Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Práce v silovém poli

Úloha číslo: 1000

Hmotný bod se pohybuje v silovém poli, ve kterém platí

F=5xzj+z2k+2ym,

kde x, y, z jsou kartézské souřadnice polohy hmotného bodu a j, k, m jsou vektory ortonormální báze. Hmotný bod se pohybuje po přímce, jejíž parametrické vyjádření má tvar

x=4t y=2t z=t.

Vypočtěte práci W, která je spojená s pohybem hmotného bodu z bodu A = [0, 0, 0] do bodu B = [4, 2, 1].

Poznámka 1: V úloze se určuje jen číselná hodnota práce, bez fyzikální jednotky. Také v rovnici pro sílu F uvažujeme jen číselné hodnoty.

Poznámka 2: Vektory jsou v úloze značeny tučně.

  • Nápověda 1

    Zkuste si rozmyslet, jaký vztah platí pro práci W, kterou vykoná silové pole při pohybu hmotného bodu z jednoho místa na druhé.

  • Nápověda 2

    Ve vztahu pro práci W se vyskytuje skalární součin

    Fdr.

    Zkuste si tento skalární součin rozepsat a dosadit do něj známé veličiny ze zadání.

  • Nápověda 3

    Nyní máte všechno potřebné pro sestavení integrálu. Zbývá ještě poslední krok.

    V zadání je rovnice přímky, po které se hmotný bod pohybuje. Využijte této informace při výpočtu.

    Rozmyslete si, v jakých mezích bude integrace probíhat.

  • Celkové řešení

    Z mechaniky je známo, že silové pole vykoná při pohybu hmotného bodu z bodu A do bodu B práci rovnou:

    W=BAFdr.

    Pro skalární součin F.dr (v kartézské soustavě) platí

    Fdr=Fxdx+Fydy+Fzdz.

    Víme, že silové pole je dáno rovnicí

    F=5xzj+z2k+2ym.

    Po dosazení dostaneme

    Fdr=5xzdx+z2dy+2ydz.

    Po dosazení všech známých vztahů do předpisu pro práci W dostáváme

    W=BAFdr=BA(Fxdx+Fydy+Fzdz)=BA(5xzdx+z2dy+2ydz).

    Pro elementy dx, dy, dz platí

    x=4tdx=4dt, y=2tdy=2dt, z=tdz=dt.

    Ještě je potřebné si rozmyslet meze integrace. Víme, že se hmotný bod pohybuje po přímce z bodu A = [0, 0, 0] (pro t = 0) do bodu B = [4, 2, 1] (pro t = 1). Integrace bude tedy probíhat v mezích t0,1.

    Dosazením za x, y, z a za dx, dy, dz do rovnice pro práci získáváme

    W=10(54tt4+t22+22t)dt.

    Užitím linearity integrálu (integrál součtu je součet integrálů) dostáváme

    W=1080t2dt+102t2dt+104tdt=80[t33]10+2[t33]10+4[t22]10= =80(1330)+2(1330)+4(1220)=803+23+2.

    Celková práce je tedy

    W=883.

  • Odpověď

    Velikost práce, která je spojená s pohybem hmotného bodu v daném silovém poli

    z bodu A do bodu B je W=883.

    Poznámka: V úloze byla určena jen číselná hodnota práce, bez fyzikální jednotky.

  • Alternativní zadání úlohy

    Hmotný bod se pohybuje v silovém poli, ve kterém platí

    F=5xzj+z2k+2ym,

    kde x, y, z jsou souřadnice polohy hmotného bodu a j, k, m jsou vektory ortonormální báze. Hmotný bod se pohybuje po přímce, která je průsečnicí dvou rovin daných obecnými rovnicemi

    x2y=0 y2z=0

    (což se dá jednoduše zapsat x = 2y = 4z).

    Vypočtěte práci W, která je spojená s pohybem hmotného bodu z bodu A = [0, 0, 0] do bodu B = [4, 2, 1].

    Poznámka 1: V úloze se určuje jen číselná hodnota práce, bez fyzikální jednotky.

    Poznámka 2: Narozdíl od úlohy předtím je přímka dána soustavou rovnic, jedná se však o stejnou přímku.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze