Dělo střílející z kopce

Úloha číslo: 1146

Na vrcholu kopce, který svírá s vodorovnou rovinou úhel 30°, je umístěno dělo, ze kterého je vystřeleno. V okamžiku výstřelu svírá hlaveň s vodorovnou rovinou určitý elevační úhel a je namířena tak, že vystřelená střela dopadne na dolní část kopce ve vzdálenosti 6 km od místa výstřelu. Určete minimální velikost rychlosti, se kterou střela opustila hlaveň děla, a hodnotu elevačního úhlu hlavně při výstřelu. Odporové síly zanedbejte.

Zápis

φ = 30°	úhel mezi svahem kopce a vodorovnou rovinou
d = 6 km	vzdálenost, do které dopadne střela
v_min = ?	minimální rychlost střely při opuštění hlavně
α₀ = ?	elevační úhel příslušející rychlosti v_min

Popis metody
Naším cílem bude najít velikost počáteční rychlosti jako funkci elevačního úhlu α: v₀ = v₀(α). Pomocí diferenciálního počtu pak nalezneme takový elevační úhel α₀, pro který nabývá tato funkce (= počáteční rychlost) minima. Jeho dosazením do v₀ = v₀(α) získáme požadovanou minimální velikost rychlosti.
Nápověda 1
Než začnete úlohu řešit, nakreslete si obrázek, který situaci (včetně místa dopadu) popisuje. Vhodným způsobem do něj pak zaveďte souřadný systém a v něm vyjádřete ze zadaných veličin souřadnice bodu dopadu střely. Věnujte tomuto úkolu pozornost, obrázek je zde základem dalšího úspěšného řešení!
Řešení nápovědy 1
Situaci včetně zavedení souřadného systému ukazuje obrázek níže:

