Chodec

Úloha číslo: 113

Chodec se pohybuje přímočaře rychlostí o velikosti:

\[v(t)\,=\,{\sqrt{1+\{t\}}}\,\mathrm{m \, s^{-1}} \,,\] \[t \in <0\,\textrm{s},\ 10\,\textrm{s}>\,.\]

Určete dráhu, kterou chodec urazí za prvních deset sekund, a velikost jeho zrychlení v desáté sekundě.

Poznámka: Pro přehlednější zápis při výpočtech píšeme vztah pro rychlost zjednodušeně bez jednotky a bez složených závorek.

Nápověda 1: Dráha chodce
Ze zadání víte, jak se mění velikost rychlosti chodce v závislosti na čase pro daný časový interval.

Uvědomte si nejprve, jak ze známé závislosti velikosti rychlosti na čase určíte závislost dráhy na čase.

Jak se vztah změní, chceme-li zjistit jen dráhu uraženou v určitém časovém intervalu?
Řešení k nápovědě 1
Závislost dráhy na čase určíme jako časový integrál velikosti rychlosti:
\[s\left(t\right)\,=\,\int{v\left(t\right)}\mathrm{d}t\,.\]
Chceme-li zjistit dráhu uraženou za určitý časový interval, přejde neurčitý integrál v určitý s mezemi, které jsou dány krajními body intervalu:
\[s\,=\,\int_{t_1}^{t_2}{v\left(t\right)}\mathrm{d}t\,=\,\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{1+t}}\,\mathrm{d}t\,.\tag{1}\]
Nápověda 2: Výpočet integrálu
Integrál můžeme spočítat s použitím substituce u² = 1 + t.
Řešení k nápovědě 2
K výpočtu integrálu (1) použijeme substituci:
\[u^{2}\,=\,1+t,\hspace{15px}\mathrm{d}t=2u\mathrm{d}u\,,\]

\[s\,=\,\int_{t_1}^{t_2}{v}\mathrm{d}t\,=\,\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{1+t}}\,\mathrm{d}t\,=\,\int_{u_1}^{u_2}{u2u}\mathrm{d}u\,=\,2\int_{u_1}^{u_2}{u^{2}}\mathrm{d}u\,.\]
Pro dráhu, kterou chodec urazí za prvních deset sekund, tedy platí:
\[s\,=\,2\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{u_1}^{u_2}\,=\,\frac{2}{3}\left[\left(1+t\right)^{\frac{3}{2}}\right]_{t_1}^{t_2}\,.\]
Dosadíme meze a provedeme číselný výpočet:
\[s\,=\,\frac{2}{3}\left[\left(1+t\right)^{\frac{3}{2}}\right]_0^{10}\,=\,\frac{2}{3}\left[11^{\frac{3}{2}}-1\right]\,\mathrm{m}\,=\,23{,}665\,\mathrm{m}\,\dot{=}\,23{,}7\,\mathrm{m}\,.\]
Nápověda 3: Zrychlení chodce
Ze zadání víte, jak se mění velikost rychlosti chodce v závislosti na čase.

Jakým způsobem z toho odvodíte závislost velikosti zrychlení chodce na čase?

Snadno pak zjistíte i zrychlení chodce v desáté sekundě.
Řešení k nápovědě 3
Pro závislost zrychlení chodce na čase platí:

\[a(t)=\frac{dv(t)}{dt}=\frac{d(\sqrt{1+t})}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{1+t}}\,.\]
Velikost zrychlení chodce v desáté sekundě:

\[a(10)=\frac{1}{2\sqrt{11}}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}=0{,}15\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]
CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Výpočet dráhy:

Závislost dráhy na čase určíme jako časový integrál velikosti rychlosti:
\[s\left(t\right)\,=\,\int{v\left(t\right)}\mathrm{d}t\,.\]
Chceme-li zjistit dráhu uraženou za určitý časový interval, přejde neurčitý integrál v určitý s mezemi, které jsou dány krajními body intervalu:
\[s\,=\,\int_{t_1}^{t_2}{v\left(t\right)}\mathrm{d}t\,=\,\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{1+t}}\mathrm{d}t\,.\tag{1}\]
K výpočtu integrálu (1) použijeme substituci:
\[u^{2}\,=\,1+t, \hspace{15px}\mathrm{d}t\,=\,2u\mathrm{d}u\,,\]

\[s\,=\,\int_{t_1}^{t_2}{v}\mathrm{d}t\,=\,\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{1+t}}\mathrm{d}t\,=\,\int_{u_1}^{u_2}{u2u}\mathrm{d}u\,=\,2\int_{u_1}^{u_2}{u^{2}}\mathrm{d}u\,.\]
Pro dráhu, kterou chodec urazí za prvních deset sekund, tedy platí:
\[s\,=\,2\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{u_1}^{u_2}\,=\,\frac{2}{3}\left[\left(1+t\right)^{\frac{3}{2}}\right]_{t_1}^{t_2}\,.\]
Dosadíme meze a provedeme číselný výpočet:
\[s\,=\,\frac{2}{3}\left[\left(1+t\right)^{\frac{3}{2}}\right]_0^{10}\,=\,\frac{2}{3}\left[11^{\frac{3}{2}}-1\right]\,\mathrm{m}\,=\,23{,}665\,\mathrm{m}\,\dot{=}\,23{,}7\,\mathrm{m}\,.\]

Výpočet zrychlení:

Pro závislost zrychlení chodce na čase platí:

\[a\left(t\right)\,=\,\frac{\mathrm{d}v\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}(\sqrt{1+t})}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2\sqrt{1+t}}\,.\]
Velikost zrychlení chodce v desáté sekundě:

\[a\left(10\right)\,=\,\frac{1}{2\sqrt{11}}\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,=\,0{,}15\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]
Odpověď
Dráha, kterou chodec urazí za prvních deset sekund, je:

\[s\,=\,\frac{2}{3}\left[\left(1+t\right)^{\frac{3}{2}}\right]_\mathrm{t_1}^\mathrm{t_2}\,,\] \[s\,=\, \frac{2}{3}\left[\left(1+t\right)^{\frac{3}{2}}\right]_0^{10}\,=\,23{,}665\,\mathrm{m}\,\dot{=}\,23{,}7\,\mathrm{m}\,.\]

Velikost zrychlení chodce v desáté sekundě je:

\[a\left(t\right)\,=\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{1}{2\sqrt{1+t}}\,,\] \[a\left(10\right)\,=\,0{,}15\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]