Těžiště cykloidy

Úloha číslo: 2088

Určete polohu těžiště jednoho oblouku homogenní cykloidy.

Zadánu máte výšku cykloidy v jejím nejvyšším bodě 2a a hmotnost cykloidy m.

obrázek k zadání úlohy
  • Rozbor

    Pokud neznáme vztah pro určení polohy těžiště, je zapotřebí si jej odvodit, nejlépe nalezením těžiště dvou hmotných bodů. Výsledný vzorec poté není těžké aplikovat na n hmotných bodů a poté přejít k integrálnímu tvaru pro spojité těleso.

    Vzorec pro polohu těžiště počítá s jednotlivými kousky hmotnosti a jejich polohou. My žádné údaje o hmotnosti cykloidy nemáme, musíme tedy nejprve přijít na způsob jak integrování po kouscích hmotnosti nahradit integrací po kouscích nějakého rozměru, který známe. Nejlépe délky.

    Protože se bude tedy jednat o sčítání jednotlivých malých kousků cykloidy, musíme dokázat vyjádřit rozměr takového jednoho malého kousku, tedy elementu cykloidy. Pro tyto účely si musíme dokázat odvodit vzorec pro element délky obecné křivky.

    Tímto postupem tedy získáme vzorec pro těžiště nějaké obecné křivky v integrálním tvaru. Poslední, co zbyde před samotnou integrací, bude vložit do této rovnice údaje o tom, že daná křivka je právě cykloida. Protože se bude jednat o postupné sčítání malých kousků od jednoho konce cykloidy po druhý, musíme nalézt rovnice, které nám popíší cykloidu právě kousek po kousku. Právě tuto vlastnost mají parametrické rovnice.

    Po nalezení parametrických rovnic cykloidy je bude zapotřebí jen dosadit do vzorce pro souřadnice těžiště pro obecnou křivku a integrovat.

  • Nápověda

    Pro úspěšné vyřešení této úlohy je zapotřebí znát tři body:

    a) vztah pro určení polohy těžiště (není nutné si jej pamatovat, ale dokázat odvodit - začněte určením těžiště dvou hmotných bodů, rozviňte pro více bodů a dopracujte se až k integrálnímu tvaru),

    b) parametrické rovnice cykloidy,

    c) vzorec pro délku malého úseku libovolné křivky ds.

  • Řešení

    Obrázek v zadání úlohy není ideální. Již teď by bylo možné odhadnout x-ovou souřadnici těžiště a umístit cykloidu tak, aby počátek souřadnic byl právě v tomto bodě. V tomto řešení to tak neuděláme, abychom ukázali, že obě souřadnice těžiště je možné určit výpočtem, i když je zprvu nedokážeme odhadnout.

  • Odpověď

    Souřadnice těžiště jsou

    \[x_T=a\pi\] \[y_T=\frac{4}{3}a\]

    Těžiště se tedy nachází ve směru osy x přesně v polovině oblouku cykloidy a ve směru osy y ve 2/3 její výšky.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze