Sbírka řešených úloh

Zákony černého tělesa

Úloha číslo: 1053

• Historická poznámka

  John Strutt Rayleigh a James Jeans zkoumali záření absolutně černého tělesa a zjistili, že ve stacionárním stavu spektrální hustota intenzity vyzařovaní M_λ vystupující kolmo z jednotkového objemu dutiny absolutně černého tělesa a připadající na interval vlnových délek (λ, λ + dλ) je určená vztahem

  $$M_\lambda^{\mathrm{(R)}} = \frac{8\pi k T}{\lambda^4}.$$

  Tato závislost ale vede k takzvané ultrafialové katastrofě, neboť se snižující se vlnovou délkou vede k neomezenému nárůstu intenzity vyzařování.

  Wilhelm Wien vycházel z klasické statistiky a odvodil tzv. Wienův zákon

  $$M_\lambda^{\mathrm{(W)}} = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}},$$

  který je ve shodě s experimentální zkušeností jenom pro viditelný a ultrafialový obor spektra.

  Problém vyřešil Max Planck, který zobecnil Wienův a Rayleighův-Jeansův zákon do jedné formule, takzvaného Planckova zákona

  $$M_\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}.$$

• Nápověda 1 ( k úloze a) )

  Úlohou je odvodit z Planckova zákona Wienův zákon.

  Rozmyslete si, co platí pro malé vlnové délky.

• Řešení nápovědy 1

  Pro malé vlnové délky λ platí pro jmenovatele ve druhém lomeném výrazu (až na −1) ve vztahu (1)

  $$\lim_{\lambda \to 0} e^{\frac{hc}{\lambda kT}} = e^{\lim_{\lambda \to 0}\frac{hc}{\lambda kT}} = \infty.$$

  Vidíme tedy, že pro malé vlnové délky můžeme ve jmenovateli druhého lomeného výrazu ve vztahu (1) zanedbat "jedničku". Dostáváme tak hledaný Wienův zákon:

  $$M_\lambda^{\mathrm{(W)}} = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}}.$$

• Nápověda 2 ( k úloze b) )

  Nyní máme za úkol odvodit Rayleighův-Jeansův zákon. Použijte Taylorův rozvoj pro jmenovatele ve druhém výrazu vztahu (1).

• Řešení nápovědy 2

  Použijeme Taylorův rozvoj pro druhý lomený výraz v Planckově zákoně, tedy pro

  $$\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}.$$

  Taylorův rozvoj exponenciály vypadá následovně

  $$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1\hspace{1px} +\hspace{1px} x\hspace{1px} + \hspace{1px}\frac{x^2}{2!} \hspace{1px}+ \hspace{1px}\frac{x^3}{3!}\hspace{1px} +\hspace{1px} \cdot\cdot\cdot \hspace{30px}\ .$$

  Tento vztah platí pro všechna x reálná čísla. Dosazením do Planckova zákona dostáváme

  $$M_\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{1 + \frac{hc}{\lambda kT}\hspace{1px} +\hspace{1px} \frac{1}{2} (\frac{hc}{\lambda kT})^2 \hspace{1px}+\hspace{1px} \frac{1}{6}(\frac{hc}{\lambda kT})^3 \hspace{1px} + \hspace{1px}\cdot\cdot\cdot -\hspace{1px} 1}$$ $$M_\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{ \frac{hc}{\lambda kT}\hspace{1px} +\hspace{1px} \frac{1}{2} (\frac{hc}{\lambda kT})^2\hspace{1px} +\hspace{1px} \frac{1}{6}(\frac{hc}{\lambda kT})^3 \hspace{1px} + \hspace{1px}\cdot\cdot\cdot }\ .$$

  Pro velké vlnové délky můžeme ve jmenovateli druhého lomeného výrazu zanedbat všechny členy vůči prvnímu

  $$M_\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{ \frac{hc}{\lambda kT}}.$$

  Po zkrácení dostáváme hledaný Rayleighův-Jeansův zákon

  $$M_\lambda^{\mathrm{(R)}} = \frac{8\pi k T}{\lambda^4}.$$

• Celkové řešení

  ad a)

  Pro malé vlnové délky λ platí pro jmenovatele ve druhém lomeném výrazu (až na –1) ve vztahu (1)

  $$\lim_{\lambda \to 0} e^{\frac{hc}{\lambda kT}} = e^{\lim_{\lambda \to 0}\frac{hc}{\lambda kT}} = \infty.$$

  Vidíme tedy, že pro malé vlnové délky můžeme ve jmenovateli druhého lomeného výrazu ve vztahu (1) zanedbat "jedničku". Dostáváme tak hledaný Wienův zákon:

  $$M_\lambda^{\mathrm{(W)}} = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}}.$$

  ad b)

  Použijeme Taylorův rozvoj pro druhý lomený výraz v Planckově zákoně, tedy pro

  $$\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}.$$

  Taylorův rozvoj exponenciály vypadá následovně

  $$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1\hspace{1px} +\hspace{1px} x\hspace{1px} + \hspace{1px}\frac{x^2}{2!} \hspace{1px}+ \hspace{1px}\frac{x^3}{3!}\hspace{1px} +\hspace{1px} \cdot\cdot\cdot \hspace{30px}\ .$$

  Tento vztah platí pro všechna x reálná čísla. Dosazením do Planckova zákona dostáváme

  $$M_\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{1 + \frac{hc}{\lambda kT}\hspace{1px} +\hspace{1px} \frac{1}{2} (\frac{hc}{\lambda kT})^2 \hspace{1px}+\hspace{1px} \frac{1}{6}(\frac{hc}{\lambda kT})^3 \hspace{1px} + \hspace{1px}\cdot\cdot\cdot -\hspace{1px} 1}$$ $$M_\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{ \frac{hc}{\lambda kT}\hspace{1px} +\hspace{1px} \frac{1}{2} (\frac{hc}{\lambda kT})^2\hspace{1px} +\hspace{1px} \frac{1}{6}(\frac{hc}{\lambda kT})^3 \hspace{1px} + \hspace{1px}\cdot\cdot\cdot }\ .$$

  Pro velké vlnové délky můžeme ve jmenovateli druhého lomeného výrazu zanedbat všechny členy vůči prvnímu

  $$M_\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{ \frac{hc}{\lambda kT}}.$$

  Po zkrácení dostáváme hledaný Rayleighův-Jeansův zákon

  $$M_\lambda^{\mathrm{(R)}} = \frac{8\pi k T}{\lambda^4}.$$

• Odpověď

  Ověřili jsme, že pro malé vlnové délky z Planckova zákona skutečně vyplývá Wienův zákon:

  $$M_\lambda^{\mathrm{(W)}} = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}}$$

  a pro velké Rayleighův-Jeansův zákon:

  $$M_\lambda^{\mathrm{(R)}} = \frac{8\pi k T}{\lambda^4}.$$