Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Pohyb po válci
Úloha číslo: 997
Hmotný bod se pohybuje rovnoměrně rychlostí v0 po povrchové přímce válce (viz obrázek) výšky h a poloměru R. Válec se otáčí rovnoměrně úhlovou rychlostí ω ve směru otáčení hodinových ručiček. Hmotný bod se v čase t = 0 nacházel v bodě A = [R, 0, 0]
.page.tagged.gif)
a) Napište parametrické vyjádření trajektorie hmotného bodu.
b) Určete složky vektoru rychlosti a jeho velikost.
c) Určete složky vektoru zrychlení a jeho velikost.
Poznámka 1: Všechny úlohy řešte v kartézské soustavě (již zvolené v obrázku výše), vůči které se válec otáčí, nikoli v soustavě pevně spojené s válcem.
Poznámka 2: Vektory jsou v úloze značeny tučně.
Nápověda 1 ( k úloze a) )
Úlohou je určit parametrické vyjádření trajektorie, po které se pohybuje hmotný bod, přičemž máme úlohu řešit v kartézské soustavě, vůči které se válec otáčí, nikoli v soustavě pevně spojené s válcem. Víme, že se hmotný bod pohybuje ve třech rozměrech, proto budeme na popis potřebovat tři souřadnice x, y, z a bude potřeba zjistit, jak se mění s časem.
Nejjednodušší je určit závislost z(t), protože se hmotný bod pohybuje v tomto směru rovnoměrně rychlostí v0.
Pro určení souřadnic x(t) a y(t) si zkuste představit, po jaké trajektorii se pohybuje při pohledu seshora, tedy při promítnutí do roviny xy.
Uvědomte si, že se jedná o složený pohyb!
Nápověda 2 ( k úloze b) )
Pro určení složek rychlosti si stačí uvědomit, jaký vztah platí mezi nimi a souřadnicemi polohy hmotného bodu. Uvědomte si, že rychlost má v každém bodě směr tečny k trajektorii.
Velikost rychlosti pak jednoduše určíte pomocí souřadnic x, y, z.
Nápověda 3 ( k úloze c) )
Úlohou je určit složky vektoru zrychlení. Stačí si uvědomit, jaký je vztah mezi nimi a složkami vektoru rychlosti.
Velikost vektoru zrychlení pak už jednoduše určíte analogickým postupem jako v úloze b).
Celkové řešení
ad a)
Pohyb hmotného bodu chceme popsat parametricky, chceme tedy zjistit závislost souřadnic na čase.
Při promítnutí do roviny xy se v důsledku otáčení válce úhlovou rychlostí ω hmotný bod pohybuje rovnoměrně po kružnici s poloměrem R (viz obrázek níže).
Ve směru osy z se hmotný bod pohybuje rovnoměrně rychlostí v0. Závislost z-tové souřadnice je proto na čase lineární.
Pro parametrické vyjádření proto platí
x(t)=Rcosωt y(t)=Rsinωt z(t)=v0t.Křivka s výše uvedeným paramatrickým vyjádřením se nazývá šroubovice a její část je znázorněná na obrázku níže (obrázek je převzatý z internetu).
ad b)
Složky rychlosti získáme derivací příslušných souřadnic x, y, z.
vx(t)=dxdt=−Rωsinωt vy(t)=dydt=Rωcosωt vz(t)=dzdt=v0.Pro velikost vektoru rychlosti platí
|→v|=v=√v2x+v2y+v2z.Po dosazení získáváme
v=√R2ω2sin2ωt+R2ω2cos2ωt+v20 v=√R2ω2(sin2ωt+cos2ωt)⏟1+v20 v=√R2ω2+v20.Poznámka: Všimněte si, že pro v0 = 0 dostaneme pro velikost rychlosti v = Rω, což je vztah známý ze střední školy.
ad c)
Složky vektoru zrychlení získáme derivací složek vektoru rychlosti
ax(t)=dvxdt=−Rω2cosωt ay(t)=dvydt=−Rω2sinωt az(t)=dvzdt=0.Pro velikost vektoru zrychlení platí
|→a|=a=√a2x+a2y+a2z a=√R2ω4cos2ωt+R2ω4sin2ωt+02 a=√R2ω4(cos2ωt+sin2ωt)⏟1.Velikost vektoru zrychlení je
a=Rω2.Poznámka: Všimněte si, že předešlý vztah je známý již ze střední školy. Jedná se vlastně o velikost dostředivého zrychlení.
Odpověď
a) Parametrické vyjádření trajektorie, kterou opisuje hmotný bod, je
x(t)=Rcosωt y(t)=Rsinωt z(t)=v0t.Hmotný bod se pohybuje po šroubovici.
b) Složky vektoru rychlosti jsou následující
vx(t)=−Rωsinωt vy(t)=Rωcosωt vz(t)=v0.Velikost vektoru rychlosti je
v=√R2ω2+v20.c) Složky vektoru zrychlení jsou následující
ax(t)=−Rω2cosωt ay(t)=−Rω2sinωt az(t)=0.Velikost vektoru zrychlení je
a=Rω2.Poznámka 1
Uvažujme stejné zadání úlohy, ale válec umístníme do kartézské soustavy souřadnic, kde na rozdíl od předchozího zaměníme osy y a z.
Situace bude vypadat následovně:
Pro parametrické vyjádření trajektorie hmotného bodu platí:
x=Rcosωt y=v0t z=Rsinωt.Dále by se příklad řešil analogicky jako v předchozím případě.
Poznámka 2
Uvažujme stejné zadání příkladu. Na rozdíl od prvního ho řešme v soustavě spjaté s válcem. Soustava se tedy otáčí spolu s válcem a hmotný bod se bude pohybovat po úsečce, která má parametrické vyjádření:
x=R y=0 z=v0t.