Pohyb elektronu v kovovém vodiči

Úloha číslo: 959

Předpokládejme, že se elektron pohybuje v kovovém vodiči zapojeném do elektrického obvodu, kde má elektrické pole konstantní intenzitu o velikosti E. Žádné další vlivy zatím neuvažujme. Jeho pohyb je dán podle 2. Newtonova zákona rovnicí:

\[ m \hspace{2px} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = e E . \]

a) Určete závislost velikosti rychlosti elektronu na čase.

b) Vyhovuje získaný výsledek reálné situaci v kovovém vodiči? Zdůvodněte!

c) Přidejte k pravé straně pohybové rovnice člen −γmv, kde γ > 0 je konstanta.

d) Určete, na jaké hodnotě se velikost rychlosti za dostatečně dlouhou dobu ustálí.

Nápověda 1 ( k úloze a) )
Všimněte si, že daná rovnice je obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty.

Naší neznámou je rychlost v = v(t), v rovnici se vyskytuje její první derivace. Rozmyslete si, jak byste se derivace „zbavili“, a pak proveďte příslušnou úpravu.
Řešení nápovědy 1
Rovnici
\[ m \hspace{1px}\frac {\mathrm{d}v} {\mathrm{d}t}= e E \]
vydělíme hmotností m, získáváme
\[ \frac {\mathrm{d}v} {\mathrm{d}t} = \frac{eE}{m}. \]
Provedeme přímou integraci, dostáváme tak výsledek
\[ v = \frac{eE}{m} t \hspace{2px}+ \hspace{2px} c, \]
kde c je reálná konstanta.
Nápověda 2 ( k úloze b) )
Máme si rozmyslet, jestli získaný výsledek vyhovuje reálné situaci.

Představme si vodič s průřezem ΔS, ve kterém se pohybují elektrony námi vypočtenou rychlostí v = v(t).

Zkuste si rozmyslet, jak se v čase mění proud.
Řešení nápovědy 2
Pro elektrický proud platí následující vztah
\[ I = j \hspace{2px} \mathrm{\Delta} S, \tag{1}\]
kde j je velikost plošné hustoty proudu, pro kterou platí
\[ j = \rho v, \tag{2}\]
kde ρ je objemová hustota náboje.

Po dosazení vztahu (2) do vztahu (1) dostáváme
\[ I = \rho v \mathrm{\Delta} S = \rho (\frac{eE}{m} t \hspace{2px}+ \hspace{2px} c) \hspace{2px} \mathrm{\Delta} S. \]
Z toho plyne, že proud v obvodu s konstantní velikostí elektrické intenzity by lineárně rostl v čase. To však v praxi nepozorujeme (údaj na ampérmetru se ustálí).
Nápověda 3 ( k úloze c) )
Z předešlých úvah plyne, že původní diferenciální rovnici je nutné opravit o nějaký člen, který bude vyjadřovat odpor prostředí kladený pohybujícímu se elektronu. V nejjednodušším případě můžeme předpokládat, že to bude člen -γmv úměrný první mocnině velikosti rychlosti.

Jakého typu je vzniklá „opravená“ rovnice? Rozmyslete si, jak se daný typ rovnice řeší.
Řešení nápovědy 3
Přičtením členu, který vyjádřuje odpor prostředí, dostáváme rovnici tvaru:
\[ m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = e E - \gamma mv. \]
Daná rovnice je nehomogenní lineární diferenciální rovnicí prvního řádu s konstantními koeficienty. Takové typy rovnic řešíme následovně:

1. Nejdřív najdeme takzvané homogenní řešení, tedy řešení rovnice s nulovou pravou stranou.

2. Následně nalezneme takzvané partikulární řešení, tj. řešení rovnice nehomogenní.

3. Celkové řešení dostaneme pak jejich sečtením.

Vynecháním pravé strany získáme homogenní rovnici
\[ m \frac{dv}{dt} + \gamma mv = 0, \]
kterou nyní vyřešíme.

Vydělením rovnice hmotností m a následnou separací proměnných získáváme
\[ \frac{\mathrm{d}v}{v} = - \gamma \hspace{1px} \mathrm{d}t, \]
zintegrujeme
\[ \int \frac{\mathrm{d}v}{v} = - \gamma \int \mathrm{d}t \] \[ \ln (\frac{v}{v_0})= - \gamma t \hspace{1px}, \]
Poznámka: V argumentu logaritmu jsme rychlost v vydělili konstantou v₀ , která má rozměr rychlosti, aby se v argumentu přirozeného logaritmu vyskytovala bezrozměrná veličina.

