Záření černého tělesa
Úloha číslo: 1014
Pro spektrální hustotu intenzity vyzařování Mλ černého tělesa platí
\[ M_{\lambda} = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\cdot\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}, \]kde h je Planckova konstanta, c rychlost světla, λ vlnová délka, k je Boltzmannova konstanta a T je termodynamická teplota.
Určete, na které vlnové délce vyzařuje černé těleso při dané teplotě nejvíce.
Úlohu řešte také pro konkrétní hodnotu T = 5000 K (teplota povrchu Slunce).
Teorie
Pro lepší pochopení úlohy je nutno podrobněji vysvětlit některé pojmy, které se v ní vyskytují.
Pojem vlnové délky je známý již ze střední školy. Vlnová délka označuje vzdálenost dvou nejbližších bodů, které mají stejnou fázi.
Intenzita vyzařování (emisivita) Me v daném místě na povrchu zdroje je definována jako podíl zářivého toku dΦe, který vychází z elementární plošky o obsahu dS na povrchu zdroje v tomto místě, a obsahu plošky dS
\[ M_{\mathrm{e}} = \frac{\mathrm{d}\Phi_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}S}. \]Spektrální hustota intenzity vyzařování (spektrální emsivita) Mλ v elementárním oboru vlnových délek (λ, λ + dλ) se rovná podílu části dMe emisivity, která připadá na vlnové délky záření v tomto oboru, a šířky oboru dλ
\[ M_\lambda = \frac{\mathrm{d}M_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}\lambda}. \]Jinak řečeno, spektrální hustota intenzity vyzařování Mλ určuje, jaká část celkové energie vyzářené zdrojem přísluší záření o vlnové délce λ při teplotě zdroje T.
Poznámka: Při dané teplotě vyzařuje těleso záření různých vlnových délek. Přitom ale záření s různou vlnovou délkou mají různou intenzitu.
Nápověda 1
Jak můžeme vidět ze zadání, spektrální hustota intenzity vyzařování Mλ je funkcí vlnové délky.
Úlohou je najít vlnovou délku, na které vyzařuje černé těleso při dané teplotě T nejvíce, tedy maximum spektrální hustoty intenzity vyzařování Mλ.
Zkuste si rozmyslet, jak postupujeme při hledání extrému funkce.
Nápověda 2
Zderivovali jsme funkci Mλ podle proměnné λ.
Zkuste vytknout výraz \[ \frac{8\pi hc}{e^{\frac{hc}{\lambda kT} } -1}\cdot \frac{1}{\lambda^7}\ . \]
Pak si zkuste rozmyslet, kdy je vzniklý výraz roven nule.
Nápověda 3
Zaveďte substituci pro výraz \[\frac{hc}{\lambda kT}.\]
Nápověda 4
Uvedenou rovnici
\[5(e^x - 1) - x e^x = 0 \hspace{30px} \tag{1}\]lze vyřešit numericky (například pomocí softwaru Mathematica) nebo graficky.
Platí
x = 4,965 nebo x = 0,
přičemž nulové řešení nebudeme uvažovat, protože to by znamenalo nárůst vlnové délky nade všechny meze.
Nyní už jednoduše nalezneme vlnovou délku, na které černé těleso vyzařuje nejvíce.
Nezapomeňte úlohu vyřešit pro konkrétní hodnotu teploty T = 5000 K.
Poznámka : O správnosti uvedeného výsledku pro x se můžete přesvědčit zde, kde se vám zobrazí graf funkce
\[ y = 5(e^x - 1) - x e^x \hspace{30px} \tag{2}\]a jeho průsečíky s osou x. Po načtení stránky klikněte v rámečku s nápisem Real solution na Approximate form.
Celkové řešení
Jak je známo, pro nalezení extrému je nutné položit derivaci funkce \[ M_{\lambda} = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\cdot\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1} \] podle proměnné λ rovnu nule.
Musí tedy platit
\[ \frac{\partial {M_{\lambda}}}{\partial \lambda} = 0. \]Poznámka: Úlohou je určit vlnovou délku, na které vyzařuje černé těleso nejvíce při dané (pevně zvolené) teplotě. Obecně je spektrální hustota funkcí teploty T i vlnové délky λ, proto se počítá parciální derivace podle λ.
