Sbírka řešených úloh

Parametrické vyjádření cykloidy

Úloha číslo: 2301

Cykloida je křivka, jejíž tvar opíše libovolný bod kružnice, která se bez prokluzu valí po přímce. Řekněme, že ve svém nejvyšším bodě má výšku 2r, kde r je poloměr valící se kružnice.

Určete její parametrické vyjádření.

• Nápověda 1

  Cílem parametrického vyjádření je určit průměty bodu pohybujícího se po cykloidě do souřadných os x a y v závislosti na nějakém vhodně zvoleném parametru.

  Zamyslete se, jak vypadá parametrické vyjádření kružnice. Co vlastně představuje její parametr?

• Řešení nápovědy 1

  Parametrické vyjádření kružnice je

  \[x=a+r \cos t\] \[y=b+r \sin t,\]

  kde a, b jsou souřadnice středu kružnice, r je její poloměr a t je proměnný parametr. Pro jednu hodnotu t představují tyto rovnice souřadnice jednoho bodu kružnice. Pokud t změníme, dostaneme další bod. Od parametrické rovnice očekáváme, že pokud budeme měnit t po dostatečně malých krocích, a zaznamenávat všechny body, dostaneme spojením bodů celou kružnici.

  Kružnici tedy získáme, pokud bude t představovat velikost úhlu ASB, kde S je střed kružnide, A je počáteční bod a B každý další bod na kružnici. Z této myšlenky můžeme navíc určit, jak velké t budeme potřebovat. Chceme-li, aby úhel obešel celou kružnici, bude nám stačit, když bude nabývat hodnot od 0° do 360°, tedy v radiánech t ∈ ‹0;2π).

  

  Nyní můžeme stejným způsobem uvažovat o parametrických rovnicích cykloidy: budeme chtít vyjádření souřadnic nějakého bodu, který při změně parametru t „procestuje“ celou cykloidu.

• Nápověda 2

  Existují dva způsoby jak se k parametrickému vyjádření cykloidy dopracovat. Pro naše potřeby nazvěme tyto postupy „matematický“ a „intuitivní“. V obou případech je zapotřebí alespoň vědět, jak vypadá parametrické vyjádření kružnice (v případě potřeby je napsané v „Řešení nápovědy 1“ a v „Řešení - intuitivní“)

  Pro intuitivní řešení si nakreslete kružnici v základní poloze a napište si k ní parametrické rovnice. Zkoušejte rovnice různými způsoby upravovat, dosazujte různé hodnoty parametru a sledujte, jak se kružnice chová. Vše si kreslete. Až pochopíte, k čemu který člen slouží, snažte se dopracovat k valící se kružnici a k cykloidě. Využijte obrázku v zadání.

  Pro matematické řešení si nakreslete obrázek v nějaké fázi valení. Popiště si všechny důležité body a úsečky, napište, co všechno znáte a přemýšlejte, jak dopočítat to, co neznáte. Nezapomeňte, že výsledek musí být závislý jen na těch veličinách, které známe, a na parametru, který se bude měnit.

• Řešení - intuitivní

  Vyjdeme ze základní polohy kružnice, tzn. se středem v počátku souřadnicového systému. Tedy S = [0;0], a = 0, b = 0. Rovnice kružnice poté mají tvar

  \[x=r\cos t\] \[y=r\sin t.\]

  Kružnice v základním tvaru vypadá následovně

  

  Nyní je dobré již vědět, co představuje parametr t. (viz Řešení nápovědy 1)

  Jedna hodnota parametru určuje jeden bod kružnice. Jednoduchým dosazením do parametrických rovnic se přesvědčíme, že pokaždé, když zvětšíme t o 2π, dostaneme se do stejného bodu, ze kterého jsme vyšli. Jinými slovy: pro vykreslení celé kružnice nám postačí hodnoty t z intervalu ‹0;2π).

  Protože cykloida je definována jako bod na kružnici valící se po přímce, je velmi vhodné představit si změnu parametru t jako kružnici otáčející se kolem svého středu. Parametrické rovnice v tu chvíli převezmou roli pouze jednoho z mnoha bodů kružnice. Pro pochopení této představy si nakreslete, jaký bod zobrazí parametrické rovnice pro t = 0 a pro t = π/2.

