Zákony černého tělesa
Úloha číslo: 1053
Spektrální hustota intenzity vyzařování Mλ absolutně černého tělesa je dána vztahem (Planckův zákon)
\[ M_\lambda = \frac{8 \pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}, \hspace{40px} \tag{1}\]kde h je Planckova konstanta, c rychlost světla, λ vlnová délka, k Boltzmannova konstanta a T je termodynamická teplota.
Z Planckova zákona odvoďte:
a) Wienův zákon (platný pro krátké vlnové délky)
\[ M_\lambda^{\mathrm{(W)}} = \frac{8 \pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}}, \]b) Rayleighův-Jeansův zákon (platný v dlouhovlnné části spektra)
\[ M_\lambda^{\mathrm{(R)}} = \frac{8 \pi k T}{\lambda^4}. \]Historická poznámka
John Strutt Rayleigh a James Jeans zkoumali záření absolutně černého tělesa a zjistili, že ve stacionárním stavu spektrální hustota intenzity vyzařovaní Mλ vystupující kolmo z jednotkového objemu dutiny absolutně černého tělesa a připadající na interval vlnových délek (λ, λ + dλ) je určená vztahem
\[ M_\lambda^{\mathrm{(R)}} = \frac{8\pi k T}{\lambda^4}. \]
Tato závislost ale vede k takzvané ultrafialové katastrofě, neboť se snižující se vlnovou délkou vede k neomezenému nárůstu intenzity vyzařování.
Wilhelm Wien vycházel z klasické statistiky a odvodil tzv. Wienův zákon
\[M_\lambda^{\mathrm{(W)}} = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}},\]
který je ve shodě s experimentální zkušeností jenom pro viditelný a ultrafialový obor spektra.
Problém vyřešil Max Planck, který zobecnil Wienův a Rayleighův-Jeansův zákon do jedné formule, takzvaného Planckova zákona
\[ M_\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}. \]
Nápověda 1 ( k úloze a) )
Úlohou je odvodit z Planckova zákona Wienův zákon.
Rozmyslete si, co platí pro malé vlnové délky.
Nápověda 2 ( k úloze b) )
Nyní máme za úkol odvodit Rayleighův-Jeansův zákon. Použijte Taylorův rozvoj pro jmenovatele ve druhém výrazu vztahu (1).
Celkové řešení
ad a)
Pro malé vlnové délky λ platí pro jmenovatele ve druhém lomeném výrazu (až na –1) ve vztahu (1)
\[ \lim_{\lambda \to 0} e^{\frac{hc}{\lambda kT}} = e^{\lim_{\lambda \to 0}\frac{hc}{\lambda kT}} = \infty. \]Vidíme tedy, že pro malé vlnové délky můžeme ve jmenovateli druhého lomeného výrazu ve vztahu (1) zanedbat "jedničku". Dostáváme tak hledaný Wienův zákon:
\[ M_\lambda^{\mathrm{(W)}} = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}}. \]ad b)
Použijeme Taylorův rozvoj pro druhý lomený výraz v Planckově zákoně, tedy pro
\[ \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}. \]Taylorův rozvoj exponenciály vypadá následovně
\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1\hspace{1px} +\hspace{1px} x\hspace{1px} + \hspace{1px}\frac{x^2}{2!} \hspace{1px}+ \hspace{1px}\frac{x^3}{3!}\hspace{1px} +\hspace{1px} \cdot\cdot\cdot \hspace{30px}\ . \]Tento vztah platí pro všechna x reálná čísla. Dosazením do Planckova zákona dostáváme
\[M_\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{1 + \frac{hc}{\lambda kT}\hspace{1px} +\hspace{1px} \frac{1}{2} (\frac{hc}{\lambda kT})^2 \hspace{1px}+\hspace{1px} \frac{1}{6}(\frac{hc}{\lambda kT})^3 \hspace{1px} + \hspace{1px}\cdot\cdot\cdot -\hspace{1px} 1} \] \[ M_\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{ \frac{hc}{\lambda kT}\hspace{1px} +\hspace{1px} \frac{1}{2} (\frac{hc}{\lambda kT})^2\hspace{1px} +\hspace{1px} \frac{1}{6}(\frac{hc}{\lambda kT})^3 \hspace{1px} + \hspace{1px}\cdot\cdot\cdot }\ . \]Pro velké vlnové délky můžeme ve jmenovateli druhého lomeného výrazu zanedbat všechny členy vůči prvnímu
\[ M_\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{ \frac{hc}{\lambda kT}}. \]Po zkrácení dostáváme hledaný Rayleighův-Jeansův zákon
\[ M_\lambda^{\mathrm{(R)}} = \frac{8\pi k T}{\lambda^4}. \]Odpověď
Ověřili jsme, že pro malé vlnové délky z Planckova zákona skutečně vyplývá Wienův zákon:
\[ M_\lambda^{\mathrm{(W)}} = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}} \]a pro velké Rayleighův-Jeansův zákon:
\[ M_\lambda^{\mathrm{(R)}} = \frac{8\pi k T}{\lambda^4}. \]
