Sbírka řešených úloh

Práce v silovém poli

Úloha číslo: 1000

• Nápověda 1

  Zkuste si rozmyslet, jaký vztah platí pro práci W, kterou vykoná silové pole při pohybu hmotného bodu z jednoho místa na druhé.

• Řešení nápovědy 1

  Z mechaniky je známo, že silové pole vykoná při pohybu hmotného bodu z bodu A do bodu B práci rovnou:

  \[ W = \int_{A}^{B} \vec{F}\cdot{\mathrm{d}\vec{r}} \hspace{2px} . \]

• Nápověda 2

  Ve vztahu pro práci W se vyskytuje skalární součin

  \[\vec{F}\cdot{\mathrm{d}\vec{r}} \hspace{2px} .\]

  Zkuste si tento skalární součin rozepsat a dosadit do něj známé veličiny ze zadání.

• Řešení nápovědy 2

  Pro skalární součin F.dr (v kartézské soustavě) platí

  \[ \vec{F}\cdot{\mathrm{d}\vec{r}} = F_{\mathrm{x}} \mathrm{d}x + F_{\mathrm{y}} \mathrm{d}y + F_{\mathrm{z}} \mathrm{d}z . \]

  Víme, že silové pole je dáno rovnicí

  \[ \vec{F} = 5xz\hspace{1px} \vec{j} + z^2 \hspace{1px}\vec{k} + 2y \hspace{1px}\vec{m} . \]

  Po dosazení dostaneme

  \[ \vec{F}\cdot{\mathrm{d}\vec{r}} = 5xz \mathrm{d}x + z^2 \mathrm{d}y + 2y \mathrm{d}z . \]

• Nápověda 3

  Nyní máte všechno potřebné pro sestavení integrálu. Zbývá ještě poslední krok.

  V zadání je rovnice přímky, po které se hmotný bod pohybuje. Využijte této informace při výpočtu.

  Rozmyslete si, v jakých mezích bude integrace probíhat.

• Řešení nápovědy 3

  Po dosazení všech známých vztahů do předpisu pro práci W dostáváme

  \[ W = \int_{A}^{B} \vec{F}\cdot{\mathrm{d}\vec{r}} = \int_{A}^{B}(F_{\mathrm{x}}\mathrm{d}x + F_{\mathrm{y}} \mathrm{d}y + F_{\mathrm{z}} \mathrm{d}z) = \int_{A}^{B}(5xz \mathrm{d}x + z^2 \mathrm{d}y + 2y \mathrm{d}z) . \]

  Pro elementy dx, dy, dz platí

  \[ x = 4t \hspace{20px} \Rightarrow \hspace{20px} \mathrm{d}x = 4\mathrm{d}t , \] \[y = 2t \hspace{20px} \Rightarrow \hspace{20px} \mathrm{d}y = 2\mathrm{d}t ,\] \[z = t \hspace{25px} \Rightarrow \hspace{20px} \mathrm{d}z = \mathrm{d}t .\]

  Ještě je potřebné si rozmyslet meze integrace. Víme, že se hmotný bod pohybuje po přímce z bodu A = [0, 0, 0] (pro t = 0) do bodu B = [4, 2, 1] (pro t = 1). Integrace bude tedy probíhat v mezích \[\mathrm{t} \in \left \langle 0,\hspace{2px} 1 \right \rangle .\]

  Dosazením za x, y, z a za dx, dy, dz do rovnice pro práci získáváme

  \[ W = \int_{0}^{1}(5\cdot {4}t \cdot t \cdot 4 + t^2 2 + 2\cdot {2}t) \mathrm{d}t . \]

  Užitím linearity integrálu (integrál součtu je součet integrálů) dostáváme

  \[ W = \int_{0}^{1}80t^2 \mathrm{d}t + \int_{0}^{1}2 t^2 \mathrm{d}t + \int_{0}^{1} 4t \mathrm{d}t = 80\left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} + 2\left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} + 4\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{1} = \] \[ = 80\left(\frac{1^3}{3} - 0\right) + 2\left(\frac{1^3}{3} - 0\right) +4 \left(\frac{1^2}{2} - 0\right) = \frac{80}{3} + \frac{2}{3} + 2 . \]