  

  Je vidět, že zvýšení hodnoty parametru otočí kružnicí proti směru hodinových ručiček. (Zkuste si dosadit i jemnější změnu parametru.) Tento postup, změnu parametru o π/2, budeme uplatňovat při každé změně rovnic.

  Nyní začneme upravovat parametrické rovnice, abychom dosáhli našeho požadavku na valící se kružnici.

  Jistě bude lepší, pokud se kružnice bude valit do kladných hodnot souřadných os, tedy doprava. To bude první, čeho se pokusíme dosáhnout. Zkusme například prohodit funkce sinus a cosinus. Rovnice tedy budou mít tvar

  \[x=r \sin t\] \[y=r \cos t.\]

  A otáčení kružnice:

  

  Vidíme, že směr otáčení jsme tím trefili. Ale změnilo se i něco jiného, a to počáteční bod. Podíváte-li se na obrázek ze zadání úlohy, zjistíte, že potřebujeme, aby počáteční bod byl v nejnižším bodu kružnice, ne v nejvyšším. To znamená, že y-ová složka musí začít záporná — jednoduše přidáme znaménko mínus k druhé rovnici. Když vyzkoušíme tuto úpravu, zjistíme, že se tím opět změní směr otáčení. Můžeme tedy udělat rovnou další změnu, když si uvědomíme, že chceme-li, aby se kružnice otáčela ve směru hodinových ručiček, musí být x-ová složka v druhém kroku záporná — opět přidáme znaménko mínus, tentokrát k první rovnici.

  \[x=-r \sin t\] \[y=-r \cos t\]

  

  Zkusme dosáhnout dalšího požadavku. Chceme, aby se kružnice valila po ose x. Ve stavu, v jakém ji máme, je jakoby do osy x „ponořená“. To znamená, že ji musíme „zvednout“. Zvedat kružnici lze přidáním nějaké konstanty do rovnice pro y-ovou složku. Chceme aby se nejnižší bod dotýkal osy x, musíme tedy kružnici zvednout o hodnotu poloměru r.

  \[x=-r \sin t\] \[y=-r \cos t+r\]

  

  V posledním kroku zajistíme, aby se kružnice nejen otáčela na místě, ale valila se. Musíme dosáhnout toho, aby se během otáčení pohybovala směrem doprava. Určitě se musíme zeptat, jak rychle se musí tímto směrem pohybovat. Zamyslete se, kam až se musí dostat po otočení o celou jednu otáčku (změna t o 2π). Vzhledem k tomu, že se má valit bez prokluzu, musí se každý bod po jedné otočce ocitnout o hodnotu obvodu kružnice dále po ose x. Obvod kružnice je 2πr. Složka x se tedy musí při změně t o 2π ocitnout o 2πr dále. Zároveň nesmí tato poslední změna rovnice nijak změnit počáteční polohu. Těchto dvou požadavků dosáhneme přičtením r·t k rovnici x. Při parametru t=0 se hodnota rovnice proti předchozí nezmění, pro parametr t=2π bude o 2πr větší.

  \[x=-r \sin t+rt\] \[y=-r \cos t+r\]

  

  A máme hotovo. Máme parametrické vyjádření cykloidy. Stačí už jen rovnice upravit do trochu hezčí podoby:

  \[x=r(t- \sin t)\] \[y=r(1- \cos t).\]

• Řešení - matematické

  Začneme zakreslením kružnice, která se odvalila o malý kousek menší než 1/4 otáčky, do kartézských souřadnic.

  Bod, jehož dráhu vyšetřujeme, si označíme písmenem B, nejnižší bod kružnice A, počáteční bod souřadnic 0, poloměr kružnice r a střed kružnice S. Stejně jako v případě parametrického vyjádření kružnice zde bude vystupovat parametr t, který udává úhel mezi úsečkami SA a SB.

  

  Jistě bude nejvhodnější, pokud bude cykloida začínat v bodě 0 souřadného systému. Stejně tak by měl v počátku cykloidy být nulový parametr t. Tímto jsme si stanovili první požadavky na naše parametrické rovnice. Pro t = 0 musí platit:

  \[x(0)=0\] \[y(0)=0.\]

  Nyní se můžeme zaměřit na samotné průměty bodu B do souřadných os po odvalení. Tyto průměty si označíme X_B a Y_B. To, co hledáme, jsou de facto velikosti úseček |0X_B| a |0Y_B|, protože ty udávají, o kolik se posunul bod B ve směru osy x a osy y.

