Sbírka řešených úloh

Pohyb po válci

Úloha číslo: 997

Hmotný bod se pohybuje rovnoměrně rychlostí v₀ po povrchové přímce válce (viz obrázek) výšky h a poloměru R. Válec se otáčí rovnoměrně úhlovou rychlostí ω ve směru otáčení hodinových ručiček. Hmotný bod se v čase t = 0 nacházel v bodě A = [R, 0, 0]

a) Napište parametrické vyjádření trajektorie hmotného bodu.

b) Určete složky vektoru rychlosti a jeho velikost.

c) Určete složky vektoru zrychlení a jeho velikost.

Poznámka 1: Všechny úlohy řešte v kartézské soustavě (již zvolené v obrázku výše), vůči které se válec otáčí, nikoli v soustavě pevně spojené s válcem.

Poznámka 2: Vektory jsou v úloze značeny tučně.

• Nápověda 1 ( k úloze a) )

  Úlohou je určit parametrické vyjádření trajektorie, po které se pohybuje hmotný bod, přičemž máme úlohu řešit v kartézské soustavě, vůči které se válec otáčí, nikoli v soustavě pevně spojené s válcem. Víme, že se hmotný bod pohybuje ve třech rozměrech, proto budeme na popis potřebovat tři souřadnice x, y, z a bude potřeba zjistit, jak se mění s časem.

  Nejjednodušší je určit závislost z(t), protože se hmotný bod pohybuje v tomto směru rovnoměrně rychlostí v₀.

  Pro určení souřadnic x(t) a y(t) si zkuste představit, po jaké trajektorii se pohybuje při pohledu seshora, tedy při promítnutí do roviny xy.

  Uvědomte si, že se jedná o složený pohyb!

• Řešení nápovědy 1

  Pohyb hmotného bodu chceme popsat parametricky, chceme tedy zjistit závislost souřadnic na čase.

  Při promítnutí do roviny xy se v důsledku otáčení válce úhlovou rychlostí ω hmotný bod pohybuje rovnoměrně po kružnici s poloměrem R (viz obrázek níže).

  

  Ve směru osy z se hmotný bod pohybuje rovnoměrně rychlostí v₀. Závislost  z-tové souřadnice je proto na čase lineární.

  Pro parametrické vyjádření proto platí

  $$x(t) = R \cos{\omega t}$$ $$y(t) = R \sin{\omega t}$$ $$z(t)= v_0t.$$

  Křivka s výše uvedeným paramatrickým vyjádřením se nazývá šroubovice a její část je znázorněná na obrázku níže (obrázek je převzatý z internetu).

  

• Nápověda 2 ( k úloze b) )

  Pro určení složek rychlosti si stačí uvědomit, jaký vztah platí mezi nimi a souřadnicemi polohy hmotného bodu. Uvědomte si, že rychlost má v každém bodě směr tečny k trajektorii.

  Velikost rychlosti pak jednoduše určíte pomocí souřadnic x, y, z.

• Řešení nápovědy 2

  Složky rychlosti získáme derivací příslušných souřadnic x, y, z.

  $$v_{\mathrm{x}}(t)= \frac{dx}{dt} = - R \omega sin\omega t$$ $$v_{\mathrm{y}}(t)= \frac{dy}{dt} = R \omega cos\omega t$$ $$v_{\mathrm{z}}(t)= \frac{dz}{dt} = v_0.$$

  Pro velikost vektoru rychlosti platí

  $$\left | \vec{v} \right| = v = \sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2+ v_{\mathrm{z}}^2}.$$

  Po dosazení získáváme

  $$v = \sqrt{R^2\omega^2\sin^2\omega t+ R^2\omega^2\cos^2\omega t + v_0^2}$$ $$v = \sqrt{R^2\omega^2\underbrace{(\sin^2\omega t+ \cos^2\omega t)}_{1} + v_0^2}$$ $$v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_0^2}.$$

  Poznámka: Všimněte si, že pro v₀ = 0 dostaneme pro velikost rychlosti v = Rω, což je vztah známý ze střední školy.

• Nápověda 3 ( k úloze c) )

  Úlohou je určit složky vektoru zrychlení. Stačí si uvědomit, jaký je vztah mezi nimi a složkami vektoru rychlosti.

  Velikost vektoru zrychlení pak už jednoduše určíte analogickým postupem jako v úloze b).

• Řešení nápovědy 3

  Složky vektoru zrychlení získáme derivací složek vektoru rychlosti

  $$a_{\mathrm{x}}(t)= \frac{dv_{\mathrm{x}}}{dt}= -R \omega^2\cos\omega t$$ $$a_{\mathrm{y}}(t)= \frac{dv_{\mathrm{y}}}{dt}= -R \omega^2\sin\omega t$$ $$a_{\mathrm{z}}(t)= \frac{dv_{\mathrm{z}}}{dt}= 0.$$

  Pro velikost vektoru zrychlení platí

  $$\left|\vec{a}\right|= a = \sqrt{a^2_{\mathrm{x}} + a^2_{\mathrm{y}} +a^2_{\mathrm{z}}}$$ $$a = \sqrt{R^2\omega^4 \cos^2\omega t + R^2\omega^4 \sin^2\omega t + 0^2}$$ $$a = \sqrt{R^2\omega^4 \underbrace{\left(\cos^2\omega t + \sin^2\omega t\right)}_1}.$$

  Velikost vektoru zrychlení je

  $$a = R\omega^2.$$

  Poznámka: Všimněte si, že předešlý vztah je známý již ze střední školy. Jedná se vlastně o velikost dostředivého zrychlení.

• Celkové řešení

  ad a)

  Pohyb hmotného bodu chceme popsat parametricky, chceme tedy zjistit závislost souřadnic na čase.

  Při promítnutí do roviny xy se v důsledku otáčení válce úhlovou rychlostí ω hmotný bod pohybuje rovnoměrně po kružnici s poloměrem R (viz obrázek níže).

  

  Ve směru osy z se hmotný bod pohybuje rovnoměrně rychlostí v₀. Závislost z-tové souřadnice je proto na čase lineární.

  Pro parametrické vyjádření proto platí

  $$x(t) = R \cos{\omega t}$$ $$y(t) = R \sin{\omega t}$$ $$z(t)= v_0t.$$

  Křivka s výše uvedeným paramatrickým vyjádřením se nazývá šroubovice a její část je znázorněná na obrázku níže (obrázek je převzatý z internetu).

  

  ad b)

  Složky rychlosti získáme derivací příslušných souřadnic x, y, z.

  $$v_{\mathrm{x}}(t)= \frac{dx}{dt} = - R \omega sin\omega t$$ $$v_{\mathrm{y}}(t)= \frac{dy}{dt} = R \omega cos\omega t$$ $$v_{\mathrm{z}}(t)= \frac{dz}{dt} = v_0.$$

  Pro velikost vektoru rychlosti platí

  $$\left | \vec{v} \right| = v = \sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2+ v_{\mathrm{z}}^2}.$$

  Po dosazení získáváme

  $$v = \sqrt{R^2\omega^2\sin^2\omega t+ R^2\omega^2\cos^2\omega t + v_0^2}$$ $$v = \sqrt{R^2\omega^2\underbrace{(\sin^2\omega t+ \cos^2\omega t)}_{1} + v_0^2}$$ $$v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_0^2}.$$

  Poznámka: Všimněte si, že pro v₀ = 0 dostaneme pro velikost rychlosti v = Rω, což je vztah známý ze střední školy.

  ad c)

  Složky vektoru zrychlení získáme derivací složek vektoru rychlosti

  $$a_{\mathrm{x}}(t)= \frac{dv_{\mathrm{x}}}{dt}= -R \omega^2\cos\omega t$$ $$a_{\mathrm{y}}(t)= \frac{dv_{\mathrm{y}}}{dt}= -R \omega^2\sin\omega t$$ $$a_{\mathrm{z}}(t)= \frac{dv_{\mathrm{z}}}{dt}= 0.$$

  Pro velikost vektoru zrychlení platí

  $$\left|\vec{a}\right|= a = \sqrt{a^2_{\mathrm{x}} + a^2_{\mathrm{y}} +a^2_{\mathrm{z}}}$$ $$a = \sqrt{R^2\omega^4 \cos^2\omega t + R^2\omega^4 \sin^2\omega t + 0^2}$$ $$a = \sqrt{R^2\omega^4 \underbrace{\left(\cos^2\omega t + \sin^2\omega t\right)}_1}.$$

  Velikost vektoru zrychlení je

  $$a = R\omega^2.$$

  Poznámka: Všimněte si, že předešlý vztah je známý již ze střední školy. Jedná se vlastně o velikost dostředivého zrychlení.

• Odpověď

  a) Parametrické vyjádření trajektorie, kterou opisuje hmotný bod, je

  $$x(t) = R \cos{\omega t}$$ $$y(t) = R \sin{\omega t}$$ $$z(t)= v_0t.$$

  Hmotný bod se pohybuje po šroubovici.

  b) Složky vektoru rychlosti jsou následující

  $$v_{\mathrm{x}}(t) = - R \omega sin\omega t$$ $$v_{\mathrm{y}}(t)= R \omega cos\omega t$$ $$v_{\mathrm{z}}(t)= v_0.$$

  Velikost vektoru rychlosti je

  $$v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_0^2}.$$

  c) Složky vektoru zrychlení jsou následující

  $$a_{\mathrm{x}}(t)= -R \omega^2\cos\omega t$$ $$a_{\mathrm{y}}(t)= -R \omega^2\sin\omega t$$ $$a_{\mathrm{z}}(t)= 0.$$

  Velikost vektoru zrychlení je

  $$a = R\omega^2.$$

• Poznámka 1

  Uvažujme stejné zadání úlohy, ale válec umístníme do kartézské soustavy souřadnic, kde na rozdíl od předchozího zaměníme osy y a z.

  Situace bude vypadat následovně:

  

  Pro parametrické vyjádření trajektorie hmotného bodu platí:

  $$x = R \cos \omega t$$ $$y = v_0t$$ $$z = R \sin \omega t.$$

  Dále by se příklad řešil analogicky jako v předchozím případě.

• Poznámka 2

  Uvažujme stejné zadání příkladu. Na rozdíl od prvního ho řešme v soustavě spjaté s válcem. Soustava se tedy otáčí spolu s válcem a hmotný bod se bude pohybovat po úsečce, která má parametrické vyjádření:

  $$x = R$$ $$y = 0$$ $$z = v_0t.$$