  Celková práce je tedy

  \[W = \frac{88}{3}. \]

• Celkové řešení

  Z mechaniky je známo, že silové pole vykoná při pohybu hmotného bodu z bodu A do bodu B práci rovnou:

  \[ W = \int_{A}^{B} \vec{F}\cdot{\mathrm{d}\vec{r}} \hspace{2px} . \]

  Pro skalární součin F.dr (v kartézské soustavě) platí

  \[ \vec{F}\cdot{\mathrm{d}\vec{r}} = F_{\mathrm{x}} \mathrm{d}x + F_{\mathrm{y}} \mathrm{d}y + F_{\mathrm{z}} \mathrm{d}z . \]

  Víme, že silové pole je dáno rovnicí

  \[ \vec{F} = 5xz\hspace{1px} \vec{j} + z^2 \hspace{1px}\vec{k} + 2y \hspace{1px}\vec{m} . \]

  Po dosazení dostaneme

  \[ \vec{F}\cdot{\mathrm{d}\vec{r}} = 5xz \mathrm{d}x + z^2 \mathrm{d}y + 2y \mathrm{d}z . \]

  Po dosazení všech známých vztahů do předpisu pro práci W dostáváme

  \[ W = \int_{A}^{B} \vec{F}\cdot{\mathrm{d}\vec{r}} = \int_{A}^{B}(F_{\mathrm{x}}\mathrm{d}x + F_{\mathrm{y}} \mathrm{d}y + F_{\mathrm{z}} \mathrm{d}z) = \int_{A}^{B}(5xz \mathrm{d}x + z^2 \mathrm{d}y + 2y \mathrm{d}z) . \]

  Pro elementy dx, dy, dz platí

  \[ x = 4t \hspace{20px} \Rightarrow \hspace{20px} \mathrm{d}x = 4\mathrm{d}t , \] \[y = 2t \hspace{20px} \Rightarrow \hspace{20px} \mathrm{d}y = 2\mathrm{d}t ,\] \[z = t \hspace{25px} \Rightarrow \hspace{20px} \mathrm{d}z = \mathrm{d}t .\]

  Ještě je potřebné si rozmyslet meze integrace. Víme, že se hmotný bod pohybuje po přímce z bodu A = [0, 0, 0] (pro t = 0) do bodu B = [4, 2, 1] (pro t = 1). Integrace bude tedy probíhat v mezích \[ \mathrm{t} \in \left \langle 0,\hspace{2px} 1 \right \rangle .\]

  Dosazením za x, y, z a za dx, dy, dz do rovnice pro práci získáváme

  \[ W = \int_{0}^{1}(5\cdot {4}t \cdot t \cdot 4 + t^2 2 + 2\cdot {2}t) \mathrm{d}t . \]

  Užitím linearity integrálu (integrál součtu je součet integrálů) dostáváme

  \[ W = \int_{0}^{1}80t^2 \mathrm{d}t + \int_{0}^{1}2 t^2 \mathrm{d}t + \int_{0}^{1} 4t \mathrm{d}t = 80\left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} + 2\left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} + 4\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{1} = \] \[ = 80\left(\frac{1^3}{3} - 0\right) + 2\left(\frac{1^3}{3} - 0\right) + 4 \left(\frac{1^2}{2} - 0\right) = \frac{80}{3} + \frac{2}{3} + 2 . \]

  Celková práce je tedy

  \[W = \frac{88}{3}. \]

• Odpověď

  Velikost práce, která je spojená s pohybem hmotného bodu v daném silovém poli

  z bodu A do bodu B je \[W = \frac{88}{3}. \]

  Poznámka: V úloze byla určena jen číselná hodnota práce, bez fyzikální jednotky.