Červeně je znázorněna trajektorie střely. Počátek souřadného systému je umístěn na vrchol kopce, písmenem D je označeno místo dopadu střely. Pomocí goniometrických funkcí snadno určíme souřadnice bodu D:
\[D\,=\,[x_\mathrm{D}, y_\mathrm{D}]\,=\,[d\cos{\varphi}, -d\sin{\varphi}]\tag{1}\]
Nápověda 2
Rozmyslete si, jaký druh pohybu bude střela po opuštění hlavně vykonávat. Pro tento pohyb napište časový vývoj složek rychlosti v_x(t), v_y(t) a časový vývoj souřadnic střely x(t), y(t).
Řešení nápovědy 2
Po opuštění hlavně koná střela složený pohyb, který označujeme jako šikmý vrh (tento pohyb je složen z rovnoměrných přímočarých pohybů ve směru souřadných os a volného pádu). Pro složky rychlosti ve směrech souřadných os při takovémto pohybu s počáteční rychlostí v₀ a elevačním úhlem α platí:
\[v_\mathrm{x}(t)\,=\,v_0\cos{\alpha},\tag{2}\] \[v_\mathrm{y}(t)\,=\,v_0\sin{\alpha}\,-\,gt,\tag{3}\]
kde g je tíhové zrychlení. Časový vývoj souřadnic střely můžeme získat buď ze vztahů pro dráhu rovnoměrného, resp. rovnoměrně zrychleného pohybu, nebo jednoduchou integrací vztahů (2) a (3). Oběma postupy dostáváme:
\[x(t)\,=\,v_0t\cos{\alpha},\tag{4}\] \[y(t)\,=\,v_0t\sin{\alpha}\,-\,\frac{1}{2}gt^2.\tag{5}\]
Nápověda 3
Znáte souřadnice bodu dopadu D, umíte tedy vyjádřit dobu letu střely.
Řešení nápovědy 3
Souřadnice bodu D jsme již vyjádřili v úvodu úlohy, jejich dosazením do vztahů (4) a (5) dostáváme pro dobu letu t_D:
\[d\cos{\varphi}\,=\,v_0t_\mathrm{D}\cos{\alpha},\tag{6}\] \[-d\sin{\varphi}\,=\,v_0t_\mathrm{D}\sin{\alpha}\,-\,\frac{1}{2}gt_\mathrm{D}^2.\tag{7}\]
Dobu letu t_D vyjádříme nejsnadněji ze vztahu (6):
\[t_\mathrm{D}\,=\,\frac{d\cos{\varphi}}{ v_0\cos{\alpha}}.\tag{8}\]
Nápověda 4
Naším cílem popsaným v úvodu úlohy je dostat se ke vztahu v₀ = v₀(α). Dosaďte tedy dobu letu získanou ve vztahu (8) do rovnice (7) a vyjádřete počáteční rychlost v₀ jako funkci elevačního úhlu α.
Řešení nápovědy 4
Dobu letu t_D dosadíme ze vztahu (8) do rovnice (7) a vyjádříme odtud hledanou závislost v₀ = v₀(α):
\[-d\sin{\varphi}\,=\,v_0(\frac{d\cos{\varphi}}{v_0\cos{\alpha}})\sin{\alpha}\,-\,\frac{1}{2}g(\frac{d\cos{\varphi}}{v_0\cos{\alpha}})^2.\tag{9}\]
Úpravami dostáváme:
\[-2dv_0^2\sin{\varphi}\cos^2{\alpha}\,=\,2dv_0^2\cos{\varphi}\cos{\alpha}\sin{\alpha}\,-\,gd^2\cos^2{\varphi},\] \[gd\cos^2{\varphi}\,=\,v_0^2(2\sin{\varphi}\cos^2{\alpha}\,+\,\sin{2\alpha}\cos{\varphi}),\] \[v_0\,=\, v_0(\alpha)\,=\,\sqrt{\frac{dg\cos^2{\varphi}}{2\sin{\varphi}\cos^2{\alpha}\,+\,\sin{2\alpha}\cos{\varphi}}}.\tag{10}\]
Nápověda 5
Jak nyní určit elevační úhel, pro který funkce ze vztahu (10) nabývá minimální hodnoty? Pomohlo by nám derivování funkce? Jak? Proveďte výpočet a najděte takový elevační úhel α₀.
Řešení nápovědy 5
Funkci ze vztahu (10) zderivujeme podle proměnné α a najdeme takové α₀, pro které bude hodnota první derivace nulová. V takovém bodě podle znalostí z diferenciálního počtu nabývá funkce ze vztahu (10) svého lokálního extrému – v tomto případě minima. (Důkaz, že jde skutečně o minimum, zde ukazovat nebudeme, lze jej provést pomocí grafu příslušné funkce nebo dalším derivováním.)

Derivováním vztahu (10) tedy dostáváme:
\[\frac{dv_0}{d{\alpha}}\,=\,(\sqrt{dg\cos^2{\varphi}})(-\frac{1}{2})(2\cos^2{\alpha}\sin{\varphi}\,+\,\sin{2\alpha}\cos{\varphi})^{-\frac{3}{2}}{\cdot}\] \[{\cdot}(4\cos{\alpha}(-\sin{\alpha})\sin{\varphi}\,+\,2\cos{2\alpha}\cos{\varphi}),\tag{11}\] \[\frac{dv_0}{d{\alpha}}\,=\,-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{dg\cos^2{\varphi}}{(2\cos^2{\alpha}\sin{\varphi}\,+\,\sin{2\alpha}\cos{\varphi})^3}}{\cdot}\] \[{\cdot}(-4\cos{\alpha}\sin{\alpha}\sin{\varphi}\,+\,2\cos{2\alpha}\cos{\varphi}).\tag{12}\]
Hledáme takové α₀, pro které je derivace nulová, je tedy patrné, že vždy kladnou odmocninu nemusíme vyšetřovat:
\[\frac{dv_0}{d{\alpha}}\,=\,0\,\Leftrightarrow\,2\cos{\alpha_0}\sin{\alpha_0}\sin{\varphi}\,=\,\cos{(2\alpha_0)}\cos{\varphi}.\tag{13}\]
S použitím vztahu pro dvojnásobný úhel dostáváme:
\[\sin{2\alpha_0}\,=\,\cos{2\alpha_0}\frac{\cos{\varphi}}{\sin{\varphi}},\tag{14}\] \[\tan{2\alpha_0}\,=\,\cot{\varphi}.\tag{15}\]
Číselně:
\[\tan{2\alpha_0}\,=\,\cot{30°}\,=\,\sqrt{3}\,\Rightarrow\,2\alpha_0\,=\,60°\,\Rightarrow\,\alpha_0\,=\,30°.\]
Elevační úhel, pro který je počáteční rychlost minimální, je 30°.
Nápověda 6
Určili jsme elevační úhel, při kterém bude počáteční rychlost minimální, zbývá dopočítat tuto počáteční rychlost v_min. Který vztah je výhodné použít?
Řešení nápovědy 6
Vztah pro počáteční rychlost v závislosti na elevačním úhlu jsme odvodili ve vztahu (10), dosadíme do něj tedy získaný úhel α₀. Číselně:
\[v_\mathrm{min}\,=\,v_0(\alpha_0)\,=\,\sqrt{\frac{6\,000{\cdot}10{\cdot}(\cos{30°})^2}{2\sin{30°}(\cos{30°})^2\,+\,\sin{60°}\cos{30°}}}\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1},\] \[v_\mathrm{min}\,=\,\sqrt{30000}\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}\,\dot=\,173\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.\]
Minimální počáteční rychlost střely byla přibližně 173 m·s⁻¹.
Celkové řešení
Situaci včetně zavedení souřadného systému ukazuje obrázek níže:

Červeně je znázorněna trajektorie střely. Počátek souřadného systému je umístěn na vrchol kopce, písmenem D je označeno místo dopadu střely. Pomocí goniometrických funkcí snadno určíme souřadnice bodu D:
\[D\,=\,[x_\mathrm{D}, y_\mathrm{D}]\,=\,[d\cos{\varphi}, -d\sin{\varphi}].\tag{1}\]
Po opuštění hlavně koná střela složený pohyb, který označujeme jako šikmý vrh (tento pohyb je složen z rovnoměrných přímočarých pohybů ve směru souřadných os a volného pádu). Pro složky rychlosti ve směrech souřadných os při takovémto pohybu s počáteční rychlostí v₀ a elevačním úhlem α platí:
\[v_\mathrm{x}(t)\,=\,v_0\cos{\alpha},\tag{2}\] \[v_\mathrm{y}(t)\,=\,v_0\sin{\alpha}\,-\,gt,\tag{3}\]
kde g je tíhové zrychlení. Časový vývoj souřadnic střely můžeme získat buď ze vztahů pro dráhu rovnoměrného, resp. rovnoměrně zrychleného pohybu, nebo jednoduchou integrací vztahů (2) a (3). Oběma postupy dostáváme:
\[x(t)\,=\,v_0t\cos{\alpha},\tag{4}\] \[y(t)\,=\,v_0t\sin{\alpha}\,-\,\frac{1}{2}gt^2.\tag{5}\]
Souřadnice bodu D jsme již vyjádřili v úvodu úlohy, jejich dosazením do vztahů (4) a (5) dostáváme pro dobu letu t_D:
\[d\cos{\varphi}\,=\,v_0t_\mathrm{D}\cos{\alpha},\tag{6}\] \[-d\sin{\varphi}\,=\,v_0t_\mathrm{D}\sin{\alpha}\,-\,\frac{1}{2}gt_\mathrm{D}^2.\tag{7}\]
Dobu letu t_D vyjádříme nejsnadněji ze vztahu (6):
\[t_\mathrm{D}\,=\,\frac{d\cos{\varphi}}{ v_0\cos{\alpha}}.\tag{8}\]
Získanou dobu letu t_D dosadíme ze vztahu (8) do rovnice (7) a vyjádříme odtud hledanou závislost v₀ = v₀(α):
\[-d\sin{\varphi}\,=\,v_0(\frac{d\cos{\varphi}}{v_0\cos{\alpha}})\sin{\alpha}\,-\,\frac{1}{2}g(\frac{d\cos{\varphi}}{v_0\cos{\alpha}})^2.\tag{9}\]
Úpravami dostáváme:
\[-2dv_0^2\sin{\varphi}\cos^2{\alpha}\,=\,2dv_0^2\cos{\varphi}\cos{\alpha}\sin{\alpha}\,-\,gd^2\cos^2{\varphi},\] \[gd\cos^2{\varphi}\,=\,v_0^2(2\sin{\varphi}\cos^2{\alpha}\,+\,\sin{2\alpha}\cos{\varphi}),\] \[v_0\,=\, v_0(\alpha)\,=\,\sqrt{\frac{dg\cos^2{\varphi}}{2\sin{\varphi}\cos^2{\alpha}\,+\,\sin{2\alpha}\cos{\varphi}}}.\tag{10}\]
Funkci ze vztahu (10) zderivujeme podle proměnné α a najdeme takové α₀, pro které bude hodnota první derivace nulová. V takovém bodě podle znalostí z diferenciálního počtu nabývá funkce ze vztahu (10) svého lokálního extrému – v tomto případě minima. (Důkaz, že jde skutečně o minimum, zde ukazovat nebudeme, lze jej provést pomocí grafu příslušné funkce nebo dalším derivováním.)