Nyní je potřeba funkci Mλ parciálně zderivovat (derivace součinu)
\[ \frac{\partial {M_{\lambda}}}{\partial \lambda} = \frac{-40\pi hc}{\lambda^6}\cdot\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1} +\frac{8\pi hc}{\lambda^5} \left[\frac{-1}{\Big( e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1\Big)^2} \cdot e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \cdot \Big(\frac{-hc}{\lambda^2 kT}\Big) \right]. \]Po vytknutí členu \[\frac{8\pi hc}{e^{\frac{hc}{\lambda kT} } -1}\cdot \frac{1}{\lambda^7}\] dostáváme
\[ \frac{\partial {M_{\lambda}}}{\partial \lambda} = \frac{8\pi hc}{e^{\frac{hc}{\lambda kT} } -1}\cdot \frac{1}{\lambda^7} \left[ -5\lambda + \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1} \cdot e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \cdot \frac{hc}{ kT} \right] = 0. \]Uvedená rovnost by byla splněna, pokud by se alespoň jeden ze tří činitelů v součinu rovnal nule.
Nyní si rozebereme jednotlivé možnosti:
1) Výraz \[\frac{8\pi hc}{e^{\frac{hc}{\lambda kT} } -1}\] by byl roven nule právě, když: \[8\pi hc = 0 \] (což nemůže nastat, protože se jedná o známé konstanty).
2) Rovnost by dále platila pro \[\frac{1}{\lambda^7} = 0.\] To nemůže nastat.
3) Je tedy zřejmé, že daný výraz je roven nule, když je roven nule výraz v hranaté závorce, tedy musí platit
\[ -5\lambda + \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1} \cdot e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \cdot \frac{hc}{ kT} = 0 \] \[ 5\lambda = \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1} \cdot e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \cdot \frac{hc}{ kT} \] \[ 5\lambda \Big(e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1 \Big) = e^{\frac{hc}{\lambda kT}}\cdot \frac{hc}{ kT}. \]Po vydělení obou stran rovnice vlnovou délkou λ dostáváme
\[ 5 \Big(e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1 \Big) = e^{\frac{hc}{\lambda kT}}\cdot \frac{hc}{ \lambda kT}. \]Zavedeme substituci \[{\frac{hc}{\lambda kT}} = x.\]
Dostáváme tedy
\[ 5(e^x - 1) = x e^x. \]Numerickým nebo grafickým řešením rovnice \[5(e^x - 1) = x e^x\] lze najít kořen \[x \approx 4{,}965\] (nulové řešení neuvažujeme, protože to by znamenalo nárůst vlnové délky nade všechny meze).
Poznámka : O správnosti uvedeného výsledku pro x se můžete přesvědčit zde, kde se vám zobrazí graf funkce
\[ y = 5(e^x - 1) - x e^x \hspace{30px} \tag{2}\]a jeho průsečíky s osou x. Po načtení stránky klikněte v rámečku s nápisem Real solution na Approximate form.
Pro substituovaný výraz \[{\frac{hc}{\lambda kT}} \] platí
\[{\frac{hc}{\lambda kT}} = x \approx 4{,}965. \]Pro vlnovou délku, na které černé těleso vyzařuje při dané teplotě T nejvíce, platí
\[ \lambda_{\mathrm{max}} = \frac{hc}{4{,}965kT}. \tag{3}\]Vztah (3) se nazývá Wienův posunovací zákon.
Ještě je naší úlohou nalézt vlnovou délku pro konkrétní hodnotu T = 5000 K.
Po vyjádření vlnové délky ze vztahu (3) a po dosazení známých hodnot dostáváme
\[ \lambda = \frac{hc}{4{,}965 k T} \] \[ \lambda = \frac{6{,}63\cdot{10}^{-34}3\cdot{10}^8}{4{,}965\cdot {1{,}38}\cdot{10}^{-23}\cdot{5000}} \hspace{2px}\mathrm{m} \] \[ \lambda \approx 580\hspace{2px} \mathrm{nm},\]což odpovídá vlnové délce žluté barvy.
Poznámka: Nulová derivace je nutná podmínka pro nalezení extrému, nikoli podmínka postačující. To, že se jedná skutečně o maximum, by se dalo ověřit spočítáním druhé derivace, která pro maximum nabývá záporných hodnot. Tento výpočet zde neuvádíme, protože se o tom lze přesvědčit v grafu, který je k dispozici výše. Vidíme, že daná funkce (2), což je vlastně první derivace funkce Mλ, je v okolí bodu x = 4,965 klesající, což znamená, že druhá derivace funkce Mλ musí být menší než nula.
Odpověď
Pro vlnovou délku, na které černé těleso vyzařuje při dané teplotě T nejvíce, platí
\[ \lambda_{\mathrm{max}} = \frac{hc}{4{,}965kT} \]a příslušná vlnová délka pro konkrétní hodnotu T = 5000 K je
\[\lambda_{\mathrm{max}} = 580 \hspace{2px}\mathrm{nm} ,\]což odpovídá vlnové délce žluté barvy.