• Alternativní zadání úlohy

  Hmotný bod se pohybuje v silovém poli, ve kterém platí

  \[ \vec{F} = 5xz\hspace{1px} \vec{j} + z^2 \hspace{1px}\vec{k} + 2y \hspace{1px}\vec{m} , \]

  kde x, y, z jsou souřadnice polohy hmotného bodu a j, k, m jsou vektory ortonormální báze. Hmotný bod se pohybuje po přímce, která je průsečnicí dvou rovin daných obecnými rovnicemi

  \[x - 2y = 0\] \[y - 2z = 0\]

  (což se dá jednoduše zapsat x = 2y = 4z).

  Vypočtěte práci W, která je spojená s pohybem hmotného bodu z bodu A = [0, 0, 0] do bodu B = [4, 2, 1].

  Poznámka 1: V úloze se určuje jen číselná hodnota práce, bez fyzikální jednotky.

  Poznámka 2: Narozdíl od úlohy předtím je přímka dána soustavou rovnic, jedná se však o stejnou přímku.

• Řešení alternativní úlohy

  Z mechaniky je známo, že silové pole vykoná při pohybu hmotného bodu z bodu A do bodu B práci rovnou

  \[ W = \int_{A}^{B} \vec{F}\cdot{\mathrm{d}\vec{r}} . \]

  Pro skalární součin F.dr (v kartézské soustavě) platí

  \[ \vec{F}\cdot{\mathrm{d}\vec{r}} = F_{\mathrm{x}} \mathrm{d}x + F_{\mathrm{y}} d\mathrm{y} + F_{\mathrm{z}} \mathrm{d}z . \]

  Víme, že silové pole je dáno rovnicí

  \[ \vec{F} = 5xz\hspace{1px} \vec{j} + z^2 \hspace{1px}\vec{k} + 2y \hspace{1px}\vec{m}. \]

  Po dosazení dostaneme

  \[ \vec{F}\cdot{\mathrm{d}\vec{r}} = 5xz \mathrm{d}x + z^2 \mathrm{d}y + 2y \mathrm{d}z . \]

  Po dosazení všech známých vztahů do předpisu pro práci W dostáváme

  \[ W = \int_{A}^{B} \vec{F}\cdot{\mathrm{d}\vec{r}} = \int_{A}^{B}(F_{\mathrm{x}}\mathrm{d}x + F_{\mathrm{y}} \mathrm{d}y + F_{\mathrm{z}} \mathrm{d}z) = \int_{A}^{B}(5xz \mathrm{d}x + z^2 \mathrm{d}y + 2y \mathrm{d}z) . \]

  Přímka, po které se hmotný bod pohybuje, je popsána soustavou rovnic

  \[ x = 2y = 4z . \]

  Vyjádřením x, y, z pomocí zbylých proměnných a dosazením do rovnice pro práci získáváme

  \[ W = \int_{A}^{B}\left[5x\left(\frac{1}{4}x\right) \mathrm{d}x + \left(\frac{1}{2}y\right)^2 \mathrm{d}y + 2\left(2z\right) \mathrm{d}z\right], \]

  užitím linearity integrálu (integrál součtu je součet integrálů) a dosazením mezí dostáváme

  \[ W = \int_{0}^{4}\frac{5}{4}x^2 \mathrm{d}x + \int_{0}^{2} \frac{1}{4}y^2 \mathrm{d}y + \int_{0}^{1} 4z \mathrm{d}z = \frac{5}{4}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{4} + \frac{1}{4}\left[\frac{y^3}{3}\right]_{0}^{2} + 4\left[\frac{z^2}{2}\right]_{0}^{1} = \] \[ \hspace{17px }= \frac{5}{4}\left(\frac{4^3}{3} - 0\right) + \frac{1}{4}\left(\frac{2^3}{3} - 0\right) + 4 \left(\frac{1^2}{2} - 0\right) = \frac{80}{3} + \frac{2}{3} + 2 . \]

  Celková práce je tedy

  \[W = \frac{88}{3}. \]