Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Zákony černého tělesa

Úloha číslo: 1053

Spektrální hustota intenzity vyzařování Mλ absolutně černého tělesa je dána vztahem (Planckův zákon)

Mλ=8πhcλ51ehcλkT1,

kde h je Planckova konstanta, c rychlost světla, λ vlnová délka, k Boltzmannova konstanta a T je termodynamická teplota.

Z Planckova zákona odvoďte:

a) Wienův zákon (platný pro krátké vlnové délky)

M(W)λ=8πhcλ51ehcλkT,

b) Rayleighův-Jeansův zákon (platný v dlouhovlnné části spektra)

M(R)λ=8πkTλ4.
  • Historická poznámka

    John Strutt Rayleigh a James Jeans zkoumali záření absolutně černého tělesa a zjistili, že ve stacionárním stavu spektrální hustota intenzity vyzařovaní Mλ vystupující kolmo z jednotkového objemu dutiny absolutně černého tělesa a připadající na interval vlnových délek (λ, λ + dλ) je určená vztahem

    M(R)λ=8πkTλ4.

    Tato závislost ale vede k takzvané ultrafialové katastrofě, neboť se snižující se vlnovou délkou vede k neomezenému nárůstu intenzity vyzařování.

    Wilhelm Wien vycházel z klasické statistiky a odvodil tzv. Wienův zákon

    M(W)λ=8πhcλ51ehcλkT,

    který je ve shodě s experimentální zkušeností jenom pro viditelný a ultrafialový obor spektra.

    Problém vyřešil Max Planck, který zobecnil Wienův a Rayleighův-Jeansův zákon do jedné formule, takzvaného Planckova zákona

    Mλ=8πhcλ51ehcλkT1.

  • Nápověda 1 ( k úloze a) )

    Úlohou je odvodit z Planckova zákona Wienův zákon.

    Rozmyslete si, co platí pro malé vlnové délky.

  • Nápověda 2 ( k úloze b) )

    Nyní máme za úkol odvodit Rayleighův-Jeansův zákon. Použijte Taylorův rozvoj pro jmenovatele ve druhém výrazu vztahu (1).

  • Celkové řešení

    ad a)

    Pro malé vlnové délky λ platí pro jmenovatele ve druhém lomeném výrazu (až na –1) ve vztahu (1)

    \lim_{\lambda \to 0} e^{\frac{hc}{\lambda kT}} = e^{\lim_{\lambda \to 0}\frac{hc}{\lambda kT}} = \infty.

    Vidíme tedy, že pro malé vlnové délky můžeme ve jmenovateli druhého lomeného výrazu ve vztahu (1) zanedbat "jedničku". Dostáváme tak hledaný Wienův zákon:

    M_\lambda^{\mathrm{(W)}} = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}}.

    ad b)

    Použijeme Taylorův rozvoj pro druhý lomený výraz v Planckově zákoně, tedy pro

    \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}.

    Taylorův rozvoj exponenciály vypadá následovně

    e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1\hspace{1px} +\hspace{1px} x\hspace{1px} + \hspace{1px}\frac{x^2}{2!} \hspace{1px}+ \hspace{1px}\frac{x^3}{3!}\hspace{1px} +\hspace{1px} \cdot\cdot\cdot \hspace{30px}\ .

    Tento vztah platí pro všechna x reálná čísla. Dosazením do Planckova zákona dostáváme

    M_\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{1 + \frac{hc}{\lambda kT}\hspace{1px} +\hspace{1px} \frac{1}{2} (\frac{hc}{\lambda kT})^2 \hspace{1px}+\hspace{1px} \frac{1}{6}(\frac{hc}{\lambda kT})^3 \hspace{1px} + \hspace{1px}\cdot\cdot\cdot -\hspace{1px} 1} M_\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{ \frac{hc}{\lambda kT}\hspace{1px} +\hspace{1px} \frac{1}{2} (\frac{hc}{\lambda kT})^2\hspace{1px} +\hspace{1px} \frac{1}{6}(\frac{hc}{\lambda kT})^3 \hspace{1px} + \hspace{1px}\cdot\cdot\cdot }\ .

    Pro velké vlnové délky můžeme ve jmenovateli druhého lomeného výrazu zanedbat všechny členy vůči prvnímu

    M_\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{ \frac{hc}{\lambda kT}}.

    Po zkrácení dostáváme hledaný Rayleighův-Jeansův zákon

    M_\lambda^{\mathrm{(R)}} = \frac{8\pi k T}{\lambda^4}.
  • Odpověď

    Ověřili jsme, že pro malé vlnové délky z Planckova zákona skutečně vyplývá Wienův zákon:

    M_\lambda^{\mathrm{(W)}} = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}}

    a pro velké Rayleighův-Jeansův zákon:

    M_\lambda^{\mathrm{(R)}} = \frac{8\pi k T}{\lambda^4}.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze