Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Práce v silovém poli
Úloha číslo: 1000
Hmotný bod se pohybuje v silovém poli, ve kterém platí
→F=5xz→j+z2→k+2y→m,kde x, y, z jsou kartézské souřadnice polohy hmotného bodu a j, k, m jsou vektory ortonormální báze. Hmotný bod se pohybuje po přímce, jejíž parametrické vyjádření má tvar
x=4t y=2t z=t.Vypočtěte práci W, která je spojená s pohybem hmotného bodu z bodu A = [0, 0, 0] do bodu B = [4, 2, 1].
Poznámka 1: V úloze se určuje jen číselná hodnota práce, bez fyzikální jednotky. Také v rovnici pro sílu →F uvažujeme jen číselné hodnoty.
Poznámka 2: Vektory jsou v úloze značeny tučně.
Nápověda 1
Zkuste si rozmyslet, jaký vztah platí pro práci W, kterou vykoná silové pole při pohybu hmotného bodu z jednoho místa na druhé.
Nápověda 2
Ve vztahu pro práci W se vyskytuje skalární součin
→F⋅d→r.Zkuste si tento skalární součin rozepsat a dosadit do něj známé veličiny ze zadání.
Nápověda 3
Nyní máte všechno potřebné pro sestavení integrálu. Zbývá ještě poslední krok.
V zadání je rovnice přímky, po které se hmotný bod pohybuje. Využijte této informace při výpočtu.
Rozmyslete si, v jakých mezích bude integrace probíhat.
Celkové řešení
Z mechaniky je známo, že silové pole vykoná při pohybu hmotného bodu z bodu A do bodu B práci rovnou:
W=∫BA→F⋅d→r.Pro skalární součin F.dr (v kartézské soustavě) platí
→F⋅d→r=Fxdx+Fydy+Fzdz.Víme, že silové pole je dáno rovnicí
→F=5xz→j+z2→k+2y→m.Po dosazení dostaneme
→F⋅d→r=5xzdx+z2dy+2ydz.Po dosazení všech známých vztahů do předpisu pro práci W dostáváme
W=∫BA→F⋅d→r=∫BA(Fxdx+Fydy+Fzdz)=∫BA(5xzdx+z2dy+2ydz).Pro elementy dx, dy, dz platí
x=4t⇒dx=4dt, y=2t⇒dy=2dt, z=t⇒dz=dt.Ještě je potřebné si rozmyslet meze integrace. Víme, že se hmotný bod pohybuje po přímce z bodu A = [0, 0, 0] (pro t = 0) do bodu B = [4, 2, 1] (pro t = 1). Integrace bude tedy probíhat v mezích t∈⟨0,1⟩.
Dosazením za x, y, z a za dx, dy, dz do rovnice pro práci získáváme
W=∫10(5⋅4t⋅t⋅4+t22+2⋅2t)dt.Užitím linearity integrálu (integrál součtu je součet integrálů) dostáváme
W=∫1080t2dt+∫102t2dt+∫104tdt=80[t33]10+2[t33]10+4[t22]10= =80(133−0)+2(133−0)+4(122−0)=803+23+2.Celková práce je tedy
W=883.
Odpověď
Velikost práce, která je spojená s pohybem hmotného bodu v daném silovém poli
z bodu A do bodu B je W=883.
Poznámka: V úloze byla určena jen číselná hodnota práce, bez fyzikální jednotky.
Alternativní zadání úlohy
Hmotný bod se pohybuje v silovém poli, ve kterém platí
→F=5xz→j+z2→k+2y→m,kde x, y, z jsou souřadnice polohy hmotného bodu a j, k, m jsou vektory ortonormální báze. Hmotný bod se pohybuje po přímce, která je průsečnicí dvou rovin daných obecnými rovnicemi
x−2y=0 y−2z=0(což se dá jednoduše zapsat x = 2y = 4z).
Vypočtěte práci W, která je spojená s pohybem hmotného bodu z bodu A = [0, 0, 0] do bodu B = [4, 2, 1].
Poznámka 1: V úloze se určuje jen číselná hodnota práce, bez fyzikální jednotky.
Poznámka 2: Narozdíl od úlohy předtím je přímka dána soustavou rovnic, jedná se však o stejnou přímku.