Aplikací exponenciály
\[ \frac{v}{v_0} = e^ {- \gamma t}, \]
dostáváme výsledek v_h homogenní rovnice
\[ v_{\mathrm{h}} = v_0 e^ {- \gamma t } \]
Nyní je potřeba vyřešit nehomogenní rovnici:
\[ m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + \gamma mv = e E. \]
Na pravé straně se vyskytuje výraz eE, což je v tomto případě konstanta.

Zkusme proto hledat celkové řešení ve tvaru v_h + K,

získáme tak rovnici:
\[ m \frac{\mathrm{d}(v_{\mathrm{h}}+K)}{\mathrm{d}t} + \gamma m(v_{\mathrm{h}}+K) = e E \] \[ m \frac{\mathrm{d}v_{\mathrm{h}}}{\mathrm{d}t}+ \gamma mv_{\mathrm{h}} + m \frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t} + \gamma mK = e E. \]
Je zřejmé, že platí následující:

\[ \frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t} = 0 \hspace{30px} \] (derivace konstanty je nulová),

\[ m \frac{\mathrm{d}v_{\mathrm{h}}}{\mathrm{d}t}+ \gamma mv_{\mathrm{h}} = 0 \hspace{15px}\] ( v_h jsme nalezli jako řešení homogenní rovnice),

z čehož plyne
\[ \gamma mK = e E \] \[ K = \frac {eE}{\gamma m}. \]
Celkové řešení je tedy
\[ v(t)= v_{\mathrm{0}} \hspace{1px} e^{- \gamma t} + \frac {eE}{\gamma m}. \]
Nápověda 4 ( k úloze d) )
Proveďte limitu velikosti rychlosti pro dostatečně dlouhou dobu t.
Řešení nápovědy 4
Vypočteme limitu rychlosti pro dostatečně dlouhou dobu:
\[ \lim_{t \to \infty} \hspace {1px} v (t) = \lim_{t \to \infty} \hspace {1px} (v_{0} \hspace{1px} e^{- \gamma t} + \frac {eE}{\gamma m} )= v_{0} \hspace{1px}\lim_{t \to \infty} \hspace {1px} \hspace{1px} e^{- \gamma t} + \lim_{t \to \infty} \hspace {1px} \frac {eE}{\gamma m}= 0 + \lim_{t \to \infty} \hspace {1px} \frac {eE}{\gamma m} = \frac {eE}{\gamma m}, \]
kde jsme využili:
\[ \lim_{t \to \infty} \hspace {1px} \hspace{1px} e^{- \gamma t} = 0. \]
Po dostatečně dlouhé době se rychlost ustálí na hodnotě

\[ v = \frac {eE}{\gamma m}. \]
Celkové řešení
ad a)

Rovnici
\[ m \hspace{1px}\frac {\mathrm{d}v} {\mathrm{d}t}= e E \]
vydělíme hmotností m, získáváme
\[ \frac {\mathrm{d}v} {\mathrm{d}t} = \frac{eE}{m}. \]
Provedeme přímou integraci, dostáváme tak výsledek
\[ v = \frac{eE}{m} t \hspace{2px}+ \hspace{2px} c, \]
kde c je reálná konstanta.

ad b)

Nyní se podíváme, jak se s časem mění proud.

Pro elektrický proud platí následující vztah
\[ I = j \hspace{2px} \mathrm{\Delta} S, \tag{1}\]
kde j je velikost plošné hustoty proudu, pro kterou platí
\[ j = \rho v, \tag{2}\]
kde ρ je objemová hustota náboje.

Po dosazení vztahu (2) do vztahu (1) dostáváme
\[ I = \rho v \mathrm{\Delta} S = \rho (\frac{eE}{m} t \hspace{2px}+ \hspace{2px} c) \hspace{2px} \mathrm{\Delta} S. \]
Z toho plyne, že proud v obvodu s konstantní velikostí elektrické intenzity by lineárně rostl v čase. To však v praxi nepozorujeme (údaj na ampérmetru se ustálí).

ad c)

Z předešlých úvah plyne, že původní diferenciální rovnici je nutné opravit o nějaký člen, který bude vyjadřovat odpor prostředí kladený pohybujícímu se elektronu. V nejjednodušším případě můžeme předpokládat, že to bude člen -γmv úměrný první mocnině velikosti rychlosti.

Přičtením členu, který vyjádřuje odpor prostředí, dostáváme rovnici tvaru:
\[ m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = e E - \gamma mv. \]
Daná rovnice je nehomogenní lineární diferenciální rovnicí prvního řádu s konstantními koeficienty. Takové typy rovnic řešíme následovně:

1. Nejdřív najdeme takzvané homogenní řešení, tedy řešení rovnice s nulovou pravou stranou.

2. Následně nalezneme takzvané partikulární řešení, tj. řešení rovnice nehomogenní.

3. Celkové řešení dostaneme pak jejich sečtením.

Vynecháním pravé strany získáme homogenní rovnici
\[ m \frac{dv}{dt} + \gamma mv = 0, \]
kterou nyní vyřešíme.

Vydělením rovnice hmotností m a následnou separací proměnných získáváme
\[ \frac{\mathrm{d}v}{v} = - \gamma \hspace{1px} \mathrm{d}t, \]
zintegrujeme
\[ \int \frac{\mathrm{d}v}{v} = - \gamma \int \mathrm{d}t \] \[ \ln (\frac{v}{v_0})= - \gamma t \hspace{1px}, \]
Poznámka: V argumentu logaritmu jsme rychlost v vydělili konstantou v₀ , která má rozměr rychlosti, aby se v argumentu přirozeného logaritmu vyskytovala bezrozměrná veličina.

Aplikací exponenciály
\[ \frac{v}{v_0} = e^ {- \gamma t}, \]
dostáváme výsledek v_h homogenní rovnice
\[ v_{\mathrm{h}} = v_0 e^ {- \gamma t } . \]
Nyní je potřeba vyřešit nehomogenní rovnici:
\[ m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + \gamma mv = e E. \]
Na pravé straně se vyskytuje výraz eE, což je v tomto případě konstanta.

Zkusme proto hledat celkové řešení ve tvaru v_h + K,

získáme tak rovnici:
\[ m \frac{\mathrm{d}(v_{\mathrm{h}}+K)}{\mathrm{d}t} + \gamma m(v_{\mathrm{h}}+K) = e E \] \[ m \frac{\mathrm{d}v_{\mathrm{h}}}{\mathrm{d}t}+ \gamma mv_{\mathrm{h}} + m \frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t} + \gamma mK = e E. \]
Je zřejmé, že platí následující:

\[ \frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t} = 0 \hspace{30px} \] (derivace konstanty je nulová),

\[ m \frac{\mathrm{d}v_{\mathrm{h}}}{\mathrm{d}t}+ \gamma mv_{\mathrm{h}} = 0 \hspace{15px}\] ( v_h jsme nalezli jako řešení homogenní rovnice),

z čehož plyne
\[ \gamma mK = e E \] \[ K = \frac {eE}{\gamma m}. \]
Celkové řešení je tedy
\[ v(t)= v_{\mathrm{0}} \hspace{1px} e^{- \gamma t} + \frac {eE}{\gamma m}. \]
ad d)

Vypočteme limitu rychlosti pro dostatečně dlouhou dobu:
\[ \lim_{t \to \infty} \hspace {1px} v (t) = \lim_{t \to \infty} \hspace {1px} (v_{0} \hspace{1px} e^{- \gamma t} + \frac {eE}{\gamma m} )= v_{0} \hspace{1px}\lim_{t \to \infty} \hspace {1px} \hspace{1px} e^{- \gamma t} + \lim_{t \to \infty} \hspace {1px} \frac {eE}{\gamma m}= 0 + \lim_{t \to \infty} \hspace {1px} \frac {eE}{\gamma m} = \frac {eE}{\gamma m},\]
kde jsme využili:
\[ \lim_{t \to \infty} \hspace {1px} \hspace{1px} e^{- \gamma t} = 0. \]
Po dostatečně dlouhé době se rychlost ustálí na hodnotě

\[ v = \frac {eE}{\gamma m}. \]
Odpověď
a) Závislost velikosti rychlosti elektronu na čase v nejjednodušším případě popisuje vztah
\[ v = \frac{eE}{m} \hspace{2px} t \hspace{2px}+ \hspace{2px} c, \]
který však neodpovídá skutečnosti.

b) Proud v obvodu s konstantní velikostí elektrické intenzity by lineárně rostl v čase, protože lineárně roste velikost rychlosti v. To však v praxi nepozorujeme.

c) Po přidání členu -γmv, který vyjadřuje odpor prostředí kladený elektronu, získáváme realističtější výsledek
\[ v(t)= v_{0} \hspace{1px} e^{- \gamma t} + \frac {eE}{\gamma m}. \]
d) Po dostatečně dlouhé době se rychlost elektronu ustálí na hodnotě
\[ v = \frac {eE}{\gamma m}. \]
Poznámka: Ani model s členem -γmv není zcela realistický. Realističtější pohled je, že elektron interaguje s kryslatovou mřížkou daného kovu a jeho rychlost není ustálená, ale mění se v závislosti na této interakci.