Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Pohyb po válci

Úloha číslo: 997

Hmotný bod se pohybuje rovnoměrně rychlostí v0 po povrchové přímce válce (viz obrázek) výšky h a poloměru R. Válec se otáčí rovnoměrně úhlovou rychlostí ω ve směru otáčení hodinových ručiček. Hmotný bod se v čase t = 0 nacházel v bodě A = [R, 0, 0]

výchozí situace

a) Napište parametrické vyjádření trajektorie hmotného bodu.

b) Určete složky vektoru rychlosti a jeho velikost.

c) Určete složky vektoru zrychlení a jeho velikost.

Poznámka 1: Všechny úlohy řešte v kartézské soustavě (již zvolené v obrázku výše), vůči které se válec otáčí, nikoli v soustavě pevně spojené s válcem.

Poznámka 2: Vektory jsou v úloze značeny tučně.

  • Nápověda 1 ( k úloze a) )

    Úlohou je určit parametrické vyjádření trajektorie, po které se pohybuje hmotný bod, přičemž máme úlohu řešit v kartézské soustavě, vůči které se válec otáčí, nikoli v soustavě pevně spojené s válcem. Víme, že se hmotný bod pohybuje ve třech rozměrech, proto budeme na popis potřebovat tři souřadnice x, y, z a bude potřeba zjistit, jak se mění s časem.

    Nejjednodušší je určit závislost z(t), protože se hmotný bod pohybuje v tomto směru rovnoměrně rychlostí v0.

    Pro určení souřadnic x(t) a y(t) si zkuste představit, po jaké trajektorii se pohybuje při pohledu seshora, tedy při promítnutí do roviny xy.

    Uvědomte si, že se jedná o složený pohyb!

  • Nápověda 2 ( k úloze b) )

    Pro určení složek rychlosti si stačí uvědomit, jaký vztah platí mezi nimi a souřadnicemi polohy hmotného bodu. Uvědomte si, že rychlost má v každém bodě směr tečny k trajektorii.

    Velikost rychlosti pak jednoduše určíte pomocí souřadnic x, y, z.

  • Nápověda 3 ( k úloze c) )

    Úlohou je určit složky vektoru zrychlení. Stačí si uvědomit, jaký je vztah mezi nimi a složkami vektoru rychlosti.

    Velikost vektoru zrychlení pak už jednoduše určíte analogickým postupem jako v úloze b).

  • Celkové řešení

    ad a)

    Pohyb hmotného bodu chceme popsat parametricky, chceme tedy zjistit závislost souřadnic na čase.

    Při promítnutí do roviny xy se v důsledku otáčení válce úhlovou rychlostí ω hmotný bod pohybuje rovnoměrně po kružnici s poloměrem R (viz obrázek níže).

    Pohyb hmotného bodu v rovině xy

    Ve směru osy z se hmotný bod pohybuje rovnoměrně rychlostí v0. Závislost z-tové souřadnice je proto na čase lineární.

    Pro parametrické vyjádření proto platí

    x(t)=Rcosωt y(t)=Rsinωt z(t)=v0t.

    Křivka s výše uvedeným paramatrickým vyjádřením se nazývá šroubovice a její část je znázorněná na obrázku níže (obrázek je převzatý z internetu).

    Šroubovice

    ad b)

    Složky rychlosti získáme derivací příslušných souřadnic x, y, z.

    vx(t)=dxdt=Rωsinωt vy(t)=dydt=Rωcosωt vz(t)=dzdt=v0.

    Pro velikost vektoru rychlosti platí

    |v|=v=v2x+v2y+v2z.

    Po dosazení získáváme

    v=R2ω2sin2ωt+R2ω2cos2ωt+v20 v=R2ω2(sin2ωt+cos2ωt)1+v20 v=R2ω2+v20.

    Poznámka: Všimněte si, že pro v0 = 0 dostaneme pro velikost rychlosti v = Rω, což je vztah známý ze střední školy.

    ad c)

    Složky vektoru zrychlení získáme derivací složek vektoru rychlosti

    ax(t)=dvxdt=Rω2cosωt ay(t)=dvydt=Rω2sinωt az(t)=dvzdt=0.

    Pro velikost vektoru zrychlení platí

    |a|=a=a2x+a2y+a2z a=R2ω4cos2ωt+R2ω4sin2ωt+02 a=R2ω4(cos2ωt+sin2ωt)1.

    Velikost vektoru zrychlení je

    a=Rω2.

    Poznámka: Všimněte si, že předešlý vztah je známý již ze střední školy. Jedná se vlastně o velikost dostředivého zrychlení.

  • Odpověď

    a) Parametrické vyjádření trajektorie, kterou opisuje hmotný bod, je

    x(t)=Rcosωt y(t)=Rsinωt z(t)=v0t.

    Hmotný bod se pohybuje po šroubovici.

    b) Složky vektoru rychlosti jsou následující

    vx(t)=Rωsinωt vy(t)=Rωcosωt vz(t)=v0.

    Velikost vektoru rychlosti je

    v=R2ω2+v20.

    c) Složky vektoru zrychlení jsou následující

    ax(t)=Rω2cosωt ay(t)=Rω2sinωt az(t)=0.

    Velikost vektoru zrychlení je

    a=Rω2.
  • Poznámka 1

    Uvažujme stejné zadání úlohy, ale válec umístníme do kartézské soustavy souřadnic, kde na rozdíl od předchozího zaměníme osy y a z.

    Situace bude vypadat následovně:

    Válec v kartézské soustavě souřadnic

    Pro parametrické vyjádření trajektorie hmotného bodu platí:

    x=Rcosωt y=v0t z=Rsinωt.

    Dále by se příklad řešil analogicky jako v předchozím případě.

  • Poznámka 2

    Uvažujme stejné zadání příkladu. Na rozdíl od prvního ho řešme v soustavě spjaté s válcem. Soustava se tedy otáčí spolu s válcem a hmotný bod se bude pohybovat po úsečce, která má parametrické vyjádření:

    x=R y=0 z=v0t.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze