,\mathrm{Hz}\) frekvence rotace cívky \(B\,=\,5{\cdot}10^{-5}\,\mathrm{T}\) magnetická indukce Země \(N\,=\,4000\) počet závitů cívky \(u_\mathrm{i_{max}}\,= \,?\,\mathrm{(V)}\) maximální hodnota napětí, které se v cívce může indukovat \(u_\mathrm{p}\,= \,?\,\mathrm{(V)}\) průměrná velikost napětí, které se indukuje v této cívce za polovinu periody
\[u_\mathrm{i_{max}}=2\pi^2r^2fNB=2\cdot\pi^2{\cdot}0{,}12^2{\cdot}30\cdot4000{\cdot}5\cdot10^{-5}\,\mathrm{V} \,\dot{=}\,1{,}7\,\mathrm{V}\] \[u_\mathrm{p}=4\pi r^2f NB=4\cdot\pi\cdot 0{,}12^2{\cdot} 30 \cdot4000{\cdot}5\cdot10^{-5}\,\mathrm{V}\dot{=}1{,}1\,\mathrm{V}\]Odpověď
Největší napětí, které se může v rotující cívce indukovat, má přibližně hodnotu uimax = 1,7 V.
Průměrná hodnota napětí, které se v cívce indukuje za polovinu periody, má přibližně velikost up = 1,1 V.
Komentář
Všimněte si, že maximální hodnota indukovaného napětí neodpovídá dvojnásobku průměrné hodnoty. Je to způsobeno tím, že funkce popisující okamžitou hodnotu indukovaného napětí není lineární, ale má průběh goniometrické funkce sinus.
Pokud bychom určovali průměrnou hodnotu přes celou periodu, vyšla by nám její hodnota rovna nule. Smyčkou na začátku a na konci periody prochází magnetické indukční toky o stejné velikosti a směru (smyčka má stejnou polohu). Při určování rozdílu magnetického indukčního toku se nám tedy jejich hodnoty odečtou.