  Zaměříme se na velikosti úseček, které hledáme, a čemu z obrázku se rovnají.

  Nejprve průmět do osy x:

  \[|\textit{0}X_B|=|\textit{0}A|-|X_BA|.\]

  Velikost úsečky 0A je rovna velikosti oblouku AB a po celou dobu valení tomu tak bude. A právě velikost oblouku lze vyjádřit i jinak. Jde o poloměr kružnice vynásobený velikostí příslušného úhlu v radiánech

  \[|\textit{0}A|=\stackrel{\ \ \Large\frown}{|AB|}=r\cdot t.\]

  Nyní nám zbývá vyjádřit si druhý člen rozdílu v rovnici pro průmět do osy x, tedy velikost úsečky X_BA.

  Podíváme-li se na tuto úsečku, vidíme, že je rovna vzdálenosti bodu B od úsečky SA. Aby se nám tato vzdálenost dobře vyjadřovala, promítneme si y-ovou složku bodu B na úsečku SA. Tím vznikne další úsečka BY_2B, pro kterou bude platit:

  \[|X_BA|=|BY_{2B}|.\]

  Body B, Y_2B a S tvoří pravoúhlý trojúhelník, kde přepona je rovna poloměru kružnice. Vyjádříme si sinus a cosinus úhlu t.

  \[\sin t=\frac{|BY_{2B}|}{r}\] \[\cos t=\frac{|SY_{2B}|}{r}\]

  Ihned vidíme, že funkci sinus lze vyjádřit námi hledanou velikostí úsečky BY_2B a známým poloměrem. Proto neznámou velikost úsečky vyjádříme úpravou tohoto vztahu:

  \[|BY_{2B}|=r\cdot\sin t.\]

  Tím máme hledané řešení, stačí jen vztahy spojit a zjednodušit.

  \[|\textit{0}X_B|=r\cdot t-r\cdot\sin t=r\cdot (t-\sin t)\]

  A máme x-ový průmět bodu B, neboli x-ovou parametrickou rovnici cykloidy.

  S y-ovým průmětem zkusíme postupovat obdobně. Lze snadno vidět, že se jedná o velikost poloměru kružnice bez malé úsečky SY_2B

  \[|0Y_B|=|AY_{2B}|=r-|SY_{2B}|.\]

  Výraz |SY_2B| nám již vystupoval ve vyjádření cosinu úhlu t

  \[\cos t=\frac {|SY_{2B}|}{r}\rightarrow|SY_{2B}|=r\cdot\cos t\] \[|\textit{0}Y_B|=r-r\cdot\cos t=r\cdot(1-\cos t)\]

  Tím jsme získali y-ový průmět bodu B. Parametrické vyjádření cykloidy tedy je:

  \[x=r\cdot(t-\sin t)\] \[y=r\cdot (1-\cos t).\]

• Ověření správnosti řešení

  Zbývá zkontrolovat, zda to, co jsme dostali, dává smysl a odpovídá vyjádření cykloidy i v dalším průběhu valení. Jako první zkusíme podmínku, kterou jsme získali na začátku úvah matematického řešení, tedy pro t = 0 platí

  \[x(0)=r\cdot (0-\sin 0)=0\] \[y(0)=r\cdot (1-\cos 0)=1,\]

  což odpovídá počátku souřadnic a počátku cykloidy.

  Dále se zkusíme zeptat, kam až se kružnice odvalí po své celé jedné otočce. Bod P by se měl opět stát nejnižším bodem kružnice a dotknout se osy x, jen o velikost obvodu kružnice dál. Obvod kružnice je

  \[o=2\pi r.\]

  Kdy bude platit x = 2πr? Očividně pro t = 2π. Jakou hodnotu bude mít y po dosazení t = 2π do našich parametrických rovnic? Opět nulovou. Zdá se tedy, že vše vychází, jak by mělo. Můžete si zkusit dosadit i další hodnoty parametru a zkoumat, zda odpovídají předpokládaným hodnotám, zde je však již rozepisovat nebudeme.

• Odpověď

  Parametrické vyjádření cykloidy:

  \[x=r\cdot (t-\sin t)\] \[y=r\cdot (1-\cos t),\]

  kde t ∈ ‹0;2π).