Relativistická a klasická kinetická energie
Úloha číslo: 1054
Celková relativistická energie částice je ve speciální teorii relativity dána vztahem
\[ E = mc^2 = m_0 c^2 + E_{\mathrm{k}} , \]kde klidová hmotnost m0 a rychlost světla ve vakuu c jsou konstanty.
Ukažte, že pro v << c představuje veličina Ek klasickou kinetickou energii známou z newtonovské mechaniky.
Teorie
V zadání označuje m relativistickou hmotnost. Hmotnost v rámci speciální teorie relativity není stejná pro všechny pozorovatele, ale závisí na rychlosti v tělesa (částice) vůči pozorovateli podle vztahu
\[ m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \]kde m0 je klidová hmotnost, v rychlost tělesa vůči pozorovateli a c je rychlost světla ve vakuu.
Nápověda 1
Zkuste si nejdřív napsat vztah pro relativistickou kinetickou energii.
Věnujte pozornost sekci Teorie.
Nápověda 2
Zkuste rozvinout (až na -1) výraz v závorce pomocí Taylorova rozvoje.
Celkové řešení
Celková relativistická energie částice je ve speciální teorii relativity dána vztahem
\[E = mc^2 = m_0 c^2 + E_{\mathrm{k}} ,\]který je uvedený již v zadání.
Vyjádříme relativistickou kinetickou energii Ek
\[ E_{\mathrm{k}} = mc^2 - m_0 c^2. \]Po dosazení za relativistickou hmotnost m (viz sekci Teorie) dostáváme
\[ E_{\mathrm{k}} = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} c^2 - m_0 c^2 = m_0 c^2 \left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right). \]Relativistická kinetická energie je tedy dána vztahem
\[ E_{\mathrm{k}} =m_0 c^2 \left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right). \tag{1}\]Nyní rozvineme do Taylorova rozvoje výraz v závorce (až na -1) ve vztahu (1), tedy výraz
\[f\left(\frac{v^2}{c^2}\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] \[ f\left(\frac{v^2}{c^2}\right) = \bigg(1 - \frac{v^2}{c^2}\bigg)^{-\frac{1}{2}}. \]Pro jednoduchost zavedeme substituci
\[x = \frac{v^2}{c^2}\]a dostáváme
\[ f (x) = (1 - x)^{-\frac{1}{2}} . \]Taylorův rozvoj funkce f proměnné x v bodě x0 má tvar
\[ f (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)} (x_0)}{n!} (x - x_0)^n. \]Nyní spočteme několika prvních derivací naší funkce f(x), jedná se o derivaci složené funkce
\[ f(x) = (1 - x)^{-\frac{1}{2}} \] \[ f^\prime(x) = -\frac{1}{2}(1 - x)^{-\frac{3}{2}}(-1) = \frac{1}{2} (1 - x)^{-\frac{3}{2}} \] \[ f^{\prime\prime} (x) = -\frac{3}{4}(1 - x)^{-\frac{5}{2}}(-1) = \frac{3}{4}(1 - x)^{-\frac{5}{2}}. \]Pro funkci tedy platí (počítáme Taylorův rozvoj v bodě x0 = 0):
\[ f (x) = \frac{(1 - 0)^{-\frac{1}{2}}}{0!}(x - 0)^0 \hspace{2px} +\hspace{2px} \frac{1}{2} \frac{(1 - 0)^{-\frac{3}{2}}}{1!}(x - 0)^1 \hspace{2px} + \hspace{2px} \frac{3}{4} \frac{(1 - 0)^{-\frac{5}{2}}}{2!}(x - 0)^2\hspace{2px} +\hspace{2px} ... = 1\hspace{2px} + \hspace{2px}\frac{1}{2}x\hspace{2px} + \hspace{2px}\frac{3}{8}x^2 \hspace{2px}+\hspace{2px} ...\,\,\ . \]Nyní se vrátíme k substituci
\[ f\left(\frac{v^2}{c^2}\right) = 1\hspace{2px} +\hspace{2px} \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\hspace{2px} +\hspace{2px} \frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4}\hspace{2px} +\hspace{2px} ...\,\,\ .\]Po dosazení do (1) dostáváme
\[ E_{\mathrm{k}} = m_0 c^2 \bigg( 1\hspace{2px} +\hspace{2px} \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\hspace{2px} +\hspace{2px} \frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4}\hspace{2px} + \hspace{2px}\cdot\cdot\cdot \hspace{2px}-1 \bigg) = m_0 c^2 \bigg( \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\hspace{2px} +\hspace{2px} \frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4}\hspace{2px} +\hspace{2px} \cdot\cdot\cdot \bigg). \]Pro rychlosti v << c dostáváme po zanedbání členů vyšších řádů přibližně
\[ E_{\mathrm{k}} = m_0 c^2 \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}, \]kde po zkrácení dostáváme hledaný vztah pro klasickou kinetickou energii z newtonovské mechaniky:
\[ E_{\mathrm{k}} = \frac{1}{2} m v^2 . \]Poznámka: V klasické fyzice se místo klidové hmotnosti m0 (a také relativistické hmotnosti) používá jenom hmotnost m.
Odpověď
Ukázali jsme, že pro v << c představuje veličina Ek ve vztahu
\[ E = mc^2 = m_0 c^2 + E_{\mathrm{k}} , \]klasickou kinetickou energii z newtonovské mechaniky
\[ E_{\mathrm{k}} = \frac{1}{2} m_0 v^2 . \]