Derivováním vztahu (10) tedy dostáváme:
\[\frac{dv_0}{d{\alpha}}\,=\,(\sqrt{dg\cos^2{\varphi}})(-\frac{1}{2})(2\cos^2{\alpha}\sin{\varphi}\,+\,\sin{2\alpha}\cos{\varphi})^{-\frac{3}{2}}{\cdot}\] \[{\cdot}(4\cos{\alpha}(-\sin{\alpha})\sin{\varphi}\,+\,2\cos{2\alpha}\cos{\varphi}),\tag{11}\] \[\frac{dv_0}{d{\alpha}}\,=\,-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{dg\cos^2{\varphi}}{(2\cos^2{\alpha}\sin{\varphi}\,+\,\sin{2\alpha}\cos{\varphi})^3}}{\cdot}\] \[{\cdot}(-4\cos{\alpha}\sin{\alpha}\sin{\varphi}\,+\,2\cos{2\alpha}\cos{\varphi}).\tag{12}\]
Hledáme takové α₀, pro které je derivace nulová, je tedy patrné, že vždy kladnou odmocninu nemusíme vyšetřovat:
\[\frac{dv_0}{d{\alpha}}\,=\,0\,\Leftrightarrow\,2\cos{\alpha_0}\sin{\alpha_0}\sin{\varphi}\,=\,\cos{(2\alpha_0)}\cos{\varphi}.\tag{13}\]
S použitím vztahu pro dvojnásobný úhel dostáváme:
\[\sin{2\alpha_0}\,=\,\cos{2\alpha_0}\frac{\cos{\varphi}}{\sin{\varphi}},\tag{14}\] \[\tan{2\alpha_0}\,=\,\cot{\varphi}.\tag{15}\]
Číselně:
\[\tan{2\alpha_0}\,=\,\cot{30°}\,=\,\sqrt{3}\,\Rightarrow\,2\alpha_0\,=\,60°\,\Rightarrow\,\alpha_0\,=\,30°.\]
Elevační úhel, pro který je počáteční rychlost minimální, je 30°.

Vztah pro počáteční rychlost v závislosti na elevačním úhlu jsme odvodili ve vztahu (10), dosadíme do něj tedy získaný úhel α₀. Číselně:
\[v_\mathrm{min}\,=\,v_0(\alpha_0)\,=\,\sqrt{\frac{6\,000{\cdot}10{\cdot}(\cos{30°})^2}{2\sin{30°}(\cos{30°})^2\,+\,\sin{60°}\cos{30°}}}\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1},\] \[v_\mathrm{min}\,=\,\sqrt{30000}\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}\,\dot=\,173\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.\]
Minimální počáteční rychlost střely byla přibližně 173 m·s⁻¹.
Odpověď
Minimální rychlost, se kterou musí střela opustit hlaveň děla, je přibližně 173 m·s⁻¹, elevační úhel je v takovém případě 30°.